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- 2021-06-11 发布
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山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(一)数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知,则=( )
A. B. C. D.
3. 下列结论正确的是( )
A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越低.
B. 在线性回归模型中,相关指数,说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为.
C. 已知随机变量,若,则.
D. 设均为不等于1的正实数,则“”的充要条件是“”.
4. 若的展开式中各项系数之和为,则展开式中的系数是( )
A. 54 B. 81 C. 96 D. 106
5. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则这个圆锥的表面积与侧面积比值是( )
A. B. C. D.
6. 已知点在直线上,且满足,则的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
7. 函数在区间上的大致图像为( )
8. 已知函数,其中,记为的最小值,
则当时,的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9. 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文
化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总
和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是
0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则下列说法正确的是( )
A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182
C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前项和为
10. 已知、是双曲线的上、下焦点,点是该双曲线的一条渐近线上
的一点,并且以线段为直径的圆经过点,则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 以为直径的圆的方程为
C. 点的横坐标为
D. 的面积为
11. 已知定义在上的函数满足,且对
,当时,都有,则以下判断正确的是( )
A. 函数是偶函数 B. 函数在单调递增
C. 是函数的对称轴 D. 函数的最小正周期是12
12. 如图四棱锥,平面平面,侧面是边长为的正三
角形, 底面为矩形,,点是的中点,则下列结论正确的是( )
A.
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成 ▲ 个三位正整数.
14. 函数在上的最小值是 ▲ .
15. 已知一袋中装有红,蓝,黄,绿小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回. 当四
种颜色的小球全部取出时即停止,则恰好取6次停止的概率为 ▲ .
16. 已知圆:,直线,则与直线相切且与圆外切的圆的圆
心的轨迹方程为 ▲ .点是圆心轨迹上的动点,点的坐标是,
则使取最小值时的点的坐标为 ▲ .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知数列各项均为正数,,为等差数列,公差为2.
(1)求数列的通项公式.(2)求.
18. (12分)
在中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小.
(2)若,为外一点,,四边形的面积是,求.
19.(12分)
条件①:图(1)中.
条件②:图(1)中.
条件③:图(2)中三棱锥的体积最大.
从以上三个条件中任选一个,补充在问题(2)中的横线上,并加以解答.
如图(1)所示,在中,,,过点作,垂足在线段上,沿将折起,使 (如图(2)),点分别为棱的中点.
(1)求证:.
(2)已知_____________,试在棱上确定一点,使得,并求锐二面角
的余弦值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.(12分)
已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是、,不经过左焦点的直线上有且只有一个点满足.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)与圆相切的直线:交椭圆于、两点,若椭圆上存在点满足,求四边形面积的取值范围.
21.(12分)
已知函数.
(1)讨论的零点个数.
(2)正项数列满足,(),
求证:.
22.(12分)
书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯,阅读是一个国家的文化根基和创造源泉.2014年以来,“全民阅读”连续6年被写入政府工作报告.某学校为提高师生阅读书籍的热情,举行了“博雅杯”科技知识大奖赛,比赛分两个阶段进行:第一阶段由评委给所有参赛选手评分,并确定优胜者;第二阶段为附加赛,参赛选手由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析,这些分数都在内,以5为组距画频率分布直方图时(设),发现满足:
,.
(1)试确定的所有取值,并求.
(2)组委会确定:在第一阶段比赛中低于分的参赛选手无缘获奖也不能参加附加赛;分数在的参赛选手评为一等奖;分数在的参赛选手评为二等奖,但通过附加赛有的概率提升为一等奖;分数在的参赛选手评为三等奖,但通过附加赛有的概率提升为二等奖(所有参加附加赛的获奖选手均不降低获奖等级).已知和均参加了本次比赛,且在第一阶段评为二等奖.
(ⅰ)求最终获奖等级不低于的最终获奖等级的概率.
(ⅱ)已知和都获奖,记、两位参赛选手最终获得一等奖的人数为,求的分布列和数学期望.
参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
A
B
C
D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 全部选对的得5分,部分选对的
得3分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
AC
ACD
BCD
BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 100 14. 15. 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分.
17.(10分)
解:(1),,为等差数列,公差为2,
, ……………………………2分
,通项公式. ………………………………4分
(2),
………………………………6分
以上两式相减,得
………………………………8分
……………………………9分
∴. ………………………………10分
18.(12分)
解:(1)∵角的对边分别为,且,
∴, ……………………………2分
由余弦定理得:, ……………………………3分
由正弦定理得:,又,
∴, ……………………5分
∵,∴
∵,∴. ……………………………6分
(2)在中,,由余弦定理得:,又,
∴∴为等边三角形, ………………………………8分
∴=,又,
∴=, …………10分
,, ……………………………11分
,
, 即. ………………………………12分
19.(12分)
解:(1),
,
,
. ………………………………………………2分
又分别为的中点,
…………………………………3(2)方案一:选①
在图(1)所示的中,由,
解得或(舍去).
设,在中,,
解得,. …………………………………5分
以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,则.
设,则.
,
即,,,
当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. ………8分
取平面的一个法向量,且,
由,得,令,则.
取平面的一个法向量, …………………………………10分
, …………………………………11分
锐二面角的余弦值为. …………………………………12分
方案二:选②
在图(1)所示的中,
,
又因为,由平面向量基本定理知,即. ……………5分
以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,则.
设,则..
即,,,
当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. …………8分
取平面的一个法向量,且,
由,得,令,则.
取平面的一个法向量, …………………………………10分
, …………………………………11分
锐二面角的余弦值为. …………………………………12分
方案三:选③
在图(1)所示的中,设,则,
∵,∴为等腰直角三角形,∴,
折起后,且,
∴.又,
,
,,
令,,
当时,,当时,,
∴时,三棱锥体积最大. …………………………………5分
以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,则.
设,则.,
即,,,
当 (即是的靠近的一个四等分点)时,. ………8分
取平面的一个法向量,且,
由,得,令,则.
取平面的一个法向量, …………………………………10分
, …………………………………11分
锐二面角的余弦值为. …………………………………12分
20.(12分)
解:(1)直线上有且只有一个点满足,
直线与圆相切,,
. ………………………………………1分
又, ,,
椭圆的方程为. ………………………………………3分
(2)直线:与圆相切,,
即,且. ………………………………………4分
设,,
由 消去得,,
,,
. …………………………………5分
,,又在椭圆上,
,. ………………………………7分
设的中点为,则,
到的距离为,
∴四边形的面积 …………8分
,……………………………10分
令,,,
,
四边形面积的取值范围为. …………………………………12分
21.(12分)
解:(1)的定义域为,令,则.
当;当时,,
在单调递减,在单调递增,
的最小值为. …………………………………2分
当时,,此时无零点.
当时,,此时只有一个零点. …………………………………3分
当时,,,又,
在上有且只有一个零点. …………………………………4分
,令,,,,
,,
所以在上有且只有一个零点. …………………………………5分
综上:
当时,函数无零点.
当时,函数有且只有一个零点.
当时,函数有两个零点. ………………………………6分
(2)由(1)知:当时,,,
, ………………………………7分
, ………………………………8分
, ………………………………9分
,
, ………………………………10分
. …………………………12分
22.(12分)
解:(1)根据题意,在内,按组距为可分成个小区间,
分别是. ………………………1分
,
由,, ………………………2分
每个小区间的频率值分别是 …………………3分,,
的所有取值为 . …………………………4分
(2)(ⅰ)由于参赛选手很多,可以把频率视为概率.
由(1)知,的分数属于区间
的概率分别是:. ………………………………5分
用符号(或)表示(或)在第一轮获奖等级为,通过附加赛最终获奖等级为,其中. ………………………………6分
记“最终获奖等级不低于的最终获奖等级”为事件,
则
. ………………………………8分
(ⅱ)最终获得一等奖的概率是,记“第一轮比赛获奖”为事件,
最终获得一等奖的概率是,
, ,
. ……………………………………10分
的分布列为:. ……………………………12分