【数学】2018届一轮复习人教A版第15讲类比推理在高中数学中的应用技巧学案 9页

高中数学热点难点突破技巧第15讲：‎ 类比推理在高中数学中的应用技巧 ‎【知识要点】‎ ‎1、类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。类比推理在具体实施过程中，关键是找到两类对象之间可以确切表述的相似特征。然后，用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想。它是数学的重要方法之一。要找到类比，往往需要一点想象力和创新精神，在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，二次曲线之间的类比等.‎ ‎2、类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式，推出的结论不一定正确（需要检验或证明），但利用类比推理能进行 学研究和发明创造，能预测解题思路、发现问题答案或结论.虽然类比推理的结论不一定正确，但是我们在作业和考试类比推理时，结论要求一定正确，一般最后要对类比出 的结论进行检验或简单证明.‎ ‎3、类比推理时，两个命题的形式是很对称的，推理证明的方法也是很对称一致的，这个大家要理解.有时，我们可以证明已知的命题，就知道如何推理证明后面的命题了.所以在类比时，我们有必要弄清已知命题的推导证明.‎ ‎【方法讲评】‎ 题型一 等差数列与等比数列的类比 解题方法 等差数列 等比数列 加法（减法）‎ 乘法（除法）‎ 乘法（除法）‎ 乘方（开方）‎ 和为0‎ 积为1‎ 等差中项（算术平均数）‎ 等比中项（几何平均数）‎ ‎【例1】等差数列有如下性质，若数列是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当 时，数列也是等比数列.‎ ‎【解析】“是等差数列”类比“是正项等比数列”，“数列各项的和 ‎”类比“数列各项的积”，“除以”类比“开次方”，类比上述性质，相应地是正项等比数列，当时，数列也是等比数列.‎ ‎【证明】‎ ‎，所以 ， 所以数列也是等比数列.‎ ‎【点评】等差数列和等比数列类比时，按照表格中的技巧操作一般就可以了. 虽然类比推理的结论不一定正确，但是考试时，答案要求正确，所以要简单证明,不能类比后，填上一个答案就完事，至少要利用特殊值或特殊情况检验一下. ‎ ‎【反馈检测1】若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则 ．‎ ‎【反馈检测2】已知数列为等差数列,若,,则.类比上述结论,对于等比数列,若,则可以得到＝____________.‎ ‎【反馈检测3】若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：‎ ‎．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论： . ‎ 题型二 平面几何与空间几何的类比 解题方法 平面几何 空间几何 线段长 面积 平面角 二面角 面积 体积 边 面 多边形 多面体 三角形 三棱锥（四面体）‎ 圆 球 三角形的内切圆 三棱锥的内切球 三角形的周长 三棱锥的表面积 三角形的面积 三棱锥的体积 线线垂直 面面垂直 线线平行 面面平行 ‎【例2】如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长为，此四边形内在一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若,（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【点评】（1）已知中平面几何命题的推理证明就是用割补法 完成的，把一个平面凸四边形分割成四个三角形，把凸四边形的面积分解为四个三角形的面积和,所以类比到空间三棱锥时，就要把空间三棱锥分割成四个小的三棱锥，把大三棱锥的体积分解成四个小三棱锥的体积的和. （2）类比推理时，两个命题的形式是很对称的，推理证明的方法也是很对称一致的，这个大家要理解.有时，我们可以证明已知的命题，就知道如何推理证明后面的命题了.所以在类比时，我们有必要弄清已知命题的推导证明.‎ ‎【反馈检测4】在平面几何里有射影定理：设三角形的两边，是点在上的射影，则．拓展到空间，在四面体中，⊥面，点是在面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【反馈检测5】已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【反馈检测6】如图（1）有面积关系：则图（2）有体积关系：＝________. ‎ ‎ : ]‎ ‎【反馈检测7】已知结论：“在中，各边和它所对角的正弦比相等，即”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥中，侧棱与平面，平面所成的角为，则有________．‎ ‎【反馈检测8】在平面几何里，已知直角△SAB的两边SA，SB互相垂直，且，则边上的高； 拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直,且,则点到面的距离 题型三 二次曲线之间的类比 解题方法 方法一：观察两支曲线方程的特点，观察已知曲线和结论的联系，再类比得到新的结论.‎ 方法二：分析出已知命题的推理过程，再用同样的方法推导新的结论.‎ ‎【例3】已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为________．‎ ‎【点评】本题的类比就是利用了方法一， 相当于把方程右边不变，左边的一个x换成，一个y换成， 所以可以把椭圆右边不变，左边的一个换成，一个换成.‎ ‎【例4】设是坐标原点，是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，是弦的中点，分别表示直线,的斜率。在圆中，，在椭圆中，类比上述结论可得 .‎ ‎【解析】设，则中点，‎ 所以，则，又因为都在椭圆上，所以，两式相减整理得，所以 ‎．‎ ‎【点评】（1）本题利用方法一，不是很好类比猜想.本题就是利用了方法二，先弄明白在圆中，这个结论的 由，再用同样的方法推导类比的结论.学 …… ‎ ‎【反馈检测9】已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．‎ ‎【反馈检测10】圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如：椭圆C:可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的．依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为 ．‎ ‎ : + ]‎ 高中数学热点难点突破技巧第15讲：‎ 类比推理在高中数学中的应用技巧 ‎【反馈检测1答案】数列为等比数列，且通项为.‎ ‎【反馈检测1详细解析】“”类比“”，“数列为等差数列”类比“数列为等比数列”，“”类比“”，“+”类比“”，“”类比“”，“除以2”类比“开二次方”，“”类比“”，‎ ‎ “乘”类比“乘次方”，所以通项为.‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】等比数列中的和可以类比等比数列中的和，等比数列中的类比等差数列中的, 等比数列中的类比等差数列中的 ，等比数列中的类比等差数列中的，等比数列中的“=1”类比等差数列中的“=0”，故填.‎ ‎【反馈检测4答案】A ‎ ‎【反馈检测4详细解析】在直角三角形中的射影定理为；（即直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的积），所以四面体中可类比得；．（侧面面积的平方等于它在地面上的射影与底面的积）．学 5 ‎ ‎【反馈检测5答案】D ‎【反馈检测5详细解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：．故选D.‎ ‎【反馈检测6答案】‎ ‎【反馈检测7答案】‎ ‎【反馈检测7详细解析】分别过作平面的垂线，垂足分别为，则 ‎,‎ ‎，，‎ 所以，即．‎ ‎【反馈检测8答案】‎ ‎【反馈检测8详细解析】∵在平面几何里，已知直角三角形的两边互相垂直，且，则由面积相等得边上的高，∴由类比推理三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且，则点到面 的距离 ‎【反馈检测9答案】‎ ‎【反馈检测10答案】‎ ‎【反馈检测10详细解析】∵圆的面积公式是或，∴椭圆的面积公式是.‎