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- 2021-06-11 发布
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西安市第一中学2017届高三高考押题卷
文科数学(一)
本试题卷共6页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.集合,集合,则集合=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意,所以集合=.故选D.
2.已知复数z在复平面对应点为,则=( )
A.1 B.-1 C. D.0
【答案】C
【解析】根据题意可得,则=.故选C.
3.sin2040°=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.故选B.
4.世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用,它被誉为“中国天眼”,从
选址到启用历经22年.FAST选址从开始一万多个地方逐一审查,最后敲定三个地方:贵州省黔南州、黔西南
州和安顺市境内.现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况,则贵州省黔南州被选中的概率为( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】从三个地方中任选两个地方,基本事件总数,贵州省黔南州被选中基本事件个数,∴贵州省黔南州被选中的概率.故选D.
5.《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),则该几何体的
容积为( )立方寸.(π≈3.14)
A.12.656 B.13.667 C.11.414 D.14.354
【答案】A
【解析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.
由题意得:立方寸.故选A.
6.在等差数列中,若,,那么等于( )
A.4 B.5 C.9 D.18
【答案】B
【解析】因为,所以,所以,因为,所以,所以公差,所以.故选B.
7.已知函数,则函数的大致图象是( )
A B
C D
【答案】C
【解析】因为,所以函数为偶函数,所以排除D,又,所以排除A、B,故选C.
8.根据下列流程图输出的值是( )
A.11 B.31 C.51 D.79
【答案】D
【解析】当n=2时,,,
当n=3时,,,
当n=4时,,,
当n=5时,,,
输出.故选D.
9.已知单位向量满足,向量,(t为正实数),则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得,
,而,所以,,所以,设,则,所以,因为,所以.故选A.
10.若x,y满足约束条件,设的最大值点为A,则经过点A和B的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在直角坐标系中,满足不等式组可行域为:
表示点到可行域的点的距离的平方减4.如图所示,点到点的距离最大,即,则经过A,B两点直线方程为.故选A.
11.已知双曲线C的中心在原点O,焦点,点A为左支上一点,满足|OA|=|OF|且|AF|=4,则双曲线C的方程为( )
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】如下图,由题意可得,设右焦点为F′,由|OA|=|OF|=|OF′|知,∠AFF′=∠FAO,∠OF′A=∠OAF′,所以∠AFF′+
∠OF′A=∠FAO+∠OAF′,由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′=180°知,∠FAO+∠OAF′=90°,
即AF⊥AF′.在Rt△AFF′中,由勾股定理,得,由双曲线的定义,得|AF′|-|AF|=2a=8-4=4,从而a=2,得a2=4,于是b2=c2-a2=16,所以
双曲线的方程为.故选C.
12.已知函数,有下列四个命题,
①函数是奇函数;
②函数在是单调函数;
③当时,函数恒成立;
④当时,函数有一个零点,
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】①函数的定义域是,,
不满足函数奇偶性定义,所以函数非奇非偶函数,所以①错误;②取,, ,所以函数在不是单调函数,所以②错误;③当x>0时,,要使,即,即,令,,,得,所以在上递减,在上递增,所以,所以③正确;④当时,函数的零点即为的解,也就是,等价于函数与函数图像有交点,在同一坐标系画出这两个函数图像,可知他们只有一个交点,所以④是正确的.故选B.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作
答。第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.《九章算术》中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,
问径几何?”大意为:有个圆柱形木头,埋在墙壁中(如图所示),不知道其大小,用锯沿着面AB锯掉裸露在
外面的木头,锯口CD深1寸,锯道AB长度为1尺,问这块圆柱形木料的直径是__________.(注:1尺=10寸)
【答案】26寸
【解析】设圆柱形木料的半径是,则,得,所以圆柱形木料的直径是26寸.
14.下图是北方某地区从2010年至2016年患“三高”(即高血压,高血糖,高血脂的统称)人数y(单位:
千人)折线图,如图所示,则y关于t的线性回归方程是______________.(参考公式:,)
【答案】
【解析】根据题意得,,
,
,
,,
所求回归方程为.
15.已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点,若抛物线与直线l交两点A,B,且,则___________.
【答案】
【解析】根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组,化简整理得,,进一步整理,,另设,则有,则 ①,根据题意,直线l与x轴的焦点为,抛物线焦点为,即,,代入到①中,得,解得或(舍),即.
16.已知数列满足(,,且为常数),若为等比数列,且首项为,则的通项公式为________________.
【答案】或
【解析】①若,则,
由,得,由,得,
联立两式,得或,则或,经检验均合题意.
②若,则,由,得,得,则,经检验适合题意.
综上①②,满足条件的的通项公式为或.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角C的大小;
(2)若,且,求△ABC的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由,
∴,
∴,·················································3分
∴,····························································5分
∴C=.································································6分
(2)由,
∴,
∴,
∴,·································································8分
根据正弦定理,可得,解得,··················10分
∴.····12分
18.(本小题满分12分)2016年袁隆平的超级杂交水稻再创新亩产量世界纪录.为了测试水稻生长情
况,专家选取了甲、乙两块地,从这两块地中随机各抽取10株水稻样本,测量他们的高度,获得的高度数
据的茎叶图如图所示:
(1)根据茎叶图判断哪块田的平均高度较高;
(2)计算甲乙两块地株高方差;
(3)现从乙地高度不低于133cm的样本中随机抽取两株,求高度为136cm的样本被抽中的概率.
【答案】(1)乙平均高度高于甲;(2),;(3).
【解析】(1)由茎叶图可知:甲高度集中于122cm~139cm之间,而乙高度集中于130cm~141cm之
间.因此乙平均高度高于甲.····································2分
(2)根据茎叶图给出的数据得到
,·······3分
,·····4分
;·········6分
.········8分
(3)设高度为136cm的样本被抽中的事件为A,从乙地10株水稻样本中抽中两株高度不低于133cm
的样本有:(133,136),(133,138),(133,139),(133,141),(136,138),(136,139),
(136,141),(138,139),(138,141),(139,141)共10个基本事件,·······
··········10分
而事件A含有4个基本事件.∴.·····························12分
19.(本小题满分12分)如图,在正四棱柱中,已知,,S是的中点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)证明:在正四棱柱中,
底面是正方形,可得,又,所以①,·····2分
由平面,可得②,··································4分
由①②,且,所以平面,
而平面,所以.······································6分
(2)由S是的中点,可得,
由(1)中平面,可知平面,即平面,
所以.
··················12分
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其中一个顶点是双曲线的焦点,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A,B,过点A,B分别作椭圆的两条切线,求其交点的轨迹方程.
【答案】(1),(2).
【解析】(1)由题意可知双曲线的焦点,,
所以椭圆的C:中a=5,········································1分
根据,解得c=,所以,·································3分
所以椭圆的标准方程为.·································4分
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,另设,,
设在处切线的方程为,与椭圆C:联立:,
消去可得:,
由,得,
化简可得:,
由,可得,,
所以上式可化为:,
∴,,
所以椭圆在点A处的切线方程为:①,··························7分
同理可得椭圆在点B的切线方程为:②,·······················8分
联立方程①②,消去x得:,解得,··········9分
而A,B都在直线上,所以有,所以,
所以,即此时的交点的轨迹方程为;·····11分
当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=0,则,则椭圆在点A处的切线方程为:①,椭圆在点B的切线方程为:,此时无交点.
综上所述,交点的轨迹方程为.······································12分
21.(本小题满分12分)已知函数(a是常数),
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数有两个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)或.
【解析】(1)根据题意可得,当a=0时,,函数在上是单调递增的,在上是单调递减的.···········································1分
当a≠0时,,因为>0,
令,解得x=0或.·····························3分
①当a>0时,函数在,上有,即,函数单调递减;函数在上有,即,函数单调递增;························4分
②当a<0时,函数在,上有,即,函数单调递增;函数在上有,即,函数单调递减;························5分
综上所述,当a=0时,函数的单调递增区间,递减区间为;
当a>0时,函数的单调递减区间为,,递增区间为;
当a<0时,函数的单调递增区间为,,递减区间为;·······6分
(2)当时,函数有两个零点,所以函数
在(0,16)内不是单调函数;而的两个零点为x=0,,所以,解得①;···············8分
又由(1)可知:时,,是增函数,时,,是减函数,
∴在上;
令,解得②;······································10分
又,即,解得③;······················11分
由①②③组成不等式组,解得;
∴实数a的取值范围是.·······································12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)已知在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的参数方程为:,曲线C2的极坐标方程:,
(1)写出C1和C2的普通方程;
(2)若C1与C2交于两点A,B,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;·····2分
将曲线C1的方程消去t化为普通方程:;··············4分
(2)若C1与C2交于两点A,B,可设,
联立方程组,消去y,可得,··················6分
整理得,所以有,·····························8分
则.·················10分
23.(本小题满分10分)已知函数,
(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)若对于实数x,y,有,,求证:.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】(1)根据题意可得恒成立,
即,
化简得,
而是恒成立的,
所以,解得;·········································5分
(2),
所以.·····················································10分