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- 2021-06-11 发布
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第十一讲 三角函数的图像与性质
项目
内容
课题
三角函数的图像与性质(共 6 课时)
修改与创新
教学目标
1.能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像,了解三角函数的周期性;
2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等);
3.结合具体实例,了解y=Asin(wx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(wx+φ)的图像,观察参数A,w,φ对函数图像变化的影响。
命题走向
近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测2017年高考对本讲内容的考察为:
1.题型为1道选择题(求值或图象变换),1道解答题(求值或图像变换);
2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是y=Asin(wx+φ)的图象及其变换;
教学准备
多媒体课件
教学过程
一.知识梳理:
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间:
的递增区间是,
递减区间是;
的递增区间是,
递减区间是,
的递增区间是,
3.函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)[ ]
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
二.典例分析
考点一:三角函数的定义域与值域
典题导入
[例1] (1)函数y=lg(sin x)+的定义域为________.
(2)函数y=sin2x+sin x-1的值域为( )
A.[-1,1] B.
C. D.
[自主解答] (1)要使函数有意义必须有
即
解得(k∈Z),
∴2kπ0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)求得函数的减区间.
(2)形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x的系数变为正数,得到y=-Asin(ωx-φ),由-+2kπ≤ωx-φ≤+2kπ(k∈Z)得到函数的减区间,由+2kπ≤ωx-φ≤+2kπ(k∈Z)得到函数的增区间.
(3)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.
以题试法
2.(1)函数y=|tan x|的增区间为________.
(2)已知函数f(x)=sin x+cos x,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是( )
A.a0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )
A. B.(0,0)
C. D.
解析:(1)选A 对于选项A,注意到y=sin=cos 2x的周期为π,且在上是减函数.
(2)选C 由条件得f(x)=sin,又函数的最小正周期为1,故=1,∴a=2π,故f(x)=sin.将x=-代入得函数值为0.
板书设计
三角函数的图像与性质
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间
3.函数
4.对称轴与对称中心
5.五点法作图
教学反思
三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一,复习时,要让学生熟练记忆三角函数的图
像,并会利用图像分析函数的性质。高考中有些题目就是专门考察学生利用图像分析、解决问题的意识和能力,所以在复习时,要通过一定量的题目训练,使学生能很好地利用图像分析问题、解决问题。
函数是与物理相联系的函数,应结合简谐震动问题,使学生熟练把握相关概念和知识。