数学卷·2017届上海市长宁、嘉定区高三“一模”考试（2016 4页

上海市长宁、嘉定区2017届高三一模考试 数学试卷 ‎2016.12.21‎ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1. 设集合，集合，则 ‎ ‎2. 函数（）的最小正周期是，则 ‎ ‎3. 设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为 ‎ ‎4. 若函数的反函数的图像经过点，则实数 ‎ ‎5. 已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则 ‎ ‎6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的 选法有 种；‎ ‎7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 ‎ ‎ ‎8. 若数列的所有项都是正数，且（），则 ‎ ‎ ‎9. 如图，在中，，是边上的一点，‎ ‎，，，则的长为 ‎ ‎10. 有以下命题：‎ ‎① 若函数既是奇函数又是偶函数，则的值域为；‎ ‎② 若函数是偶函数，则；‎ ‎③ 若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；‎ ‎④ 若函数存在反函数，且与不完全相同，则与图 像的公共点必在直线上；‎ 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）‎ ‎11. 设向量，，，其中为坐标原点，，，‎ 若、、三点共线，则的最小值为 ‎ ‎12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，‎ 一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 ‎ 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13. “”是“”的（ ）‎ ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎14. 若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论 中一定正确的是（ ）‎ ‎ A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎15. 给出下列命题：① 存在实数使；② 直线是函数 图像的一条对称轴；③ （）的值域是；④ 若、都是第 一象限角，且，则；其中正确命题的题号为（ ）‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎16. 如果对一切实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围 是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17. 如图，已知平面，，与平面所成的角为30°，且；‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）设为的中点，求异面直线与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎18. 在中，、、分别是角、、的对边，且；‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求和的值；‎ ‎19. 某地要建造一个边长为2（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函 数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数 ‎（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有 且只有一个公共点，四边形为绿化风景区；‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设点的横坐标为，‎ ‎① 用表示、两点坐标；‎ ‎② 将四边形的面积表示成关于 的函数，并求的最大值；‎ ‎20. 已知函数；‎ ‎（1）若，，求的值域；‎ ‎（2）当时，求的最小值；‎ ‎（3）是否存在实数、，同时满足下列条件：①；②当的定义域为 时，其值域为，若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎21. 已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，‎ ‎，其中，常数；‎ ‎（1）求证：是一个定值；‎ ‎（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有 成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；‎ ‎（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；‎ 参考答案 一. 填空题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. ①② 11. 12. ‎ 二. 选择题 ‎13. B 14. C 15. B 16. D 三. 解答题 ‎17.（1）；（2）；‎ ‎18.（1）；（2），；或，；‎ ‎19.（1）；（2）①，；②；‎ ‎20.（1）；（2）当，；当，；‎ 当，；（3）不存在；‎ ‎21.（1）；（2）；（3）不是；‎