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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届文科一轮复习人教A版4-4数系的扩充与复数的引入教案

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第四节 数系的扩充与复数的引入 ‎ [考纲传真] (教师用书独具)1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、减的几何意义.‎ ‎(对应学生用书第63页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1.复数的有关概念 ‎ (1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a叫做复数z的实数,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).‎ ‎ (2)分类:‎ 满足条件(a,b为实数)‎ 复数的分类 a+bi为实数⇔b=0‎ a+bi为虚数⇔b≠0‎ a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0‎ ‎ (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).‎ ‎ (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).‎ ‎ (5)复数的模:向量的模r叫做复数z=a+bi的模,即|z|=|a+bi|=.‎ ‎2.复数的几何意义 ‎ 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b) 平面向量=(a,b).‎ ‎3.复数代数形式的四则运算 ‎ (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.‎ ‎ z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.‎ ‎ z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.‎ ‎ ==+i(c+di≠0).‎ ‎ (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.‎ ‎ 如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ=+,=-.‎ 图441‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎ (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(  )‎ ‎ (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(  )‎ ‎ (3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.(  )‎ ‎ (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. (  )‎ ‎ [答案] (1)× (2)× (3)×  (4)√‎ ‎2. (教材改编)如图442,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  )‎ 图442‎ ‎ A.A          B.B ‎ C.C D.D ‎ B [共轭复数对应的点关于实轴对称.]‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(  )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎ C [∵z=i(-2+i)=-1-2i,∴复数z=-1-2i所对应的复平面内的点为Z(-1,-2),位于第三象限.‎ ‎ 故选C.]‎ ‎4.(2016·北京高考)复数=(  )‎ ‎ A.i B.1+i ‎ C.-i D.1-i ‎ A [法一:===i.‎ ‎ 法二:===i.]‎ ‎5.复数i(1+i)的实部为________.‎ ‎ -1 [i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.]‎ ‎(对应学生用书第64页)‎ 复数的有关概念 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则=(  )‎ ‎ A.1           B.-1‎ ‎ C.+i D.-i ‎ (2)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.‎ ‎ (1)D (2)-2 [(1)∵z=4+3i,∴=4-3i,|z|==5,‎ ‎ ∴==-i.‎ ‎ (2)由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-‎2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-‎2a≠0,解得a=-2.]‎ ‎ [规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.‎ ‎ 2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.‎ ‎[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位,复数z=的虚部为 ‎(  ) 【导学号:79170142】‎ ‎ A.-    B.-   ‎ ‎ C.    D. ‎ (2)设z=+i,则|z|=(  )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.2‎ ‎ (1)D (2)B [(1)复数z====+i,则其虚部为,故选D.‎ ‎ (2)z=+i=+i=+i,|z|==.]‎ 复数代数形式的四则运算 ‎ (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(  )‎ ‎ A.-2-i B.-2+i ‎ C.2-i D.2+i ‎ (2)(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.‎ ‎ (1)C (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,‎ ‎ ∴z=2-i,故选C.‎ ‎ (2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.]‎ ‎ [规律方法]  1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.‎ ‎ 2.记住以下结论,可提高运算速度 ‎ (1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n=1;‎ ‎ i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).‎ ‎ [变式训练2] (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  ) ‎ ‎【导学号:79170143】‎ ‎ A.1+i       B.1-i ‎ C.-1+i D.-1-i ‎ (2)已知i是虚数单位,8+2 018=________.‎ ‎ (1)D (2)1+i [(1)由=1+i,得z====-1-i,故选D.‎ ‎ (2)原式=8+1 009‎ ‎ =i8+1 009=i8+i1 009‎ ‎ =1+i4×252+1=1+i.]‎ 复数的几何意义 ‎ (1)(2017·北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(  )‎ ‎ A.(-∞,1) B.(-∞,-1)‎ ‎ C.(1,+∞) D.(-1,+∞)‎ ‎ (2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(  )‎ ‎ A.-5 B.5‎ ‎ C.-4+i D.-4-i ‎ (1)B (2)A [(1)∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,‎ ‎ 又∵复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,‎ ‎ ∴解得a<-1.‎ ‎ 故选B.‎ ‎ (2)∵z1=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又z1与z2‎ 在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z2的对应点的坐标为(-2,1)即z2=-2+i,‎ ‎ ∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.]‎ ‎ [规律方法]  1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.‎ ‎ 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.‎ ‎[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点在(  )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎ A [由题意得z×1-2(1+i)=0,则z=2+2i在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限,故选A.]‎

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