人教版高三数学总复习课时作业31 6页

课时作业31　数系的扩充与复数的引入 一、选择题 ‎1．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是(　　)‎ A．－3 B．－3或1‎ C．3或－1 D．1‎ 解析：若复数z为纯虚数，则需满足a2＋2a－3＝0且a＋3≠0，解得a＝1.不要忽视虚部不等于零的条件．‎ 答案：D ‎2．(2014·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：i(1－2i)＝2＋i，对应点为(2,1)位于第一象限．‎ 答案：A ‎3．(2014·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：由已知得，a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，选D.‎ 答案：D ‎4．(2014·湖南卷)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)‎ A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i 解析：由题可得＝i⇒z＋i＝zi⇒z(1－i)＝－i⇒z＝＝－i，故选B.‎ 答案：B ‎5．(2014·安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)‎ A．－2 B．－2i C．2 D．2i 解析：＋i＝＋i(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.‎ 答案：C ‎6．(2014·辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 解析：z－2i＝＝＝＝2＋i，故z＝2＋3i，从而选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．(2014·四川卷)复数＝________.‎ 解析：＝＝－2i.‎ 答案：－2i ‎8．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.‎ 解析：(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，由复数的运算法则可得解得所以a＋bi＝1＋2i.‎ 答案：1＋2i ‎9．已知定义在复数集C上的函数满足f(x)＝，‎ 则f(f(1－i))等于________．‎ 解析：由已知得f(1－i)＝||＝||＝|－i|＝1，‎ ‎∴f(1)＝1＋13＝2，即f(f(1－i))＝2.‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.‎ ‎(1)与复数2－12i相等；‎ ‎(2)与复数12＋16i互为共轭复数；‎ ‎(3)对应的点在x轴上方．‎ 解：(1)根据复数相等的充要条件得 解得m＝－1.‎ ‎(2)根据共轭复数的定义得 解得m＝1.‎ ‎(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>0，‎ 解得m<－3或m>5.‎ ‎11．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，求1＋z2是实数，求实数a的值．‎ 解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.‎ ‎∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.‎ ‎∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.‎ ‎1．复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(　　)‎ A．2－i B．2＋i C．4－i D．4＋i 解析：z＝|1＋i|＋i＝2＋i，故共轭复数为2－i.‎ 答案：A ‎2．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由i4＝1⇒i2 013＝i4×503＋1＝i，则z＝＝＝⇒＝－－i，所以点在第三象限．‎ 答案：C ‎3．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　)‎ A. B．1‎ C.i D．i 解析：∵＝＝－i，＝＝＋i，则A(，－)，B(，)，∴线段AB的中点C(，0)，故点C对应的复数为，选A.‎ 答案：A ‎4．设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.‎ ‎(1)当θ＝π时，求|z|的值；‎ ‎(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．‎ 解：(1)∵θ＝π，‎ ‎∴z＝－3cosπ＋2isinπ＝－i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ ‎(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0，‎ ‎∴tanθ＝，‎ 原式＝＝＝.‎