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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)2-4幂函数与二次函数学案

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‎ 2.4 幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解幂函数的概念.‎ ‎2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.‎ ‎3.理解并掌握二次函数的定义,图象及性质.‎ ‎4.能用二次函数,方程,不等式之间的关系解决简单问题.‎ 以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程,转化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、填空题,中档难度.‎ ‎1.幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 函数 ‎ 特征 ‎ 性质 ‎ y=x y=x2‎ y=x3‎ y=‎ y=x-1‎ 定义域 R R R ‎[0,+∞)‎ ‎{x|x∈R,且x≠0}‎ 值域 R ‎[0,+∞)‎ R ‎[0,+∞)‎ ‎{y|y∈R,且y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ‎2.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式:‎ 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).‎ 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).‎ 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)‎ f(x)=ax2+bx+c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(-∞,+∞)‎ ‎(-∞,+∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减;在x∈上单调递增 在x∈上单调递增;在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x=-对称 知识拓展 ‎1.幂函数的图象和性质 ‎(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.‎ ‎(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.‎ ‎(3)当α>0时,y=xα在[0,+∞)上为增函数;‎ 当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.‎ ‎2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × )‎ ‎(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( × )‎ ‎(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )‎ ‎(4)函数y=2是幂函数.( × )‎ ‎(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )‎ ‎(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P79T1]已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )‎ A.B.1C.D.2‎ 答案 C 解析 由幂函数的定义,知 ‎∴k=1,α=.∴k+α=.‎ ‎3.[P44A组T9]已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )‎ A.a≥3 B.a≤3‎ C.a<-3 D.a≤-3‎ 答案 D 解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,‎ ‎∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.幂函数f(x)=x(a∈ )为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于( )‎ A.3B.4C.5D.6‎ 答案 C 解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,‎ f(x)=x(a∈ )为偶函数,‎ 且在区间(0,+∞)上是减函数,‎ 所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6,‎ 又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.‎ ‎5.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 由a+b+c=0和a>b>c知,a>0,c<0,‎ 由c<0,排除A,B,又a>0,排除C.‎ ‎6.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是______.‎ 答案 -1‎ 解析 函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x=>1,∴函数y=2x2-6x+3在[-1,1]上单调递减,‎ ‎∴ymin=2-6+3=-1.‎ 题型一 幂函数的图象和性质 ‎1.已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 答案 A 解析 设f(x)=xα,由已知得α=,解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数.‎ ‎2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )‎ A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c 答案 B 解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.‎ ‎3.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( )‎ A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a 答案 B 解析 5-a=a,因为a<0时,函数y=xa在(0,+∞)上单调递减,且<0.5<5,‎ 所以5a<0.5a<5-a.‎ 思维升华 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.‎ ‎(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.‎ ‎(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.‎ 题型二 求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为__________________.‎ 答案 f(x)=x2-2x+1‎ 解析 依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,‎ 又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,‎ ‎∴a=,∴f(x)=(x-2)2-1=x2-2x+1.‎ ‎(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=‎ ‎________.‎ 答案 x2+2x 解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),‎ 所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,‎ 得a=1,所以f(x)=x2+2x.‎ 维升华求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.‎ ‎(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.‎ 答案 (1)x2+2x+1 (2)-2x2+4‎ 解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,‎ 由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,‎ 故f(x)=x2+2x+1.‎ ‎(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,‎ ‎∴-a=-,即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,‎ 又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.‎ 题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 典例两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=bx2+ax+c的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 函数f(x)图象的对称轴为x=-,函数g(x)图象的对称轴为x=-,显然-与- 同号,故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧.只有D满足.‎ 命题点2 二次函数的单调性 典例函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )‎ A.[-3,0) B.(-∞,-3]‎ C.[-2,0] D.[-3,0]‎ 答案 D 解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足题意.‎ 当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,‎ 由f(x)在[-1,+∞)上递减知 解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].‎ 引申探究 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.‎ 答案 -3‎ 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0,‎ 又=-1,∴a=-3.‎ 命题点3 二次函数的最值 典例已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.‎ 解 f(x)=a(x+1)2+1-a.‎ ‎(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;‎ ‎(2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;‎ ‎(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.‎ 综上可知,a的值为或-3.‎ 引申探究 将本例改为:求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值.‎ 解 f(x)=(x+a)2+1-a2,‎ ‎∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a.‎ ‎(1)当-a<即a>-时,f(x)max=f(2)=4a+5,‎ ‎(2)当-a≥即a≤-时,f(x)max=f(-1)=2-2a,‎ 综上,f(x)max= 命题点4 二次函数中的恒成立问题 典例 (1)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是________________.‎ 答案 (-∞,-1)‎ 解析 f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,‎ 令g(x)=x2-3x+1-m,‎ 要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,‎ 只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.‎ ‎∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,‎ ‎∴g(x)min=g(1)=-m-1.‎ 由-m-1>0,得m<-1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).‎ ‎(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.‎ 答案 解析 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.‎ 当x=0时,-3<0,成立;‎ 当x≠0时,a<2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值,∴a<.‎ 综上,实数a的取值范围是.‎ 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意:‎ ‎(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).‎ ‎(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.‎ 跟踪训练 (1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 由A,C,D知,f(0)=c<0,‎ 从而由abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A,C错误,D满足要求;由B知f(0)=c>0,‎ 所以ab>0,所以x=-<0,B错误.‎ ‎(2)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________.‎ 答案 -1或3‎ 解析 由于函数f(x)的值域为[1,+∞),‎ 所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,‎ 当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,‎ 即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.‎ ‎(3)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,则实数a的取值范围为________.‎ 答案 解析 由题意得a>-对1<x<4恒成立,‎ 又-=-22+,<<1,‎ ‎∴max=,∴a>.‎ 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12分)设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.‎ 思想方法指导 研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.‎ 规范解答 解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.[2分]‎ 当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,‎ 所以最小值为f(t+1)=t2+1;[5分]‎ 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;[8分]‎ 当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,‎ 所以最小值为f(t)=t2-2t+2.[11分]‎ 综上可知,f(x)min=[12分]‎ ‎1.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( )‎ A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增 答案 D ‎2.(2017·江西九江七校联考)若幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )‎ A.1或3B.1C.3D.2‎ 答案 B 解析 由题意得m2-4m+4=1,m2-6m+8>0,‎ 解得m=1.‎ ‎3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意知即得a>.‎ ‎4.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( )‎ A.[0,+∞) B.(-∞,0]‎ C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)‎ 答案 C 解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),‎ 若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.‎ ‎5.已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1f(x2)‎ C.f(x1)0,又x1+x2=0,‎ ‎∴当x1,x2在对称轴的两侧时,‎ -x1>x2-,故f(x1)0,‎ 故01,即a>2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,不合题意;‎ ‎②当0≤≤1,即0≤a≤2时,符合题意;‎ ‎③当<0,即a<0时,不符合题意.‎ 综上,a的取值范围是[0,2].‎ ‎16.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,‎ F(x)=求F(2)+F(-2)的值;‎ ‎(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.‎ 解 (1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,‎ 解得a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2.‎ ‎∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.‎ ‎(2)由题意得,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,‎ 即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.‎ 又当x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2.∴-2≤b≤0.‎ 故b的取值范围是[-2,0].‎

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