【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的概念及其线性运算学案 9页

‎　‎ ‎1.了解向量的实际背景．‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ 知识点一　向量的有关概念 ‎ ‎1．向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____．‎ ‎2．零向量：长度为____的向量，其方向是任意的．‎ ‎3．单位向量：长度等于________的向量．‎ ‎4．平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．‎ ‎5．相等向量：长度相等且方向______的向量．‎ ‎6．相反向量：长度相等且方向______的向量．‎ 答案 ‎1．方向　模　2.0　3.1个单位 ‎4．相反　5.相同　6.相反 ‎1．给出下列结论：‎ ‎① a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；‎ ‎②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；‎ ‎③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；‎ ‎④有相同起点的两个非零向量不平行．‎ 其中正确结论的序号是 ________.‎ 解析：结论①中的向量b如果是零向量，则结论不成立；结论②中两个向量的起点和终点在同一条直线上时，它们的起点和终点不是平行四边形的四个顶点；在结论③中，如果向量a与b中至少有一个零向量，根据零向量与任意向量共线，则a与b共线，故结论③是正确的；根据向量平行的概念知，两个向量有相同的起点，它们也可能平行．‎ 答案：③‎ 知识点二　　向量的线性运算 ‎ 向量 运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝______.‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ ‎____________.‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝______.‎ ‎(2)当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____.‎ λ(μa)＝______；‎ ‎(λ＋μ)a ‎＝________；‎ λ(a＋b)‎ ‎＝________.‎ 答案 b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb ‎2．判断正误 ‎(1)＋＋＝.(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√‎ ‎3．(必修④P92习题2.2B组第5题改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．‎ 解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.‎ 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．‎ 答案：矩形 知识点三　共线向量定理 ‎ 向量a(a≠0)与b共线的______条件是存在唯一一个实数λ，使得________．‎ 答案 充要　b＝λa ‎4．下列结论：‎ ‎①若a，b共线，则一定存在实数λ，使得a＝λb；‎ ‎②若存在实数λ，使得a＝λb，则a，b共线；‎ ‎③若对任意实数λ恒有a＝λb，则a＝b＝0；‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 解析：①中若a≠0，b＝0，则不存在实数λ，使得a＝λb，①不正确；②中，若b＝0，则a＝0，两个零向量共线，若b≠0，根据共线向量定理知a，b共线；③中，只有当a＝b＝0时，对任意λ恒有a＝λb，③正确．‎ 答案：②③‎ ‎5．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ＝________.‎ 解析：由于a＋λb＝－l(b－‎3a)，所以解得λ＝－.‎ 答案：－ 热点一　平面向量的概念 ‎ ‎【例1】　给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，‎ ‎∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.‎ ‎【答案】　②③‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.‎ 设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与 a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ 答案：D 热点二 平面向量的线性运算 ‎ 考向1　向量的线性运算 ‎【例2】　(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)‎ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c ‎【解析】　(1)＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.‎ ‎(2)∵＝2，‎ ‎∴－＝＝2＝2(－)，‎ ‎∴3＝2＋，‎ ‎∴＝＋＝b＋c.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A 考向2　根据向量线性运算求参数 ‎【例3】　在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　设＝y，‎ ‎∵＝＋ ‎＝＋y＝＋y(－)‎ ‎＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ ‎∴y∈，∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.‎ ‎【答案】　D ‎【总结反思】‎ 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．‎ ‎(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.‎ ‎(2017·惠州模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 ‎ B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：＝＝－＝＋(－)＝＋，即－＝＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．‎ 答案：B 热点三 向量共线及应用 ‎ ‎【例4】　设两个非零向量a和b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)．‎ 即解得k＝±1.‎ 即k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线．‎ ‎1．若将本例(1)中“＝‎2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A、B、D三点共线？‎ 解：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝‎4a＋(m－3)b，即＝‎4a＋(m－3)b.‎ 若A、B、D三点共线，则存在实数λ，使＝λ.‎ 即‎4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．‎ ‎∴解得m＝7.‎ 故当m＝7时，A、B、D三点共线．‎ ‎2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？‎ 解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．‎ 所以所以k＝±1.‎ 又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.‎ 故当k＝－1时两向量反向共线.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ‎1a＋λ2b＝0成立；若λ‎1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.‎ ‎(1)设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.‎ ‎(2)运用(1)的结论解决下面问题：在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝________.‎ 解：‎ ‎(1)充分性：‎ ‎∵λ＋μ＝1，‎ ‎∴＝λ＋μ ‎＝(1－μ)＋μ ‎＝＋μ(－)‎ ‎＝＋μ.‎ ‎∴－＝μ.‎ ‎∴＝μ，‎ ‎∴，共线．‎ ‎∵有公共点A，∴A，P，B三点共线．‎ 必要性：若P，A，B三点共线，‎ 则＝μ＝μ(－)．‎ ‎∴－＝μ－μ.‎ ‎∴＝(1－μ)＋μ.‎ 令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，其中μ＋λ＝1.‎ ‎(2)由＝2，知A，B，D三点共线．‎ ‎∴＋λ＝1，从而λ＝.‎ ‎1．正确区别向量与数量．确定向量需要同时确定其“大小”和“方向”，向量可以用有向线段表示．数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立．‎ ‎2．注意0与数0的区别，0≠0，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0＋a＝a，0·a＝0，λ·0＝0，a－a＝0，注意数量积0·a＝0，不能写成0·a＝0.‎ ‎3．正确区别向量的加减法及其几何意义．在＋＝中，的终点与的起点相同；在－＝中，与共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为零向量，如＋＋＋＝0.‎ ‎4．证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使a＝λb(b≠0)即可．‎