高中数学选修第3章3_1_3同步练习 5页

高中数学人教A版选2-1 同步练习 设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：‎ ‎①(a·b)c－(c·a)b＝0；‎ ‎②|a|－|b|<|a－b|；‎ ‎③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；‎ ‎④(‎3a＋2b)·(‎3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．①②　　　　　　　　　　 B．②③‎ C．③④ D．②④‎ 解析：选D.根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.‎ 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　)‎ A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选B.〈，〉＝〈，〉＝45°；‎ ‎〈，〉＝180°－〈，〉＝135°；‎ ‎〈，〉＝〈，〉＝90°；‎ ‎〈，〉＝180°.‎ 已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．‎ 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.‎ 答案：－2‎ 在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，·＝__________．‎ 解析：由正方体知BC′∥AD′，∴〈，〉＝0，又||＝||＝，所以·＝··1＝2.‎ 答案：2‎ ‎[A级　基础达标]‎ 若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)‎ A．m∥n B．m⊥n C．m，n既不平行也不垂直 D．以上三种情况都可能 解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μ b)＝λm·a＋μ m·b＝0，所以m⊥n.‎ 已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.‎ 已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)‎ A．6 B．6‎ C．12 D．144‎ 解析：选C.∵＝＋＋，‎ ‎∴2＝2＋2＋2＋2 · ‎＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.‎ ‎∴PC＝12.‎ 已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于__________．‎ 解析：∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，‎ ‎∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.‎ 答案：－ 已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，则·＝__________．‎ 解析：连接向量.·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.‎ 答案：a2‎ 如图所示，已知四面体ABCD的每条棱的长都等于1，点E，F分别是棱AB，AD的中点，计算：‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)·；‎ ‎(3)·.‎ 解：(1)·＝||||·cos〈，〉‎ ‎＝cos＝.‎ ‎(2)·＝·＝.‎ ‎(3)·＝·＝||||·cos〈，〉‎ ‎＝cos＝－.‎ ‎[B级　能力提升]‎ 已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选C.＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴a与b所成的角是60°.‎ 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：选B.＝－，＝－，‎ ·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，‎ ‎∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0.‎ ‎∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，‎ ‎∴△BCD为锐角三角形．‎ 空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为__________．‎ 解析：cos〈，〉＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝0.‎ 答案：0‎ 直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)＝－a＋c，∴||＝|a|，‎ 又||＝|a|，‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ (创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求MN的长．‎ 解：(1)证明：连接AN(图略)．设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－ ‎＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p ‎＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.‎ ‎(2)由(1)可知＝(q＋r－p)．‎ ‎∴||2＝(q＋r－p)2‎ ‎＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]‎ ‎＝ ‎＝×‎2a2＝.‎ ‎∴||＝a，∴MN的长为a.‎