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- 2021-06-11 发布
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永年二中高二期中考试数学试题
一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题5分，共60分）
1．命题“∃x0∈R,2x0－3>1”的否定是( )
A．∃x0∈R,2x0－3≤1 B．∀x∈R,2x－3>1
C．∀x∈R,2x－3≤1 D．∃x0∈R,2x0－3>1
2．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.> B.>1 C．a20的解集．
（2）若对一切x>2，均有x2＋ax＋b≥(m＋1)x－m－5成立，求实数m的取值范围．
20．(12分) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C
＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．
21、(12分)在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求{an}的通项an； (2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。
22、(12分)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P向x轴作垂线，垂足为D。当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且·>0，求直线l的斜率k的取值范围．
永年二中高二期中考试数学试题答案
一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题5分，共60分）
1．解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．
2．解析：选D 利用特值法，令a＝－2，b＝2.则<，A错；<0，B错；a2＝b2．
3．解析：选A 将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分．
4．解析：将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，
显然m－2＞10－m，即m＞6且()2－()2＝22，解得m＝8.答案：D
5． 解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
6．解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12k(k＞0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cos B＝＝＝，故选D.
7．解析：选C∵等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，
∴a3＋a4＝a1＋a2，∴q2＝1⇔|q|＝1，∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件。
8．解析]选A 由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2，∴＝2.又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝.根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，所以离心率e＝＝.
9．解析：∵2a4，a6,48成等差数列，∴2a6＝2a4＋48，∴2a1q5＝2a1q3＋48，又∵q＝2，∴a1＝1，
∴S8＝＝255.答案：B
10．解析：作出不等式组表示的区域如下图所示．由z＝ax＋y得y＝－ax＋z.当－a＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a＝－1时，线段AC上的所有点都是最优解；当－a＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a＝3时，线段BC上的所有点都是最优解．故选B.
11．解析 设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则两式相减再变形，得＋k＝0。又弦中点为(4,2)，∴k＝－。∴这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0。故选D。
12、【解析】由题意可知，数列{cn}的前n项和Sn＝，前2n项和S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋，所以当d＝4时，为非零常数，则数列{cn}是“和等比数列”，故d＝4。
二、填空题（每题5分，共20分）
13． 解析 由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，
a7＝1。答案 1
14．解析依题意得|AB|＝＝，|F1F2|＝2＝6，△ABF2的面积等于|AB|×|F1F2|＝××6＝。
15． 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台， 则目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
16． 解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝.又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.
三、解答题（共6道题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）
17． 解 (1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12. 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，所求椭圆标准方程为x2＋＝1．
18． 解：由y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知00，解之得a<或a>．
∴p真对应集合A＝{a|00为2x2－3x＋1>0. ∵方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝，x2＝1，
∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}．
(2)当x>2时，x2－3x＋2≥(m＋1)x－m－5恒成立，即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2≥2 －2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
20． 解：(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于，
∴absin C＝，∴ab＝4，联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，∴sin Bcos A＝2sin Acos A，
①当cos A＝0时，A＝；
②当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，
联立，解得a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝.
综上所述，A＝或A＝.
21解析(1)因为b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＝6，所以log2(a1a3a5)＝6，所以log2(aq6)＝6，
所以log2(a1q2)＝2，即b3＝2，a1q2＝4＝a3。因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，
又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0＝log2a5，a5＝1，所以＝＝q2，又q>0，
解得所以an＝16×n－1＝25－n(n∈N*)。
(2)由(1)知an＝25－n，所以bn＝5－n(n∈N*)，所以cn＝＝，
所以Sn＝－＝－
＝－＝(n∈N*)。
22、【解析】 (1)解法一：由＝2知点M为线段PD的中点，设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)。因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4。所以曲线C的方程为＋y2＝1。
（2）显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又·>0，所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2
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