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  • 2021-06-11 发布

2019届二轮复习 立体几何[解答题突破练]学案(全国通用)

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第16练 立体几何[解答题突破练]‎ ‎[明晰考情] 1.命题角度:高考中考查线面的位置关系和线面角,更多体现传统方法.2.题目难度:中档难度.‎ 考点一 空间中的平行、垂直关系 方法技巧 (1)平行关系的基础是线线平行,比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系,利用平行四边形构造平行关系.‎ ‎(2)证明线线垂直的常用方法 ‎①利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直;‎ ‎②利用勾股定理的逆定理;‎ ‎③利用线面垂直的性质.‎ ‎1.如图,在六面体ABCDE中,平面DBC⊥平面ABC,AE⊥平面ABC.‎ ‎(1)求证:AE∥平面DBC;‎ ‎(2)若AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC.‎ 证明 (1)过点D作DO⊥BC,O为垂足.‎ 又∵平面DBC⊥平面ABC,平面DBC∩平面ABC=BC,DO⊂平面DBC,‎ ‎∴DO⊥平面ABC.‎ 又AE⊥平面ABC,‎ ‎∴AE∥DO.‎ 又AE⊄平面DBC,DO⊂平面DBC,‎ 故AE∥平面DBC.‎ ‎(2)由(1)知,DO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ ‎∴DO⊥AB.‎ 又AB⊥BC,且DO∩BC=O,DO,BC⊂平面DBC,‎ ‎∴AB⊥平面DBC.‎ ‎∵DC⊂平面DBC,‎ ‎∴AB⊥DC.‎ 又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB⊂平面ABD,‎ ‎∴DC⊥平面ABD.‎ 又AD⊂平面ABD,‎ ‎∴AD⊥DC.‎ ‎2.(2018·江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB,AB1⊥B1C1.‎ 求证:(1)AB∥平面A1B1C;‎ ‎(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ 证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.‎ 因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,‎ 所以AB∥平面A1B1C.‎ ‎(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,‎ 四边形ABB1A1为平行四边形.‎ 又因为AA1=AB,‎ 所以四边形ABB1A1为菱形,‎ 因此AB1⊥A1B.‎ 又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,‎ 所以AB1⊥BC.‎ 又因为A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BC,‎ 所以AB1⊥平面A1BC.‎ 因为AB1⊂平面ABB1A1,‎ 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ ‎3.(2018·全国Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)证明:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.‎ ‎(1)证明 因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,‎ 所以OP⊥AC,且OP=2.‎ 如图,连接OB.‎ 因为AB=BC=AC,‎ 所以△ABC为等腰直角三角形,‎ 所以OB⊥AC,OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.‎ 因为OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,‎ OB,AC⊂平面ABC,‎ 所以PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)解 作CH⊥OM,垂足为H,‎ 又由(1)可得OP⊥CH,‎ 因为OM∩OP=O,OM,OP⊂平面POM,‎ 所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离.‎ 由题意可知OC=AC=2,CM=BC=,‎ ‎∠ACB=45°,‎ 所以在△OMC中,由余弦定理可得OM=,‎ CH==.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎4.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.‎ ‎(1)求三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.‎ 解 (1)∵AB=1,AC=2,∠BAC=60°,‎ ‎∴S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.‎ 由PA⊥平面ABC可知,PA是三棱锥P-ABC的高,且PA=1,‎ ‎∴三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.‎ ‎(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N,在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.‎ ‎∵PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴PA⊥AC,‎ ‎∴MN⊥AC.‎ 又∵BN⊥AC,BN∩MN=N,BN,MN⊂平面BMN,‎ ‎∴AC⊥平面MBN.‎ 又∵BM⊂平面MBN,∴AC⊥BM.‎ 在Rt△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,‎ 从而NC=AC-AN=,‎ 由MN∥PA,得==.‎ 考点二 空间角的求解 要点重组 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α,β的法向量分别为u=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).‎ ‎(1)线线角 设l,m所成的角为θ,则 cos θ==.‎ ‎(2)线面角 设直线l与平面α所成的角为θ,‎ 则sin θ=|cos〈a,u〉|=.‎ ‎(3)二面角 设α-l-β的平面角为θ,‎ 则|cos θ|=|cos〈u,v〉|=.‎ 方法技巧 求空间角的两种方法 ‎(1)按定义作出角,然后利用图形计算.‎ ‎(2)利用空间向量,计算直线的方向向量和平面的法向量,通过向量的夹角计算.‎ ‎5.(2018·诸暨模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=,AB=2CD=2,E是CD的中点.‎ ‎(1)证明:AE⊥PB;‎ ‎(2)设F是棱PB上的点,EF∥平面PAD,求EF与平面PAB所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 取AD的中点G,连接PG,BG,‎ 平面PAD⊥平面ABCD,PG⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,‎ ‎∴PG⊥平面ABCD,∴AE⊥PG.‎ 又∵tan∠DAE=tan∠ABG,∴AE⊥BG.‎ 又∵PG∩BG=G,PG,BG⊂平面PBG,‎ ‎∴AE⊥平面PBG,∴AE⊥PB.‎ ‎(2)解 作FH∥AB交PA于点H,连接DH,‎ ‎∵EF∥平面PAD,平面FHDE∩平面PAD=DH,‎ ‎∴EF∥DH.‎ ‎∴四边形FHDE为平行四边形.‎ ‎∴HF=DE=AB,‎ 即H为PA的一个四等分点.‎ 又AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,‎ 作DK⊥PA于点K,‎ ‎∴AB⊥DK,DK⊥PA,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,‎ ‎∴DK⊥平面PAB,‎ ‎∴∠DHK为所求线面角,‎ sin∠DHK===.‎ ‎6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH=,设D为CC1的中点.‎ ‎(1)求证:CC1⊥平面A1B1D;‎ ‎(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.‎ 方法一 (几何法)‎ ‎(1)证明 因为CC1∥AA1且在正方形AA1B1B中AA1⊥A1B1,‎ 所以CC1⊥A1B1,‎ 取A1B1的中点E,连接DE,HE,‎ 则HE∥BB1∥CC1且HE=BB1=CC1.‎ 又D为CC1的中点,‎ 所以HE∥CD且HE=CD,‎ 所以四边形HEDC为平行四边形,‎ 因此CH∥DE,‎ 又CH⊥平面AA1B1B,‎ 所以CH⊥HE,DE⊥HE,‎ 所以DE⊥CC1,‎ 又A1B1∩DE=E,A1B1,DE⊂平面A1B1D,‎ 所以CC1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)解 取AA1的中点F,连接CF,作HK⊥CF于点K,‎ 因为CH∥DE,FH∥A1B1,CH∩FH=H,DE∩A1B1=E,‎ 所以平面CFH∥平面A1B1D,‎ 由(1)得CC1⊥平面A1B1D,‎ 所以CC1⊥平面CFH,又HK⊂平面CFH,‎ 所以HK⊥CC1,‎ 又HK⊥CF,CF∩CC1=C,CF,CC1⊂平面AA1C1C,‎ 所以HK⊥平面AA1C1C,‎ 所以DH与平面AA1C1C所成的角为∠HDK.‎ 在Rt△CFH中,CF==2,KH=,‎ 在Rt△DHK中,‎ 由于DH=2,sin∠HDK==,‎ 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.‎ 方法二 (向量法)‎ ‎(1)证明 如图,以H为原点,建立空间直角坐标系,‎ 则C(0,0,),C1(,,),A1(,0,0),‎ B1(0,,0),D,‎ 所以=(,,0),=,‎ =.‎ 所以·=0,·=0,‎ 因此CC1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)解 设平面AA1C1C的法向量为n=(1,x,y),‎ 由于=(,,0),=(-,0,),‎ 则n·=+x=0,‎ n·=-+y=0,‎ 得x=-1,y=,‎ 所以n=.‎ 又=,‎ 设θ为DH与平面AA1C1C所成的角,‎ 所以sin θ===,‎ 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎7.(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF∥BD,且BD=2EF.‎ ‎(1)求证:平面ADE⊥平面BDEF;‎ ‎(2)若二面角C-BF-D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 在△ABD中,∠ABD=30°,‎ 由AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 30°,‎ 解得BD=,‎ 所以AD2+BD2=AB2,‎ 根据勾股定理得∠ADB=90°,‎ ‎∴AD⊥BD.‎ 又因为DE⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,‎ 所以AD⊥DE.‎ 又因为BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDEF,‎ 所以AD⊥平面BDEF,‎ 又AD⊂平面ADE,‎ 所以平面ADE⊥平面BDEF,‎ ‎(2)解 方法一 如图,由(1)可得∠ADB=90°,∠ABD=30°,‎ 则∠BDC=30°,则△BCD为锐角为30°的等腰三角形.‎ CD=CB=1, 则CG=.‎ 过点C作CH∥DA,交DB,AB于点G,H,‎ 则点G为点F在平面ABCD上的投影.连接FG,‎ 则CG⊥BD,DE⊥平面ABCD,则CG⊥平面BDEF.‎ 过点G作GI⊥BF于点I,连接HI,CI,‎ 则BF⊥平面GCI,‎ 即∠GIC为二面角C-BF-D的平面角,‎ 则∠GIC=60°.‎ 则tan 60°=,CG=,则GI= .‎ 在直角梯形BDEF中,G为BD的中点,BD=,GI⊥BF,GI=,‎ 设DE=x ,则GF=x,‎ S△BGF=·BG·GF=·BF·GI,‎ 则DE=.tan∠FCG==,‎ 则sin∠FCG=,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ 方法二 由题意可知DA,DB,DE两两垂直,以D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.‎ 设DE=h,则D(0,0,0),B(0,,0),C,F.‎ =,=,‎ 设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),‎ 则 所以取x=,‎ 所以m=,‎ 取平面BDEF的法向量为n=(1,0,0),‎ 由|cos〈m,n〉|==cos 60°,‎ 解得h=,则DE=,‎ 又=,‎ 则||=,‎ 设CF与平面ABCD所成的角为α,‎ 则sin α==.‎ 故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ ‎8.如图,在四棱锥P-ABCD ,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP⊥平面ABP,O,M分别是AD,PB的中点.‎ ‎(1)求证:PD∥平面OCM;‎ ‎(2)若AP与平面PBD所成的角为60°,求线段PB的长.‎ ‎(1)证明 连接OB,设BD与OC的交点为N,连接MN.‎ 因为O为AD的中点,AD=2,‎ 所以OA=OD=1=BC.‎ 又因为AD∥BC,‎ 所以四边形OBCD为平行四边形,‎ 所以N为BD的中点,‎ 又因为M为PB的中点,‎ 所以MN∥PD.‎ 又因为MN⊂平面OCM,PD⊄平面OCM,‎ 所以PD∥平面OCM.‎ ‎(2)解 由四边形OBCD为平行四边形,知OB=CD=1,‎ 所以△AOB为等边三角形,所以∠BAD=60°‎ 所以BD==,‎ 即AB2+BD2=AD2,即AB⊥BD.‎ 因为DP⊥平面ABP,所以AB⊥PD.‎ 又因为BD∩PD=D,BD,PD⊂平面BDP,‎ 所以AB⊥平面BDP,‎ 所以∠APB为AP与平面PBD所成的角,即∠APB=60°,‎ 所以在Rt△ABP中,可得PB=.‎ 例 (15分)如图,已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,现将△DAC沿着对角线AC向上翻折到△PAC的位置,此时PA⊥PB.‎ ‎(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;‎ ‎(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值.‎ 审题路线图 ‎(1)―→―→―→ → ‎(2)方法一 (作角)‎ ―→―→‎ 方法二 (向量法)‎ ―→―→ ‎―→―→ 规范解答·评分标准 ‎(1)证明 因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,‎ 所以PA⊥平面PBC,2分 所以PA⊥BC,‎ 又BC⊥AB,AB∩AP=A,‎ 所以BC⊥平面PAB,4分 又BC⊂平面ABC,‎ 所以平面PAB⊥平面ABC.6分 ‎(2)解 方法一 如图,作BD⊥PC于点D,连接AD,‎ 由(1)知,PA⊥平面PBC,‎ 所以PA⊥BD,‎ 而BD⊥PC,PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,‎ 所以BD⊥平面PAC,‎ 所以∠BAD为直线AB与平面PAC所成的角.9分 在Rt△PBC中,BC=3,PC=4,PB=,‎ 所以BD=,又AB=4,‎ 在Rt△ADB中,sin∠BAD==,13分 所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分 方法二 由(1)知平面PAB⊥平面ABC,‎ 所以在平面PAB内,过点P作PE⊥AB于点E,‎ 则PE⊥平面ABC,‎ 如图,以B为坐标原点,建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行),‎ 在Rt△PBC中,BC=3,PC=4,PB=,‎ 在Rt△APB中,AP=3,AB=4,PE=,BE=,‎ 可知A(0,-4,0),B(0,0,0),C(-3,0,0),‎ P,=(-3,4,0),=,10分 则易得平面PAC的一个法向量为m=,12分 =(0,4,0),所以cos〈,m〉==,‎ 故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分 构建答题模板 方法一 ‎[第一步] 找垂直:利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直.‎ ‎[第二步] 作角:利用定义结合垂直关系作出所求角.‎ ‎[第三步] 计算:将所求角放在某三角形中,计算.‎ 方法二 ‎[第一步] 找垂直:利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直,同时为建系作准备.‎ ‎[第二步] 写坐标:建立空间直角坐标系,写出特殊点的坐标.‎ ‎[第三步] 求向量:求直线的方向向量或平面的法向量.‎ ‎[第四步] 求夹角:计算向量的夹角,得到所求的线面角或二面角.‎ ‎1.在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°,BC=CD==2.‎ ‎(1)证明:BD⊥PA;‎ ‎(2)若△PAD为正三角形,求直线PA与平面PBD所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明 在直角梯形ABCD中,因为AD==2,BD==2,AB=4,‎ 所以AD2+BD2=AB2,所以BD⊥AD.‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,BD⊂底面ABCD,‎ 所以BD⊥平面PAD,‎ 又PA⊂平面PAD,‎ 所以BD⊥PA.‎ ‎(2)解 方法一 如图,取PD的中点M,连接AM,BM.‎ 因为△PAD为正三角形,所以AM⊥PD.‎ 又由(1)知,BD⊥平面PAD,‎ 所以平面PBD⊥平面PAD,‎ 又平面PAD∩平面PBD=PD,AM⊂平面PAD,‎ 所以AM⊥平面PBD,‎ 故∠APM即为直线PA与平面PBD所成的角.‎ 故cos∠APM=,‎ 即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.‎ 方法二 在平面PAD内,过点P作PQ⊥AD,垂足为Q,取AB的中点N,连接QN,易知,PQ,AQ,QN两两垂直.‎ 以Q为坐标原点,QA,QN,QP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 则P(0,0,),A(,0,0),‎ B(-,2,0),D(-,0,0).‎ 设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量.‎ 由n·=0,n·=0,且=(0,2,0),‎ =(-,0,-),‎ 得 取z=-1,则n=( ,0,-1),‎ 又=(,0,-),‎ 所以cos〈n,〉==,‎ 因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.‎ ‎2.设平面ABCD⊥平面ABEF,AB∥CD,AB∥EF,∠BAF=∠ABC=90°,BC=CD=AF=EF=1,AB=2.‎ ‎(1)证明: CE∥平面ADF;‎ ‎(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 ∵AB∥CD, AB∥EF,∴CD∥EF.‎ 又∵CD=EF,‎ ‎∴四边形CDFE是平行四边形.‎ ‎∴CE∥DF,又CE⊄平面ADF,DF⊂平面ADF,‎ ‎∴CE∥平面ADF.‎ ‎(2)解 取AB的中点G,连接CG交BD于点O,连接EO,EG.‎ ‎∵CD∥EF,‎ ‎∴DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角.‎ ‎∵AB⊥AF,平面ABCD⊥平面ABEF,‎ ‎∴AF⊥平面ABCD.‎ 又∵EG∥AF,‎ ‎∴EG⊥平面ABCD,‎ ‎∴EG⊥BD.连接DG,‎ 在正方形BCDG中,BD⊥CG,‎ 故BD⊥平面ECG.‎ ‎∴平面BDE⊥平面ECG.‎ 在平面CEO中,作CH⊥EO,交直线EO的延长线于点H,得CH⊥平面BDE.‎ ‎∴∠CEH是CE与平面BDE所成的角.‎ 过点G作GQ⊥EO.‎ ‎∵OC=OG,‎ ‎∴CH=GQ=.‎ ‎∵CE=,‎ ‎∴sin∠CEH==.‎ ‎3.(2018·宁波模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD为正三角形,四边形ABCD为直角梯形,CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,点E,F分别为AD,CP的中点,AD=AB=2CD=2.‎ ‎(1)证明:直线EF∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 设BC的中点为M,连接EM,FM,‎ 易知EM∥AB,FM∥PB,‎ 因为EM∥AB,EM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,‎ 所以EM∥平面PAB.‎ 同理FM∥平面PAB.‎ 又EM∩FM=M,EM⊂平面FEM,FM⊂平面FEM,‎ 所以平面FEM∥平面PAB,‎ 又EF⊂平面FEM,‎ 所以直线EF∥平面PAB.‎ ‎(2)解 连接PE,PM,‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD,‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD,且PE⊥AD,PE⊂平面PAD,‎ 所以PE⊥平面ABCD,PE⊥BC.‎ 又因为EM⊥BC,PE∩EM=E,‎ 所以BC⊥平面PEM,‎ 所以平面PBC⊥平面PEM.‎ 过点E作EH⊥PM于点H,连接FH,‎ 由平面PBC⊥平面PEM可知,EH⊥平面PBC.‎ 所以直线EF与平面PBC所成的角为∠EFH.‎ 易求得EF=PC=,EH=,‎ 所以sin∠EFH===.‎ ‎4.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE折起至△A′DE的位置,使得平面A′DE⊥平面BCDE,F为线段A′C的中点.‎ ‎(1)求证:BF∥平面A′DE;‎ ‎(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值.‎ ‎(1)证明 取A′D的中点M,连接FM,EM,‎ ‎∵F为A′C的中点,‎ ‎∴FM∥CD且FM=CD,‎ 又E为AB的中点,且AB∥CD,且AB=CD,‎ ‎∴BE∥CD且BE=CD,‎ ‎∴BE∥FM且BE=FM,‎ ‎∴四边形BFME为平行四边形.‎ ‎∴BF∥EM,‎ 又EM⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,‎ ‎∴BF∥平面A′DE.‎ ‎(2)解 在平面BCDE内作BN⊥DE,交DE的延长线于点N,‎ ‎∵平面A′DE⊥平面BCDE,平面A′DE∩平面BCDE=DE,BN⊂平面BCDE,‎ ‎∴BN⊥平面A′DE,连接A′N,‎ 则∠BA′N为A′B与平面A′DE所成的角.‎ 易知△BNE∽△DAE,‎ ‎∴==,又BE=1,‎ ‎∴BN=,EN=.‎ 在△A′DE中,作A′P⊥DE,垂足为P,‎ ‎∵A′E=1,A′D=2,‎ ‎∴A′P=,∴EP=.‎ 在Rt△A′PN中,PN=PE+EN=,A′P=,‎ ‎∴A′N=.‎ ‎∴在Rt△A′BN中,tan∠BA′N==,‎ ‎∴直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为.‎

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