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- 2021-06-11 发布
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课时作业(三十八) [第38讲 不等式的综合应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
1． 0m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
2．设01，则x0的取值范围是( )
A．(0,2)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(0,1)∪(2，＋∞) D．(0,2)
4． 要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50 B．25
C．50 D．100
5． 设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|xb>0)的半焦距，则的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，]
8． 银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为( )
A．5% B．10%
C．15% D．20%
9． 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°.如图K38－2所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若＝x＋y，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是( )
图K38－2
A．1 B.
C. D．2
10．要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长________ m、宽________ m.
11． 已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．
12．若命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”为真命题，则实数x的取值范围是____________．
13．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为________．
14．(10分)青海玉树大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算：
(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？
15．(13分)已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a>b>0，c＝，求证：f(a)＋f(c)>.
16．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(x∈R，a，b为实数)有极值，且在x＝－1处的切线与直线x－y＋1＝0平行．
(1)求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得f′(x)＝x的两个根x1，x2满足0m>n.
2．B [解析] 依题意得ab－b2＝b(a－b)＞0，ab＞b2，因此A不正确．由函数y＝x在R上是减函数得，当0＜b＜a＜1时，有0>b＞a＞1＝，即＜a＜b，因此B正确．同理可知，C、D不正确．综上所述，选B.
3．A [解析] 当x0≥2时，>1，解得x0>3；当x0<2时，2x0>1，解得01，
∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，
∴≤.故选D.
8．C [解析] 设银行在两个项目上的总投资金额为s，按题设条件，在M、N上的投资所得的年利润为PM、PN分别满足：PM＝s×，PN＝s×；银行的年利润P满足：s≤P≤s；这样，银行给客户的回报率为×100%，即≤≤.
9．B [解析] 2＝(x＋y)2，化简可得x2＋y2＝1，所以x＋y＝＝≤＝，当且仅当x＝y＝时等号成立．
10．24 18 [解析] 设鱼池的两边长分别为x，，
∴S＝(x＋6)＝432＋48＋＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝即x＝18，＝24时等号成立．
11．4 [解析] 由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，所以1＝＋≥2，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.
12．x<－1或x> [解析] 令m(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，m(a)是关于a的一次函数，
∵命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”为真命题，
∴m(1)>0或m(3)>0，
即x2－x－2>0①或3x2＋x－2>0②，
由①得x<－1或x>2；由②得x<－1或x>.
所以，所求实数x的取值范围是x<－1或x>.
13．32 [解析] 根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc)≤＝＝32，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
14．[解答] (1)p＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，
故p＝900x＋400y＋200xy.
(2)S＝x·y，且p≤32000；
由题意可得：p＝200S＋900x＋400y≥200S＋2，
⇒200S＋1200≤p≤32000⇒()2＋6－160≤0，
⇒0<≤10⇒S≤100；
当且仅当⇒x＝时取最大值；
答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米．
15．[解答] (1)对已知函数进行降次分项变形，得f(x)＝1－，
则f′(x)＝>0，
∴f(x)在区间(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
(2)证明：首先证明任意x>y>0，有f(x＋y)＝f(xy＋x＋y)．
而xy＋x＋y>x＋y，
由(1)知f(xy＋x＋y)>f(x＋y)，
∴f(x)＋f(y)>f(x＋y)，
c＝>＝>0.
∴a＋c≥＋＋≥3，
∴f(a)＋f(c)>f(a＋c)≥f(3)＝.
【难点突破】
16．[解答] (1)f′(x)＝x2＋ax＋b，
因为f(x)有极值，∴Δ＝a2－4b>0(*)．
又在x＝－1处的切线与直线x－y＋1＝0平行，
∴f′(－1)＝1－a＋b＝1，
∴b＝a代入(*)式得，a2－4a>0，∴a>4或a<0.
(2)假若存在实数a，使f′(x)＝x的两个根x1、x2满足0
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