2018届二轮复习高考中的立体几何问题课件（文）（江苏专用） 69页

高考专题突破四 高考 中的立体几何问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1. 正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， D 为 BC 中点， E 为 A 1 C 1 中点，则 DE 与平面 A 1 B 1 BA 的位置关系为 ______. 答案 解析 如图取 B 1 C 1 的中点为 F ， 连结 EF ， DF ， DE ， 则 EF ∥ A 1 B 1 ， DF ∥ B 1 B ， ∴ 平面 EFD ∥ 平面 A 1 B 1 BA ， ∴ DE ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 平行 2. 设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： ① x 、 y 、 z 均为直线 ； ② x 、 y 是直线， z 是平面 ； ③ z 是直线， x 、 y 是平面 ； ④ x 、 y 、 z 均为平面 . 其中使 “ x ⊥ z 且 y ⊥ z ⇒ x ∥ y ” 为真命题的是 ______. 答案 解析 ②③ 由正方体模型可知 ①④ 为假命题 ； 由 线面垂直的性质定理可知 ②③ 为真命题 . 3.(2016· 无锡模拟 ) 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别在 C 1 D 1 与 C 1 B 1 上，且 C 1 E ＝ 4 ， C 1 F ＝ 3 ，连结 EF ， FB ， DE ， BD ，则几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 _____. 答案 解析 66 如图，连结 DF ， DC 1 ， 那么 几何体 EFC 1 － DBC 被分割成三棱锥 D － EFC 1 及四棱锥 D － CBFC 1 ， 那么 几何体 EFC 1 － DBC 的体积 为 V ＝ × × 3 × 4 × 6 ＋ × × ( 3 ＋ 6) × 6 × 6 ＝ 12 ＋ 54 ＝ 66 . 故所求几何体 EFC 1 － DBC 的体积为 66. 4. 如图，在四棱锥 V － ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， E 、 F 分别为侧棱 VC 、 VB 上的点，且满足 VC ＝ 3 EC ， AF ∥ 平面 BDE ， 则 ＝ _____. 答案 解析 2 连结 AC 交 BD 于点 O ， 连结 EO ，取 VE 的中点 M ， 连结 AM ， MF ， ∵ VC ＝ 3 EC ， ∴ VM ＝ ME ＝ EC ， 又 AO ＝ CO ， ∴ AM ∥ EO ， 又 EO ⊂ 平面 BDE ， ∴ AM ∥ 平面 BDE ， 又 AF ∥ 平面 BDE ， AM ∩ AF ＝ A ， ∴ 平面 AMF ∥ 平面 BDE ， 又 MF ⊂ 平面 AMF ， ∴ MF ∥ 平面 BDE ， 又 MF ⊂ 平面 VBC ，平面 VBC ∩ 平面 BDE ＝ BE ， ∴ MF ∥ BE ， ∴ VF ＝ FB ， ∴ ＝ 2. 5. 如图，在三棱锥 P － ABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点 . 若 PA ⊥ AC ， PA ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， DF ＝ 5. 则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是 ______ ； 平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是 _______.( 填 “ 平行 ” 或 “ 垂直 ” ) 答案 解析 平行 垂直 ① 因为 D ， E 分别为棱 PC ， AC 的中点 ，所以 DE ∥ PA . 又因为 PA ⊄ 平面 DEF ， DE ⊂ 平面 DEF ，所以 直线 PA ∥ 平面 DEF . ② 因为 D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点， PA ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 所以 DE ∥ PA ， DE ＝ PA ＝ 3 ， EF ＝ BC ＝ 4. 又因为 DF ＝ 5 ，故 DF 2 ＝ DE 2 ＋ EF 2 ， 又 PA ⊥ AC ， DE ∥ PA ，所以 DE ⊥ AC . 因为 AC ∩ EF ＝ E ， AC ⊂ 平面 ABC ， EF ⊂ 平面 ABC ， 所以 DE ⊥ 平面 ABC ，又 DE ⊂ 平面 BDE ， 所以 ∠ DEF ＝ 90° ，即 DE ⊥ EF . 所以平面 BDE ⊥ 平面 ABC . 题型分类　深度剖析 题型一　求空间几何体的表面积与体积 例 1 　 (2016· 全国甲卷 ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AE ＝ CF ， EF 交 BD 于点 H ，将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ′ EF 的位置 . (1) 证明： AC ⊥ HD ′ ； 证明 由已知得 AC ⊥ BD ， AD ＝ CD ， 又由 AE ＝ CF 得 ， 故 AC ∥ EF ，由此得 EF ⊥ HD ，折后 EF 与 HD 保持垂直关系 ， 即 EF ⊥ HD ′ ，所以 AC ⊥ HD ′ . (2) 若 AB ＝ 5 ， AC ＝ 6 ， AE ＝ ， OD ′ ＝ ， 求五棱锥 D ′- ABCFE 的体积 . 解答 由 EF ∥ AC 得 . 由 AB ＝ 5 ， AC ＝ 6 得 DO ＝ BO ＝ ＝ 4 ， 所以 OH ＝ 1 ， D ′ H ＝ DH ＝ 3 ， 于是 OD ′ 2 ＋ OH 2 ＝ ( ) 2 ＋ 1 2 ＝ 9 ＝ D ′ H 2 ， 由 (1) 知 AC ⊥ HD ′ ，又 AC ⊥ BD ， BD ∩ HD ′ ＝ H ， 所以 AC ⊥ 平面 DHD ′ ，于是 AC ⊥ OD ′ ， 又由 OD ′⊥ OH ， AC ∩ OH ＝ O ，所以 OD ′⊥ 平面 ABC . 故 OD ′⊥ OH . 又 由 得 EF ＝ . 五边形 ABCFE 的 面积 所以五棱锥 D ′- ABCFE 的体积 (1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解 . 其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积 . (2) 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　正三棱锥的高为 1 ，底面边长 为 ， 内有一个球与它的四个面都相切 ( 如图 ). 求 ： (1) 这个正三棱锥的表面积 ； 解答 底面正三角形中心到一边的距离为 则正棱锥侧面的斜高为 (2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 . 解答 设正三棱锥 P － ABC 的内切球的球心为 O ， 连结 OP ， OA ， OB ， OC ， 而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r . ∴ V P － ABC ＝ V O － PAB ＋ V O － PBC ＋ V O － PAC ＋ V O － ABC ∴ S 内切球 ＝ 4π ( － 2) 2 ＝ (40 － 16 ) π. 题型二　空间点、线、面的位置关系 例 2 　 (2016· 扬州模拟 ) 如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 ＝ AC ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， E ， F 分别是 A 1 C 1 ， BC 的中点 . (1) 求证：平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ； 证明 在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， BB 1 ⊥ 底面 ABC . 因为 AB ⊂ 平面 ABC ，所以 BB 1 ⊥ AB . 又因为 AB ⊥ BC ， BC ∩ BB 1 ＝ B ， 所以 AB ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 又 AB ⊂ 平面 ABE ，所以 平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . (2) 求证： C 1 F ∥ 平面 ABE ； 证明 方法一　如图 1 ，取 AB 中点 G ，连结 EG ， FG . 因为 E ， F 分别是 A 1 C 1 ， BC 的中点 ， 所以 FG ∥ AC ，且 FG ＝ AC . 因为 AC ∥ A 1 C 1 ，且 AC ＝ A 1 C 1 ， 所以 FG ∥ EC 1 ，且 FG ＝ EC 1 ， 所以四边形 FGEC 1 为平行四边形， 所以 C 1 F ∥ EG . 又因为 EG ⊂ 平面 ABE ， C 1 F ⊄ 平面 ABE ， 所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . 方法二　如图 2 ，取 AC 的中点 H ，连结 C 1 H ， FH . 因为 H ， F 分别是 AC ， BC 的中点，所以 HF ∥ AB ， 又因为 E ， H 分别是 A 1 C 1 ， AC 的中点， 所以 EC 1 綊 AH ， 所以四边形 EAHC 1 为平行四边形， 所以 C 1 H ∥ AE ， 又 C 1 H ∩ HF ＝ H ， AE ∩ AB ＝ A ， 所以平面 ABE ∥ 平面 C 1 HF ， 又 C 1 F ⊂ 平面 C 1 HF ，所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . (3) 求三棱锥 E － ABC 的体积 . 解 答 因为 AA 1 ＝ AC ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， AB ⊥ BC ， 所以 AB ＝ 所以三棱锥 E － ABC 的 体积 (1) ① 证明面面垂直，将 “ 面面垂直 ” 问题转化为 “ 线面垂直 ” 问题，再将 “ 线面垂直 ” 问题转化为 “ 线线垂直 ” 问题 . ② 证明 C 1 F ∥ 平面 ABE ： ( ⅰ ) 利用判定定理，关键是在平面 ABE 中找 ( 作 ) 出直线 EG ，且满足 C 1 F ∥ EG .( ⅱ ) 利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面 C 1 HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化 . (2) 计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (2016· 南京模拟 ) 如图，在三棱锥 S － ABC 中，平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， AB ⊥ BC ， AS ＝ AB . 过 A 作 AF ⊥ SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证： (1) 平面 EFG ∥ 平面 ABC ； 证明 由 AS ＝ AB ， AF ⊥ SB 知 F 为 SB 中点， 则 EF ∥ AB ， FG ∥ BC ，又 EF ∩ FG ＝ F ， AB ∩ BC ＝ B ， 因此平面 EFG ∥ 平面 ABC . (2) BC ⊥ SA . 证明 由平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， 平面 SAB ∩ 平面 SBC ＝ SB ， AF ⊂ 平面 SAB ， AF ⊥ SB ， 所以 AF ⊥ 平面 SBC ，则 AF ⊥ BC . 又 BC ⊥ AB ， AF ∩ AB ＝ A ，则 BC ⊥ 平面 SAB ， 又 SA ⊂ 平面 SAB ，因此 BC ⊥ SA . 题型三　平面图形的翻折问题 例 3 　 (2015· 陕西 ) 如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ BAD ＝ ， AB ＝ BC ＝ AD ＝ a ， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点 . 将 △ ABE 沿 BE 折起到图 2 中 △ A 1 BE 的位置，得到四棱锥 A 1 - BCDE . (1) 证明： CD ⊥ 平面 A 1 OC ； 证明 在题图 1 中，连结 EC ， 因为 AB ＝ BC ＝ AD ＝ a ， ∠ BAD ＝ ， AD ∥ BC ， E 为 AD 中点 ， 所以 BC 綊 ED ， BC 綊 AE ， 所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CD ∥ BE ， 所以四边形 ABCE 为正方形，所以 BE ⊥ AC ， 即在题图 2 中， BE ⊥ A 1 O ， BE ⊥ OC ， 且 A 1 O ∩ OC ＝ O ， 从而 BE ⊥ 平面 A 1 OC ，又 CD ∥ BE ， 所以 CD ⊥ 平面 A 1 OC . (2) 当平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE 时，四棱锥 A 1 - BCDE 的体积 为 ， 求 a 的值 . 解 答 由已知，平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE ，且 平面 A 1 BE ∩ 平面 BCDE ＝ BE ， 又由 (1) 知， A 1 O ⊥ BE ，所以 A 1 O ⊥ 平面 BCDE ， 即 A 1 O 是四棱锥 A 1 BCDE 的高 ， 由题图 1 知， 平行四边形 BCDE 的面积 S ＝ BC · AB ＝ a 2 ， 从而 四棱锥 A 1 - BCDE 的体积为 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 . 一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2016· 苏州模拟 ) 如图 (1) ，四边形 ABCD 为矩形， PD ⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ 1 ， BC ＝ PC ＝ 2 ，作如图 (2) 折叠，折痕 EF ∥ DC . 其中点 E ， F 分别在线段 PD ， PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ，并且 MF ⊥ CF . (1) 证明： CF ⊥ 平面 MDF ； 证明 几何画板展示 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AD . 又因为 ABCD 是矩形， CD ⊥ AD ， PD 与 CD 交于点 D ， 所以 AD ⊥ 平面 PCD . 又 CF ⊂ 平面 PCD ， 所以 AD ⊥ CF ，即 MD ⊥ CF . 又 MF ⊥ CF ， MD ∩ MF ＝ M ，所以 CF ⊥ 平面 MDF . (2) 求三棱锥 M － CDE 的体积 . 解答 因为 PD ⊥ DC ， PC ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∠ PCD ＝ 60° ， 所以 PD ＝ ， 由 (1) 知 FD ⊥ CF ， 在直角三角形 DCF 中， CF ＝ CD ＝ . 如图，过点 F 作 FG ⊥ CD 交 CD 于点 G ，得 FG ＝ FC sin 60 ° 所以 DE ＝ FG ＝ ， 故 ME ＝ PE ＝ 所以 MD ＝ 题型四　立体几何中的存在性问题 例 4 　 如图，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 BMD 1 N 与棱 CC 1 ， AA 1 分别交于点 M ， N ，且 M ， N 均为中点 . (1) 求证： AC ∥ 平面 BMD 1 N . 证明 连结 MN . 因为 M ， N 分别为 CC 1 ， AA 1 的中点 ， 所以 AN ＝ AA 1 ， CM ＝ CC 1 . 又因为 AA 1 ∥ CC 1 ，且 AA 1 ＝ CC 1 ， 所以 AN ∥ CM ，且 AN ＝ CM ， 所以四边形 ACMN 为平行四边形 ， 所以 AC ∥ MN . 因为 MN ⊂ 平面 BMD 1 N ， AC ⊄ 平面 BMD 1 N ， 所以 AC ∥ 平面 BMD 1 N . (2) 若 AD ＝ CD ＝ 2 ， DD 1 ＝ ， O 为 AC 的中点 . BD 1 上是否存在动点 F ，使得 OF ⊥ 平面 BMD 1 N ？若存在，求出点 F 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 . 解答 当点 F 满足 D 1 F ＝ 3 BF 时， OF ⊥ 平面 BMD 1 N ，证明如下： 连结 BD ，则 BD 经过点 O ，取 BD 1 的中点 G ，连结 OF ， DG ，又 D 1 F ＝ 3 BF ， 所以 OF 为三角形 BDG 的中位线，所以 OF ∥ DG . 因为 BD ＝ ＝ DD 1 ，且 G 为 BD 1 的中点 ，所以 BD 1 ⊥ DG ，所以 BD 1 ⊥ OF . 因为底面 ABCD 为正方形，所以 AC ⊥ BD . 又 DD 1 ⊥ 底面 ABCD ，所以 AC ⊥ DD 1 ， 又 BD ∩ DD 1 ＝ D ，所以 AC ⊥ 平面 BDD 1 ，又 OF ⊂ 平面 BDD 1 ，所以 AC ⊥ OF . 由 (1) 知 AC ∥ MN ，所以 MN ⊥ OF . 又 MN ， BD 1 是平面四边形 BMD 1 N 的对角线 ， 所以 它们必相交，所以 OF ⊥ 平面 BMD 1 N . 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设 . 思维 升华 跟踪训练 4 　 (2016· 镇江模拟 ) 如图，在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 DC ＝ DD 1 ＝ 2 AD ＝ 2 AB ， AD ⊥ DC ， AB ∥ DC . (1) 求证： D 1 C ⊥ AC 1 ； 证明 在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 连结 C 1 D ， ∵ DC ＝ DD 1 ， ∴ 四边形 DCC 1 D 1 是正方形 ， ∴ DC 1 ⊥ D 1 C . 又 AD ⊥ DC ， AD ⊥ DD 1 ， DC ∩ DD 1 ＝ D ， ∴ AD ⊥ 平面 DCC 1 D 1 ，又 D 1 C ⊂ 平面 DCC 1 D 1 ， ∴ AD ⊥ D 1 C . ∵ AD ⊂ 平面 ADC 1 ， DC 1 ⊂ 平面 ADC 1 ， 且 AD ∩ DC 1 ＝ D ， ∴ D 1 C ⊥ 平面 ADC 1 ， 又 AC 1 ⊂ 平面 ADC 1 ， ∴ D 1 C ⊥ AC 1 . (2) 问在棱 CD 上是否存在点 E ，使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 若存在，确定点 E 位置；若不存在，说明理由 . 解答 假设存在点 E ，使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 连结 AD 1 ， AE ， D 1 E ， 设 AD 1 ∩ A 1 D ＝ M ， BD ∩ AE ＝ N ， 连结 MN ， ∵ 平面 AD 1 E ∩ 平面 A 1 BD ＝ MN ， 要使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD ，可 使 MN ∥ D 1 E ， 又 M 是 AD 1 的中点，则 N 是 AE 的中点 . 又易知 △ ABN ≌△ EDN ， ∴ AB ＝ DE . 即 E 是 DC 的中点 . 综上所述，当 E 是 DC 的中点时， 可使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 课时作业 1.(2016· 连云港模拟 ) 如图所示，已知平面 α ∩ 平面 β ＝ l ， α ⊥ β . A ， B 是直线 l 上的两点， C ， D 是平面 β 内的两点，且 AD ⊥ l ， CB ⊥ l ， DA ＝ 4 ， AB ＝ 6 ， CB ＝ 8. P 是平面 α 上的一动点，且有 ∠ APD ＝ ∠ BPC ，则四棱锥 P － ABCD 体积的最大值是 ______. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意知， △ PAD ， △ PBC 是直角三角形， 又 ∠ APD ＝ ∠ BPC ，所以 △ PAD ∽△ PBC . 因为 DA ＝ 4 ， CB ＝ 8 ，所以 PB ＝ 2 PA . 作 PM ⊥ AB 于点 M ，由题意知， PM ⊥ β . 令 AM ＝ t (0< t <6) ，则 PA 2 － t 2 ＝ 4 PA 2 － (6 － t ) 2 ，所以 PA 2 ＝ 12 － 4 t . 所以 PM ＝ ， 即为四棱锥 P － ABCD 的高 ， 又底面 ABCD 为直角梯形， S ＝ × ( 4 ＋ 8) × 6 ＝ 36 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(2016· 南京模拟 ) 已知 α ， β 是两个不同的平面， l ， m 是两条不同的直线， l ⊥ α ， m ⊂ β . 给出下列命题： ① α ∥ β ⇒ l ⊥ m ； ② α ⊥ β ⇒ l ∥ m ； ③ m ∥ α ⇒ l ⊥ β ； ④ l ⊥ β ⇒ m ∥ α . 其中正确的命题是 ______.( 填写所有正确命题的序号 ) 答案 解析 ①④ 若 l ⊥ α ， α ∥ β ，则 l ⊥ β ，又 m ⊂ β ，则 l ⊥ m ，故 ① 正确 ； 若 l ⊥ α ， α ⊥ β ，则 l ∥ β 或 l ⊂ β ，又 m ⊂ β ，则 l 与 m 可能平行、相交或异面，故 ② 错误 ； 若 l ⊥ α ， m ∥ α ，则 l ⊥ m ，又 m ⊂ β ，则 l 与 β 可能平行、相交或 l ⊂ β ，故 ③ 错误 ； 若 l ⊥ α ， l ⊥ β ，则 α ∥ β ，又 m ⊂ β ，则 m ∥ α ，故 ④ 正确 . 综上，正确的命题是 ①④ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.(2016· 苏州模拟 ) 如图， ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体，连结 BD ， AC 1 ， B 1 D 1 ， CD 1 ， B 1 C ，现有以下几个结论 ： ① BD ∥ 平面 CB 1 D 1 ； ② AC 1 ⊥ 平面 CB 1 D 1 ； ③ CB 1 与 BD 为异面直线 . 其中所有正确 结论的 序号为 _______. 由题意可知， BD ∥ B 1 D 1 ， 又 B 1 D 1 ⊂ 平面 CB 1 D 1 ， BD ⊄ 平面 CB 1 D 1 ， 所以 BD ∥ 平面 CB 1 D 1 ， ① 正确； 易知 AC 1 ⊥ B 1 D 1 ， AC 1 ⊥ B 1 C ，又 B 1 D 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ， 所以 AC 1 ⊥ 平面 CB 1 D 1 ， ② 正确； 由异面直线的定义可知 ③ 正确 . 答案 解析 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.(2016· 泰州二模 ) 如 图 ，在 梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ ABC ＝ 90° ， AD ∶ BC ∶ AB ＝ 2 ∶ 3 ∶ 4 ， E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论 ： ① DF ⊥ BC ； ② BD ⊥ FC ； ③ 平面 DBF ⊥ 平面 BFC ； ④ 平面 DCF ⊥ 平面 BFC . 在翻折过程中，可能成立的结论是 ______.( 填写结论序号 ) 答案 解析 ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为 BC ∥ AD ， AD 与 DF 相交不垂直 ，所以 BC 与 DF 不垂直，则 ① 错误 ； 设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P ， 当 BP ⊥ CF 时就有 BD ⊥ FC ， 而 AD ∶ BC ∶ AB ＝ 2 ∶ 3 ∶ 4 ，可使条件满足 ， 所以 ② 正确 ； 当 点 P 落在 BF 上时， DP ⊂ 平面 BDF ， 从而 平面 BDF ⊥ 平面 BCF ，所以 ③ 正确 ； 因为 点 D 的射影不可能在 FC 上 ， 所以 平面 DCF ⊥ 平面 BFC 不成立 ，即 ④ 错误 . 故 答案为 ②③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点， 当 ＝ _____ 时 ， D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F . 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，连结 A 1 B ，则 A 1 B 是 D 1 E 在平面 ABB 1 A 1 内的射影 . ∵ AB 1 ⊥ A 1 B ， ∴ D 1 E ⊥ AB 1 ， 又 ∵ D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F ⇒ D 1 E ⊥ AF . 连结 DE ，则 DE 是 D 1 E 在底面 ABCD 内的射影， ∴ D 1 E ⊥ AF ⇒ DE ⊥ AF . ∵ ABCD 是正方形， E 是 BC 的中点， ∴ 当且仅当 F 是 CD 的中点时， DE ⊥ AF ， 即当点 F 是 CD 的中点时， D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F ， ∴ ＝ 1 时， D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.(2016· 连云港模拟 ) 如图，在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ，点 E 是 BC 上一点，且平面 BB 1 C 1 C ⊥ 平面 AB 1 E . (1) 求证： AE ⊥ BC ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 过点 B 在平面 BB 1 C 1 C 内作 BF ⊥ B 1 E ， ∵ 平面 BB 1 C 1 C ⊥ 平面 AB 1 E ，平面 BB 1 C 1 C ∩ 平面 AB 1 E ＝ B 1 E ， ∴ BF ⊥ 平面 AB 1 E . ∵ AE ⊂ 平面 AB 1 E ， ∴ BF ⊥ AE . 又在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 ， BB 1 ⊥ 平面 ABC ， AE ⊂ 平面 ABC ， ∴ BB 1 ⊥ AE . ∵ BB 1 ∩ BF ＝ B ， ∴ AE ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ， ∵ BC ⊂ 平面 BB 1 C 1 C ， ∴ AE ⊥ BC . (2) 求证： A 1 C ∥ 平面 AB 1 E . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 连结 A 1 B ，设 A 1 B ∩ AB 1 ＝ G ，连结 GE ， ∵ AE ⊥ BC ， AB ＝ AC ， ∴ BE ＝ CE ， 又 A 1 G ＝ BG ， ∴ GE 是 △ A 1 BC 的中位线， ∴ GE ∥ A 1 C . ∵ GE ⊂ 平面 AB 1 E ， A 1 C ⊄ 平面 AB 1 E ， ∴ A 1 C ∥ 平面 AB 1 E . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.(2016· 南通、扬州、泰州联考 ) 如图，在四棱锥 P — ABCD 中， PC ⊥ 平面 PAD ， AB ∥ CD ， CD ＝ 2 AB ＝ 2 BC ， M ， N 分别是棱 PA ， CD 的中点 . (1) 求证： PC ∥ 平面 BMN ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 AC ∩ BN ＝ O ，连结 MO ， AN ， 因为 AB ＝ CD ， AB ∥ CD ， N 为 CD 的中点， 所以 AB ＝ CN ，且 AB ∥ CN ， 所以四边形 ABCN 为平行四边形， 所以 O 为 AC 的中点， 又 M 为 PA 的中点，所以 MO ∥ PC . 又因为 MO ⊂ 平面 BMN ， PC ⊄ 平面 BMN ， 所以 PC ∥ 平面 BMN . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 求证：平面 BMN ⊥ 平面 PAC . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法一　因为 PC ⊥ 平面 PDA ， AD ⊂ 平面 PDA ，所以 PC ⊥ AD . 由 (1) 同理可得，四边形 ABND 为平行四边形，所以 AD ∥ BN ， 所以 BN ⊥ PC ， 因为 BC ＝ AB ，所以平行四边形 ABCN 为菱形， 所以 BN ⊥ AC . 因为 PC ∩ AC ＝ C ， 所以 BN ⊥ 平面 PAC . 因为 BN ⊂ 平面 BMN ，所以平面 BMN ⊥ 平面 PAC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二　连结 PN ，因为 PC ⊥ 平面 PDA ， PA ⊂ 平面 PDA ， 因为 PC ∥ MO ，所以 PA ⊥ MO . 又 PC ⊥ PD . 因为 N 为 CD 的中点，所以 PN ＝ CD ， 由 (1) 得 AN ＝ BC ＝ CD ，所以 AN ＝ PN ， 又因为 M 为 PA 的中点，所以 PA ⊥ MN ， 因为 MN ∩ MO ＝ M ，所以 PA ⊥ 平面 BMN . 因为 PA ⊂ 平面 PAC ，所以平面 PAC ⊥ 平面 BMN . 所以 PC ⊥ PA . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(2016· 北京东城区一模 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点， AB ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ 60° ， M 是 PD 的中点 . (1) 求证： OM ∥ 平面 PAB ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为在 △ PBD 中， O ， M 分别是 BD ， PD 的中点，所以 OM ∥ PB . 又 OM ⊄ 平面 PAB ， PB ⊂ 平面 PAB ， 所以 OM ∥ 平面 PAB . (2) 求证：平面 PBD ⊥ 平面 PAC . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC . 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PA ⊥ BD . 又 AC ∩ PA ＝ A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC . 又 BD ⊂ 平面 PBD ， 所以平面 PBD ⊥ 平面 PAC . (3) 当三棱锥 C － PBD 的体积 等于 时 ，求 PA 的长 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为底面 ABCD 是菱形 ，且 AB ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ 60° ，所以 S △ BCD ＝ 又 V C － PBD ＝ V P － BCD ， 三 棱锥 P － BCD 的高为 PA ， 9.(2016· 盐城测试 ) 如图，已知三棱柱 ABC － A ′ B ′ C ′ 中，平面 BCC ′ B ′⊥ 底面 ABC ， BB ′⊥ AC ，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形， AA ′ ＝ 3 ， E ， F 分别在棱 AA ′ ， CC ′ 上，且 AE ＝ C ′ F ＝ 2 . (1) 求证： BB ′⊥ 底面 ABC ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图，取 BC 的中点 O ，连结 AO ， ∵ 三角形 ABC 是等边三角形 ， ∴ AO ⊥ BC . ∵ 平面 BCC ′ B ′⊥ 底面 ABC ， AO ⊂ 平面 ABC ， 平面 BCC ′ B ′∩ 平面 ABC ＝ BC ， ∴ AO ⊥ 平面 BCC ′ B ′ . 又 BB ′ ⊂ 平面 BCC ′ B ′ ， ∴ AO ⊥ BB ′ . 又 BB ′⊥ AC ， AO ∩ AC ＝ A ， AO ⊂ 平面 ABC ， AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ BB ′⊥ 底面 ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 在棱 A ′ B ′ 上找一点 M ，使得 C ′ M ∥ 平面 BEF ，并给出证明 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 显然点 M 不是点 A ′ ， B ′ ，若棱 A ′ B ′ 上存在一点 M ， 使得 C ′ M ∥ 平面 BEF ， 过点 M 作 MN ∥ AA ′ 交 BE 于 N ，连结 FN ， MC ′ ， ∴ MN ∥ C ′ F ，即 C ′ M 和 FN 共面， 又平面 MNFC ′∩ 平面 BEF ＝ FN ， ∴ C ′ M ∥ FN ， ∴ 四边形 C ′ MNF 为平行四边形， ∴ MN ＝ 2 ， ∴ MN 是梯形 A ′ B ′ BE 的中位线， M 为 A ′ B ′ 的中点 . 故当 M 为 A ′ B ′ 的中点时， C ′ M ∥ 平面 BEF .