【数学】2019届一轮复习人教B版　由“导”寻“源”，破解函数不等式问题学案 9页

压轴题命题区间(二)函数与导数 增分点 由“导”寻“源”，破解函数不等式问题 在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．‎ ‎[典例] (2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)‎ ‎[思路点拨]‎ 观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝求解．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：构造抽象函数求解 设F(x)＝.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.‎ 法二：构造具体函数求解 设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.‎ 答案：A ‎[解题师说]‎ 抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常见的构造函数方法有如下几种：‎ ‎(1)利用和、差函数求导法则构造函数 ‎①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；‎ ‎②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；‎ 特别地，对于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；‎ ‎②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．‎ ‎(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 ‎①对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；‎ ‎②对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；‎ ‎③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；‎ ‎④对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；‎ ‎⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；‎ ‎⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；‎ ‎⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)；‎ ‎⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)；‎ ‎⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)；‎ ‎⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)．‎ ‎⑪(理)对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)；‎ ‎⑫(理)对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________．‎ 解析：构造函数g(x)＝f(x)－，‎ 则g′(x)＝f′(x)－<0，‎ ‎∴g(x)在定义域上是减函数．‎ 又g(1)＝f(1)－1＝0，‎ ‎∴原不等式可化为g(lg x)>g(1)，‎ ‎∴lg x<1，解得01的解集为( )‎ A．(－3，－2)∪(2,3)‎ B．(－，)‎ C．(2,3)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 解析：选A 由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴f(x2－6)>1可化为－2(x－1)f(x2－1)的解集为( )‎ A．(0,1) B．(1，＋∞)‎ C．(1,2) D．(2，＋∞)‎ 解析：选D 因为f(x)＋xf′(x)<0，所以[xf(x)]′<0，故xf(x)在(0，＋∞‎ ‎)上为单调递减函数，又(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋12.‎ ‎3．(2018·沈阳质检)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－‎2f(x)，若g(x)＝x‎2f(x)，则不等式g(x)0时，xf′(x)＋‎2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(|x|)，由g(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞)‎ B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ 解析：选D 设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，‎ ‎∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，‎ ‎∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．‎ 又∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，‎ 故F(x)为R上的奇函数．‎ ‎∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．‎ 由g(－3)＝0，‎ 得F(－3)＝F(3)＝0.‎ 画出函数F(x)的大致图象如图所示，‎ ‎∴F(x)<0的解集为{x|x<－3或00，f(x)≥0.‎ ‎∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数．‎ 又0x2，则下面的不等式在R上恒成立的是( )‎ A．f(x)>0 B．f(x)<0‎ C．f(x)>x D．f(x)0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，‎ 即x‎2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；‎ 当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，‎ 即x‎2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；‎ 当x＝0时，由题意可得‎2f(0)>0，∴f(0)>0.‎ 综上可知，f(x)>0.‎ 法二：∵‎2f(x)＋xf′(x)>x2，‎ 令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D.‎ 如果f(x)＝x2＋0.1，已知条件‎2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x不恒成立，故排除C，选A.‎ ‎7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为( )‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选B 令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，‎ 则m′(x)＝f′(x)－2>0，‎ ‎∴函数m(x)在R上为单调递增函数．‎ 又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，‎ ‎∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，‎ 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．‎ ‎8．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)g(x)‎ B．f(x)g(x)＋f(b)，故选项C正确．‎ ‎9．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－2)＝0，且x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，则不等式xf(x)≥0的解集是( )‎ A．[－2,0] B．[0,2]‎ C．[－2,2] D．[－2,0]∪[2，＋∞)‎ 解析：选D 因为x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，故构造函数y＝xf(x)，则该函数在(0，＋∞)上单调递增．‎ 又因为f(x)为偶函数，故y＝xf(x)为奇函数．‎ 结合f(－2)＝0，画出函数y＝xf(x)的大致图象如图所示．‎ 所以不等式xf(x)≥0的解集为[－2,0]∪[2，＋∞)．‎ ‎10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且x<0时，xf′(x)f′(x)对任意x∈R都成立，则下列不等式中成立的是( )‎ A．f(2 018)>e2 ‎018f(0)，f(2 018)>ef(2 017)‎ B．f(2 018)>e2 ‎018f(0)，f(2 018)ef(2 017)‎ D．f(2 018)f′(x)，得f′(x)－f(x)<0，‎ 所以g′(x)＝＝<0，‎ 即函数g(x)＝在R上单调递减．‎ 所以<<，‎ 即有f(2 018)k>1，则下列结论中一定错误的是( )‎ A．f< B．f> C．f< D．f> 解析：选C 令g(x)＝f(x)－kx＋1，‎ 则g(0)＝f(0)＋1＝0，‎ g＝f－k·＋1‎ ‎＝f－.‎ ‎∵g′(x)＝f′(x)－k>0，‎ ‎∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数．‎ 又∵k>1，∴>0，‎ ‎∴g>g(0)＝0，‎ ‎∴f－>0，‎ 即f>.‎ 二、填空题 ‎13．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>f()的解集为________．‎ 解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴g(x)是R上的增函数．又f()>f()可等价转化为f()>f()，即g()>g()，所以解得1≤x<2，∴原不等式的解集为{x|1≤x<2}．‎ 答案：[1,2)‎ ‎14．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有‎2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2·f(x＋2 018)－‎4f(－2)>0的解集为________．‎ 解析：令g(x)＝x‎2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x‎2f′(x)．‎ 结合条件‎2f(x)＋xf′(x)>x2，将条件两边同时乘以x，‎ 得2xf(x)＋x‎2f′(x)0，‎ 即g(x＋2 018)>g(－2)，‎ 得x＋2 018<－2，解得x<－2 020，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)．‎ 答案：(－∞，－2 020)‎ ‎15．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)0，‎ 故原不等式的解集为{x|x>0}．‎ 答案：(0，＋∞)‎ ‎16．设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x>0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为______．‎ 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝.因为当x>0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)<0，‎ 所以g′(x)<0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减．‎ 又f(x)＝g(x)(x2＋1)，‎ 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．‎ 又f(x)是R上的奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.‎ 当x>0时，f(x)>0＝f(1)⇒00＝f(－1)⇒x<－1.‎ 综上，可得不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．‎ 答案：(－∞，－1)∪(0,1)‎