2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-4　指数与指数函数（试题部分） 5页

‎§3.4　指数与指数函数 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点　指数与指数函数 ‎1.设a>0,将a‎2‎a·‎‎3‎a‎2‎表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)‎ A.a‎1‎‎2‎　　　B.a‎5‎‎6‎　　　C.a‎7‎‎6‎　　　D.‎a‎3‎‎2‎ 答案　C ‎2.函数y=‎1‎‎2‎x‎2‎‎-2x的值域为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎‎,+∞‎　　　B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎　　　C.‎0,‎‎1‎‎2‎　　　D.(0,2]‎ 答案　D ‎3.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=‎1‎a‎0.1‎的大小关系是(　　)‎ A.M=N　　　B.M≤N　　　C.MN 答案　D ‎4.[(0.06‎4‎‎1‎‎5‎)-2.5‎]‎‎2‎‎3‎-‎3‎‎3‎‎3‎‎8‎-π0=　　　　. ‎ 答案　0‎ ‎5.若“m>a”是“函数f(x)=‎1‎‎3‎x+m-‎1‎‎3‎的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为　　　　. ‎ 答案　-1‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　指数式的大小比较 ‎1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(　　)‎ A.a>b>c　　　B.a>c>b　　　C.c>a>b　　　D.b>c>a 答案　A ‎2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0(1-a)b　　　　　B.(1-a)b>(1-a‎)‎b‎2‎ C.(1+a)a>(1+b)b　　　　　D.(1-a)a>(1-b)b 答案　D ‎3.(2018福建厦门一模,5)已知a=‎1‎‎2‎‎0.3‎,b=log‎1‎‎2‎0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是(　　)‎ A.af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是　(　　)‎ A.a<0,b<0,c<0 　　　　　B.a<0,b≥0,c>0‎ C.2-a<2c 　　　　　D.2a+2c<2‎ 答案　D ‎7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=‎2‎‎4x-‎x‎2‎的单调增区间是(　　)‎ A.(-∞,2]　　　　　B.[0,2]‎ C.[2,4]　　　　　D.[2,+∞)‎ 答案　B ‎8.已知函数f(x)=2x-‎1‎‎2‎‎|x|‎.‎ ‎(1)若f(x)=2,求x的值;‎ ‎(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解析　(1)当x≤0时, f(x)=0,当x>0时, f(x)=2x-‎1‎‎2‎x,‎ 由题意可得,2x-‎1‎‎2‎x=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±‎2‎,‎ ‎∵2x>0,∴2x=1+‎2‎,∴x=log2(1+‎2‎).‎ ‎(2)当t∈[1,2]时,2t‎2‎‎2t‎-‎‎1‎‎2‎‎2t+m‎2‎t‎-‎‎1‎‎2‎t≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],‎ ‎∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).‎ ‎【五年高考】‎ 考点　指数与指数函数 ‎1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)‎ A.a0,函数f(x)=‎2‎x‎2‎x‎+ax的图象经过点Pp,‎‎6‎‎5‎、Qq,-‎‎1‎‎5‎.若2p+q=36pq,则a=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎7.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎2‎ 教师专用题组 考点　指数与指数函数 ‎　(2015江苏,7,5分)不等式‎2‎x‎2‎‎-x<4的解集为　　　　. ‎ 答案　{x|-1b>c　　　　　B.a>c>b C.b>c>a　　　　　D.b>a>c 答案　D ‎3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎2‎‎-6x+5‎的单调递减区间为(　　)‎ A.(-∞,+∞)　　　B.[-3,3]　　　C.(-∞,3]　　　D.[3,+∞)‎ 答案　D ‎4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,且[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=‎2‎x+1‎‎1+‎‎2‎x-‎1‎‎3‎,则函数y=[f(x)]的值域是(　　)‎ A.{0,1}　　　B.{-1,1}　　　C.{-1,0}　　　D.{-1,0,1}‎ 答案　D ‎5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是(　　)‎ A.[2,4]　　　　　B.(-∞,0]‎ C.(0,1]∪[2,4]　　　　　D.(-∞,0]∪[1,2]‎ 答案　D ‎6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)=‎|‎2‎x-1|,x≤2,‎‎-x+5,x>2,‎若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)‎ A.(16,32)　　　B.(18,34)　　　C.(17,35)　　　D.(6,7)‎ 答案　B ‎7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=a-‎‎2‎xa+‎‎2‎x是奇函数,则f(a)的值等于(　　)‎ A.-‎1‎‎3‎　　　B.3　　　C.-‎1‎‎3‎或3　　　D.‎1‎‎3‎或3‎ 答案　C ‎8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是(　　)‎ A.(1,+∞)　　　B.(0,+∞)　　　C.(0,1)　　　D.无法确定 答案　C ‎9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是(　　)‎ A.(0,2]　　　　　B.‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎1‎‎2‎‎,2‎　　　　　D.‎1‎‎2‎‎,2‎∪[4,+∞)‎ 答案　C 二、多项选择题(共5分)‎ ‎10.(改编题)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论不正确的是(　　)‎ A.a>1,b<0　　　　　B.a>1,b>0‎ C.00　　　　　D.0n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析　(1)因为f(x)=3x,x∈[-1,1],所以g(x)=32x-2a·3x+3, f(x)∈‎1‎‎3‎‎,3‎.设t=3x,t∈‎1‎‎3‎‎,3‎,则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t2+3,t∈‎1‎‎3‎‎,3‎,所以φ(t)∈‎28‎‎9‎‎,12‎.‎ ‎(2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a,‎ 当a<‎1‎‎3‎时,h(a)=φ‎1‎‎3‎=‎28‎‎9‎-‎2a‎3‎;‎ 当‎1‎‎3‎≤a≤3时,h(a)=φ(a)=3-a2;‎ 当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a.‎ 故h(a)=‎‎28‎‎9‎‎-‎2a‎3‎a<‎‎1‎‎3‎,‎‎3-a‎2‎‎1‎‎3‎‎≤a≤3‎,‎‎12-6a(a>3).‎ ‎(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,‎ 所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,‎ 又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],‎ 所以‎12-6m=n‎2‎,‎‎12-6n=m‎2‎,‎两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),‎ 又因为m>n>3,所以m-n≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.‎ ‎13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x‎1‎ax‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎,其中a>0,且a≠1.‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤‎1‎‎6‎|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(-x)=-x‎1‎a‎-x‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎=x‎1‎‎2‎‎-‎axax‎+1‎,∴f(x)-f(-x)=x‎1‎ax‎+1‎‎-‎‎1‎‎2‎-x‎1‎‎2‎‎-‎axax‎+1‎ ‎=x‎1+‎axax‎+1‎‎-1‎=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.‎ ‎(2)由(1)知f(x)是R上的偶函数,则不等式f(x)≤‎1‎‎6‎|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤‎1‎‎6‎x在[0,1]上恒成立,‎ 显然,当x=0时,上述不等式恒成立;‎ 当x≠0时,上述不等式可转化为‎1‎ax‎+1‎-‎1‎‎2‎≤‎1‎‎6‎,‎ ‎∴ax≥‎1‎‎2‎在[0,1]上恒成立,∴‎1‎‎2‎≤a<1或a>1,‎ ‎∴实数a的取值范围是‎1‎‎2‎‎,1‎∪(1,+∞).‎