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  • 2021-06-11 发布

陕西省西安中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题

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西安中学高 2020 届第四次模拟考试 数学(文) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},集合 B ={x|x2=x},则 A∪B= ( ) A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. {- 1,0,1,2,3} 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 B={0,1},然后根据并集的定义求出 A∪B. 【详解】解:∵集合 A={1,2,3}, 集合 B={x|x2=x}={0,1}, ∴A∪B={0,1,2,3}. 故选 C. 【点睛】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 2.复数 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 将 整理成 的形式, 与 模长相同,求 即可. 【详解】 本题正确选项: 【点睛】本题考查复数的基本运算,属于基础题. 1 = − iz i i z = 2 2 2 1 2 z a bi+ z z z ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 i iiz ii i i += = = − +− − + 1 1 2 4 4 2z z= = + = A 3.已知命题 : , ;命题 : , ,则下列说法中正确的是 A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断命题的真假,进而求得复合命题真假判断真值表得到答案. 【详解】命题 p, ,即命题 p 真, 对命题 q,去 ,所以命题 q 为假, 为真 所以 是真命题 故选:C. 【点睛】(1)对于一些简单命题,判断为真,许推理证明,若判断为假,只需找出一个反例即 可; (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表; (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性,通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 4.已知双曲线 : 的一个焦点为 ,则 的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据焦点坐标得 c=2,再用平方关系得 m+1=4,解出 m 值后再用离心率的公式,可得该双曲 线的离心率. 【详解】∵双曲线 的一个焦点为(2,0), ∴m+1=22=4,可得 m , 为 p x R∃ ∈ 2 0x − > q 0x∀ ≥ x x< p q∨ p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬ 0 03, 2 0x x∃ = − > 1 1 1,4 2 4x x x= = > = p¬ ( )p q∧ ¬ C 2 2 1x ym − = (2 0), C 2 3 4 3 3 2 3 3 2 2 1x ym − = 3= 因此双曲线的离心率为 e 故选 D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用, 属于基础题. 5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示,为了解该小区 户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取 的户主进行调查,则样本容量和抽 取的户主对四居室满意的人数分别为    A. 100,8 B. 80,20 C. 100,20 D. 80,8 【答案】A 【解析】 由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ,其中对四居室满意的人数为 ,应选答案 A. 6.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图 所示,则它的表面积为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 2 2 3 33 c m = = = 20% ( ) 100n = 0 020 100 40 80 0× × = 2 4 2 2+ 4 4 2+ 6 4 2+ 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,由三视图求出几何元素的长度,由面积 公式求出几何体的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形,两条 直角边分别是 ,斜边是 2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是 2, ∴几何体的表面积 故选 D. 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查 空间想象能力. 7.已知边长为 1 的菱形 中, ,点 满足 ,则 的值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将 通过线性运算进行拆解,转变成与向量 和 相关的数量积和模长求解即可. 【详解】由题意可得大致图像如下: ; 又 , 2 12 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2.2S = × + × × + × × × = + ABCD 60BAD∠ = ° E 2BE EC=  AE BD⋅  1 3 − 1 2 − 1 4 − 1 6 − AE BD⋅  AB → BC → 2 3AE AB BE AB BC    = + = + BD AD AB BC AB= − = −     ( )2 2 2 3 3 3AE BD AB BC BC AB AB BC AB AB BC BC AB BC ∴ ⋅ = + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅                 2 21 2 3 3AB BC AB BC= ⋅ − +    1AB BC= =  1cos 2AB BC AB BC BAD   ⋅ = ∠ = 1 1 2 113 2 3 6AE BD∴ ⋅ = × − + = −  本题正确选项: 【点睛】本题考查向量的数量积的求解,处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解, 拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题. 8.已知函数 ,将 的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象,则 的最大值为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变换,把三角函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出 函数 g(x)的关系式,最后求出函数的最值. 【详解】由题意得 , , , 将 的图象向左平移 个单位长度得到函数: , 再将函数 向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象, 即 , 所以当 时, , 故选 C. 【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,函 数的对称性的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型. 9.已知函数 ,若函数 是奇函数,则曲线 在点 处 切线方程是( )的 D ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − ( )y f x= π 6 ( )y g x= ( )g x ( ) ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − sin2x 3cos2x= − π2sin 2x 3  = −   ( )y f x= π 6 π πy 2sin 2 x 2sin2x6 3   = + − =     y 2sin2x= ( )y g x= ( )g x 2sin2x 1= + ( )πx kπ k Z4 = + ∈ maxg(x) 3= ( ) ( ) 2cos 1f x x x a x ax a= + − + + ( )y f x a= − ( )y f x= ( )( )0, 0f A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 是奇函数可求得 ,所以 ,然后根据导数的 几何意义求出切线的斜率,进而得到切线的方程. 【详解】由题意得 , ∴函数 为奇函数, ∴ , ∴ . ∴ , ∴ , ∴ , 又 , ∴所求切线方程为 ,即 . 故选 B. 【点睛】本题考查导数的几何意义,解答本题的关键是求出函数的解析式,解题时注意“曲 线在点 P 处的切线”和“曲线过点 P 的切线”两种说法的区别,其中“曲线在点 P 处的切线” 说明点 P 在曲线上且点 P 为切点,此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线 方程即可. 10.执行如图所示 程序框图,若将判断框内“ ”改为关于 n 的不等式“ ”, 且要求输出的结果不变,则正整数 的取值为( ) 的 1 0x y− + = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 2 0x y− + = ( )y f x a= − 1a = ( ) cos 1f x x x x= + + ( ) ( ) ( ) 2cos 1g x f x a x x a x ax= − = + − + ( )g x ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 1 cos 1g x g x x x a x ax x x a x ax + − = + − + + − + − −  ( ) 22 1 0a x= − = 1a = ( ) cos 1f x x x x= + + ( ) sin 1f x cosx x x= − +′ ( )0 2f ′ = ( )0 1f = 1 2( 0)y x− = − 2 1 0x y− + = 100?S > 0 ?n n≥ 0n A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 , 的值,当 时判断框中的 条件满足,执行“是”路径,退出循环输出结果 为 126,若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变,则条件 成立,可得正整数 的取值为 6. 【详解】框图首先赋值 , ,执行 , ; 判断框中的条件不满足,执行 , ; 判断框中的条件不满足,执行 , ; 判断框中的条件不满足,执行 , ; 判断框中的条件不满足,执行 , ; 此时判断框中的条件满足,执行“是”路径,退出循环输出结果 为 126. 若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变, 则条件 成立,可得正整数 的取值为 6.故选 . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属 于基本知识的考查. 11.如图所示,直三棱柱的高为 4,底面边长分别是 5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时 球心到下底面距离为 8,则球的体积为 ( ) n s 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n 1n = 2s = 1 1 2n = + = 2 4 6s = + = 2 1 3n = + = 6 8 14s = + = 3 1 4n = + = 14 16 30s = + = 4 1 5n = + = 30 32 62s = + = 5 1 6n = + = 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n C A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设球心为 ,三棱柱的上底面 的内切圆的圆心为 ,该圆与边 切于点 ,根 据球的几何性质可得 为直角三角形,然后根据题中数据求出圆 半径,进而求得球 的半径,最后可求出球的体积. 【详解】如图,设三棱柱为 ,且 ,高 . 所以底面 为斜边是 的直角三角形,设该三角形的内切圆为圆 ,圆 与边 切于点 , 则圆 的半径为 . 设球心为 ,则由球的几何知识得 为直角三角形,且 , 所以 , 160 5 3 π 64 2 3 π 96 3 3 π 256 2 3 π O 1 1 1A B C∆ 1O 1 1B C M 1OO M∆ 1O 1 1 1ABC A B C− 12, 5, 13AB BC AC= = = 1 4AA = 1 1 1A B C∆ 1 1AC 1O 1O 1 1B C M 1O 1 12 5 13 22O M + −= = O 1OO M∆ 1 8 4 4OO = − = 2 22 4 2 5OM = + = 即球 的半径为 , 所以球 的体积为 . 故选 A. 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个: (1)构造以球半径 、球心到小圆圆心的距离 和小圆半径 为三边的直角三角形,并在此 三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法. (2)若直角三角形的两直角边为 ,斜边为 ,则该直角三角形内切圆的半径 ,合理利用中间结论可提高解题的效率. 12.定义在 R 上的奇函数 ,当 时, 则关于 x 的函数 的所有零点之和为( ) A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数 的零点转化为:在同一坐标系内 的图象交 点的横坐标,作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,即零点的对称性,根据奇函 数的图象,结合图象及其对称性,求出答案. 【详解】因为当 时, , 即 时, , 当 时, , 当 时, , 画出 时, 的图象,再利用奇函数的对称性,画出 时的图象,如图所示: O 2 5 O 34 (2 5) 160 3 5 3 π π× × = R d r ,a b c 2 a b cr + −= ( )f x 0x ≥ [ ) [ )1 2 1 3 , 1, ( ) log ( 1), 0,1 x x f x x x  − − ∈ +∞=  + ∈ ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < < 1 2a− 2 2a − 1 12 a  −   ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < < ( ),y f x y a= = 0x ≥ ( ) [ ) ( ) [ )1 2 1 3 , 1, log 1 , 0,1 x x f x x x  − − ∈ +∞=  − ∈ [ )0,1x∈ ( ) ( ) ( ]1 2 log 1 1,0f x x= + ∈ − [ ]1,3x∈ ( ) [ ]2 1,1f x x= − ∈ − ( )3,x∈ +∞ ( ) ( )4 , 1f x x= − ∈ −∞ − 0x ≥ ( )f x 0x < 则直线 与 的图象有 5 个交点,则方程 共有 5 个实根, 最左边两根之和为 ,最右边两根之和为 , 因为 时, ,所以 , 又 ,所以 , 所以中间的一个根满足 , 即 ,解得 , 所以所有根的和为 , 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题,涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交 点的问题,注意对奇函数的性质的应用,以及图象的对称性的应用,属于中档题目. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 的定义域为________. 【答案】[2,+∞) 【解析】 分析:根据偶次根式下被开方数非负列不等式,解对数不等式得函数定义域. 详解:要使函数 有意义,则 ,解得 ,即函数 的定义域为 . 点睛:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题. y a= ( )y f x= ( ) 0f x a− = 6− 6 ( )1,0x∈ − ( )0,1x− ∈ ( ) ( )1 2 log 1f x x− = − + ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 log 1 log 1 log 1f x x x x−= − − + = − = − ( )2log 1 x a− = 1 2ax− = 1 2ax = − 1 2a− 2( ) log 1f x x= − ( )f x 2log 1 0x − ≥ 2x ≥ ( )f x [2, )+∞ 14.某校今年计划招聘女教师 人,男教师 人,若 、 满足 则该学校今年计划 招聘的教师人数最大值为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】 设 ,依题意,只需求 即可,作出可行域,数形结合即可得到答案 【详解】设 ,则 ,在 轴上的截距越大, 越大,作出可行 域如图所示, 平移直线 ,当直线经过 A 点时, 有最大值,由 ,得 , 所以 , . 故答案为: . 【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用,考查学生数形结合思想,数学运算能力,是 一道容易题. 15.若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称,则 __________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 由对称知直线 过圆心 ,再由垂直关系可得 k,从而得解. x y x y 2 5, 2, 6, x y x y x − ≥  − ≤  ≤ z x y= + maxz , ,z x y x N y N= + ∈ ∈ y x z= − + y z y x= − z 6 2 5 x y x =  = − 6 7 x y =  = (6,7)A max 6 7 13z = + = 13 y kx= 2 2 2 0x y x+ − = 2 0x y a+ + = ak = 2 0x y a+ + = ( )1,0 【详解】易得直线 过圆心 ,所以 , 直线 与直线 垂直,所以 ,所以 . 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,属于基础题. 16.在 中, 为角 所对的边,若 , ,则 的最大值为 __________. 【答案】 【解析】 分析:由正弦定理可得得 a=2sinA,c=2sinC,化为 2a+c=5sinA+ cosA,再利用辅助角公式 化简求最大值. 详解:由 =4,得 a=4sinA,c=4sinC, ∴2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin(120°﹣A)=10sinA+ cosA= sin(A+φ), ∴2a+c 的最大值是 . 故答案为 . 点睛:本题主要考查了正弦定理、两角差公式、辅助角公式和三角函数的最值,意在 考查学生三角基础知识运用能力和基本的运算能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.已知等比数列 中, ,且 ,公比 . (1)求 ; (2)设 的前 项和为 ,求证 . 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)由等比数列的通项公式,可得 的方程,解方程可得 的值,进而得到所求通项公式; (2)利用等比数列求和公式求和,进而根据数列的单调性即可证明. 2 0x y a+ + = ( )1,0 2a = − y kx= 2 0x y a+ + = 1 2k = 1ak = − ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3B π= 2 3b = 2a c+ 4 7 3 0 2 3 sin sin sin 60 a c A C = = 2 3 4 7 4 7 4 7 { }na 4 3 22 3 0a a a− + = 1 1 2a = 1q ≠ na { }na n nT 1 12 nT≤ < 1( )2 n na = q q 【详解】(1)由已知得: 或 (舍去), 所以 . (2)因为 , ,所以 , 因为 在 上为减函数,且 恒成立, 所以当 时, , 所以 . 18.如图在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=2,点 E 在线段 AB 上,且 BE=1,将△ADE 沿 DE 折 起到 A1DE 的位置,使得平面 A1DE⊥平面 BCDE. (1)求证:CE⊥平面 A1DE; (2)线段 A1C 上是否存在一点 F,使得 BF//平面 A1DE?说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2)存在点 F(A1C 的五等分点靠近点 A1),使得 BF//平面 A1DE, 理由详见解析. 【解析】 【分析】 (1)因为平面 A1DE⊥平面 BCDE,所以要证明 CE⊥平面 A1DE,只需证明 CE⊥DE 即可; (2)取 CD 上点 M,使 DM=1=BE,易得 BM∥平面 A1DE,在△A1DC 内,作 MF∥A1D 交 A1C 于 F,易得 MF∥平面 A1DE,进一步得到平面 FMB∥平面 A1DE,即可得到答案. 【详解】(1)证明:如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=2, 点 E 在线段 AB 上,且 BE=1,∴ , 2 12 3 1 0 2q q q− + = ⇒ = 1q = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n na a q − −    = ⋅ = × =       1 1 2a = 1 2q = 1 112 2 111 21 2 n n nT   −       = = −  − 1 2 x y  =    R 1 02 x y  = >   * 1n N n∈ ≥, 1 10 2 2 n < ≤   1 11 12 2 n nT  ≤ = − <   2 2 4 16 2 5DE AD AE= + = + = ,CD=5, ∴ ,∴CE⊥DE, ∵平面 A1DE⊥平面 BCDE,平面 A1DE 平面 BCDE , 平面 BCDE, ∴CE⊥平面 A1DE. (2)取 CD 上点 M,使 DM=1=BE,又 , ∴ DMBE 为平行四边形,∴ ,又 DE 平面 , 平面 , ∴ 平面 A1DE, 在△A1DC 内,作 交 A1C 与 F,因为 平面 , 平面 , 所以 平面 A1DE,又 ,∴平面 平面 A1DE, 又 平面 FMB,∴ 平面 A1DE, , , 故存在点 F(A1C 的五等分点靠近点 A1),使得 平面 A1DE. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及面面平行的性质定理的应用,考查学生的逻辑推 理能力,是一道中等题. 19.在中国共产党第十九次全国代表大会上,习近平总书记代表第十八届中央委员会向大会作 了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告.人们通过 手机、互联网、电视等方式观看十九大盛况.某调查网站从通过电视端口或 端口观看十九 大的观众中随机选出 200 人,经统计这 200 人中通过电视端口观看的人数与通过 端口观看 的人数之比为 .将这 200 人按年龄分成五组:第 1 组 ,第 2 组 ,第 3 组 ,第 4 组 ,第 5 组 ,其中统计通过电视端口观看的观众得到的频率 分布直方图如图所示. 2 2 1 4 5CE BE BC= + = + = 2 2 2DE CE CD+ =  DE= CE ⊂ //DM BE //BM DE ⊂ 1A DE BM ⊄ 1A DE //BM 1//MF A D MF ⊄ 1A DE 1A D ⊂ 1A DE //MF MF BM M= //FMB BF ⊂ //BF 1 1//MF A D 1 1 1 5 A F DM AC CD ∴ = = //BF PC PC 4:1 [ )15,25 [ )25,35 [ )35,45 [ )45,55 [ ]55,65 (1)求 的值. (2)把年龄在第 1、2、3 组的观众称青少年组,年龄在第 4、5 组的观众称为中老年组,若 选出的 200 人中通过 端口观看的中老年人有 12 人,请完成下面 列联表,并判断能否 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关? 通过 端口观看十 九大 通过电视端口观看十 九大 合 计 青少 年 中老 年 合 计 附: (其中 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) ;(2)列联表详见解析,不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认 为观看十九大的方式与年龄有关. a PC 2 2× PC ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 0.035a = 【解析】 【分析】 (1)由各小矩形的面积之和为 1 即可得到 a; (2)由频率分布直方图分别计算通过 端口观看和通过电视端口观看的青少年、中老年人 数,列出列联表,再按卡方公式计算即可. 【详解】(1)由频率分布直方图可得: , 解得 . (2)由题意得通过 端口观看和通过电视端口观看的人数分别为: , . 通过电视端口观看的 160 人中,青少年组、中老年组的人数分别为: , .所以 列联表为: 通过 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 28 96 124 中老年 12 64 76 合计 40 160 200 计算得 的观测值为 , 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及独立性检验,考查学生的数学计算能力,是一 道容易题. 20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦 点,离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; PC ( )10 0.01 0.015 0.03 0.01 1a× + + + + = 0.035a = PC 1200 405 × = 4200 1605 × = ( )160 0.035 0.015 0.01 10 96× + + × = 160 96 64− = 2 2× PC 2K ( )2 2 200 28 64 12 96 1.3582 2.70640 160 124 76K × − ×= ≈ <× × × 21 4y x= 2 5 5 (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 , ,求 的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)-10 【解析】 【分析】 (Ⅰ)设椭圆 C 方程为 ,根据它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点,得 到 ,又 ,由此求出椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)设 , , ,直线 l 的方程为 ,代入方程 ,得 ,由此利用韦达定理结合已知条件能求 出 的值. 【详解】(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 , 抛物线方程化为 ,其焦点为 则椭圆 C 的一个顶点为 ,即 , 由 ,解得 , ∴椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)证明:∵椭圆 C 的方程为 , ∴椭圆 C 的右焦点 设 , , ,由题意知直线 l 的斜率存在, 的 1MA AFλ=  2MB BFλ=  1 2 λ λ+ 2 2 15 x y+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 21 4y x= 1b = 2 2 2 2 5 5 c a b a a −= = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )00,M y ( )2y k x= − 2 2 15 x y+ = ( )2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k+ − + − = 1 2 λ λ+ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 4x y= ( )0,1 ( )0,1 1b = 2 2 2 2 5 5 c a be a a −= = = 2 5a = 2 2 15 x y+ = 2 2 15 x y+ = ( )2,0F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )00,M y 设直线 l 的方程为 ,代入方程 , 并整理,得 , ∴ , , 又 , , , , 而 , , 即 , , ∴ , , ∴ . 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,还考查了运算求解的能力, 属于中档题. 21.已知函数 , (1)当 时,求函数 的单调区间; (2)定义:对于函数 ,若存在 ,使 成立,则称 为函数 的不动点.如 果函数 存在不动点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)将 代入,结合导函数,判定单调区间,即可.(2)用 x 表示 a,构造函数 , 求导,判定原函数的单调性,计算最值,计算 a 的范围,即可. 【详解】当 时, , 定义域为 ( )2y k x= − 2 2 15 x y+ = ( )2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 20 1 5 kx x k + = + 2 1 2 2 20 5 1 5 kx x k −= + ( )1 1 0,MA x y y= − ( )2 2 0,MB x y y= − ( )1 12 ,AF x y= − − ( )2 22 ,BF x y= − − 1MA AFλ=  2MB BFλ=  ( ) ( )1 1 0 1 1 10, 2 ,x y y x yλ− − = − − ( ) ( )2 2 0 2 2 20, 2 ,x y y x yλ− − = − − 1 1 12 x x λ = − 2 2 22 x x λ = − ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 102 2 4 2 x x x xx x x x x x x x λ λ + −+ = + = = −− − − + + ( ) ( )21ln 2f x x x ax a R= + + ∈ ( ) 23e 2 xg x x x= + − 4a = − ( )f x ( )f x 0x 0 0( )f x x= 0x ( )f x ( ) ( ) ( )F x f x g x= − a [ 1, )e + ∞ 4a = − ( )h x 4a = − ( ) 21ln 42f x x x x= + − ( )f x ( )0,+∞ ( ) 21 4 1' 4 x xf x xx x − += + − = 当 ,即 得 或 当 ,即 得 的单调递增区间是 , 的单调递减区间是 (2) 存在不动点, 方程 有实数根. 即 有解. 令 令 , . 当 时, , 递减; 当 时, , 递增; 当 时, 有不动点, 范围 【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性,利用导函数计算最值,难度偏难. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. 22.在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0≤α<π).以坐标原点 ( )' 0f x > 2 4 1 0x x− + > 0 2 3x< < − 2 3x > + ( )' 0f x < 2 4 1 0x x− + < 2 3 2 3x− < < + ( )f x∴ ( )0,2 3− ( )2 3,+ +∞ ( )f x ( )2 3,2 3− + ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 2 21 3ln 2 2 xx x ax e x x= + + − − + 2ln ( 0)xx x ax x e x= − + + − > ( )F x ∴ ( )F x x= 2lnxe x xa x − += ( ) 2 ln ( 0) xe x xh x xx + −= > ( )'h x = ( ) ( )( ) 2 1 ln 1 1xe x x x x x − + + + − ( )' 0h x = 1x∴ = ( )0,1x∈ ( )' 0h x < ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x > ( )h x ( ) ( )1 1h x h e∴ ≥ = + 1a e≥ + ( )F x a∴ [ )1,e + ∞ cos sin x t y t α α =  = 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 . (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 AB 的长度为 2 ,求直线 l 的普通方程. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 和 x=0. 【解析】 【分析】 (I)将 代入曲线 极坐标方程,化简后可求得对应的直角坐标方程.(II)将直 线的参数方程代入曲线方程,利用弦长公式列方程,解方程求得直线的倾斜角或斜率,由此 求得直线 的普通方程. 【详解】解:(Ⅰ)将 代入曲线 C 极坐标方程得: 曲线 C 的直角坐标方程为: 即 (Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线方程: 整理得 设点 A,B 对应的参数为 , , 解得 , 则 ,因为 得 ,直线 l 的普通方程为 和 x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化,考查利用直线的参数方程来求弦 长有关的问题,属于中档题. 23.已知函数 , . 2 4 4 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ− = − 5 ( ) ( )2 22 1 9x y− + + = 3 4y x= x cos y sin ρ θ ρ θ =  = C l x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 4 4 2x y x y+ − = − ( ) ( )2 22 1 9x y− + + = ( ) ( )2 2cos 2 sin 1 9t tα α− + + = 2 4 cos 2 sin 4 0t t tα α− + − = 1t 2t 1 2 4cos 2sint t α α+ = − 1 2 4t t⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4cos 2sin 16 2 5AB t t t t t t α α= − = + − = − + = 23cos 4sin cos 0α α α− = 0 α π≤ < 3tan2 4 πα α= =或 3 4y x= ( ) 1 2f x x x= − + + ( ) 1g x x x a a= + − − + (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若对任意实数 , ,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)当 时,不等式化为 ,分类讨论,即可求解不等式的解集; (Ⅱ)根据绝对值的三角不等式,求得 , ,根据 ,列出相应的不等式组,即可求解. 【详解】(Ⅰ)当 时,不等式化为 . 则 或 或 , 即 或 或 ,即 , 所以不等式的解集是 . (Ⅱ)因为 , 当 ,即 时取等号,所以 . 因为 , 当 时取等号,所以 . 据题意, ,则 ,即 , 所以 解得 ,所以 a 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式的三角不等式的应用,其 中解答中合理分类讨论,以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键, 着重考查了分析问题和解答问题的能力. ( ) ( ) 6f x g x+ < 1x 2x ( ) ( )1 2f x g x ( )4,1− ( ],1−∞ 1a = 2 1 5x x+ + + < ( )min 3f x = ( )max 1g x a a= + + ( ) ( )min maxf x g x≥ 1a = 2 1 5x x+ + + < 1 2 3 5 x x ≥ −  + < 2 1 1 5 x− ≤ < −  < 2 2 3 5 x x < − − − < 1 1x− < 2 1x− < − 4 2x− < < − 4 1x− < < ( )4,1− ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3f x x x x x= − + + ≥ − − + = ( )( )1 2 0x x− + ≤ 2 1x− ≤ ≤ ( )min 3f x = ( ) ( ) ( )1 1 1g x x x a a x x a a a a= − − − + ≤ + − − + = + + { }max , 1x a≥ − ( )max 1g x a a= + + ( ) ( )min maxf x g x≥ 3 1a a≥ + + 1 3a a+ ≤ − ( ) ( )2 2 3 0 1 3 a a a − ≥ + ≤ − 1a ≤ ( ],1−∞

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