陕西省西安中学2020届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题 21页

西安中学高 2020 届第四次模拟考试 数学（文） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 A={1,2,3}，集合 B ={x|x2=x}，则 A∪B= （ ） A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. {－ 1,0,1,2,3} 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 B={0，1}，然后根据并集的定义求出 A∪B． 【详解】解：∵集合 A＝{1，2，3}， 集合 B＝{x|x2＝x}＝{0，1}， ∴A∪B＝{0，1，2，3}． 故选 C． 【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题． 2.复数 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 将 整理成 的形式， 与 模长相同，求 即可. 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题. 1 = − iz i i z = 2 2 2 1 2 z a bi+ z z z ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 i iiz ii i i += = = − +− − + 1 1 2 4 4 2z z= = + = A 3.已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则下列说法中正确的是 A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案. 【详解】命题 p， ，即命题 p 真， 对命题 q，去 ，所以命题 q 为假， 为真 所以 是真命题 故选：C. 【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即 可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表； (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 4.已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据焦点坐标得 c＝2，再用平方关系得 m+1＝4，解出 m 值后再用离心率的公式，可得该双曲 线的离心率． 【详解】∵双曲线 的一个焦点为（2，0）， ∴m+1＝22＝4，可得 m , 为 p x R∃ ∈ 2 0x − > q 0x∀ ≥ x x< p q∨ p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬ 0 03, 2 0x x∃ = − > 1 1 1,4 2 4x x x= = > = p¬ ( )p q∧ ¬ C 2 2 1x ym − = (2 0)， C 2 3 4 3 3 2 3 3 2 2 1x ym − = 3= 因此双曲线的离心率为 e 故选 D． 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质的应用， 属于基础题． 5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区 户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 的户主进行调查，则样本容量和抽 取的户主对四居室满意的人数分别为 　　 A. 100，8 B. 80，20 C. 100，20 D. 80，8 【答案】A 【解析】 由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ，其中对四居室满意的人数为 ，应选答案 A． 6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图 所示，则它的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 2 2 3 33 c m = = = 20% ( ) 100n = 0 020 100 40 80 0× × = 2 4 2 2+ 4 4 2+ 6 4 2+ 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积 公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条 直角边分别是 ,斜边是 2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2， ∴几何体的表面积 故选 D． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查 空间想象能力． 7.已知边长为 1 的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将 通过线性运算进行拆解，转变成与向量 和 相关的数量积和模长求解即可. 【详解】由题意可得大致图像如下： ； 又 ， 2 12 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2.2S = × + × × + × × × = + ABCD 60BAD∠ = ° E 2BE EC=  AE BD⋅  1 3 − 1 2 − 1 4 − 1 6 − AE BD⋅  AB → BC → 2 3AE AB BE AB BC    = + = + BD AD AB BC AB= − = −     ( )2 2 2 3 3 3AE BD AB BC BC AB AB BC AB AB BC BC AB BC ∴ ⋅ = + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅                 2 21 2 3 3AB BC AB BC= ⋅ − +    1AB BC= =  1cos 2AB BC AB BC BAD   ⋅ = ∠ = 1 1 2 113 2 3 6AE BD∴ ⋅ = × − + = −  本题正确选项： 【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解， 拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题. 8.已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象，则 的最大值为 　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出 函数 g（x）的关系式，最后求出函数的最值． 【详解】由题意得 ， ， ， 将 的图象向左平移 个单位长度得到函数： ， 再将函数 向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象， 即 ， 所以当 时， ， 故选 C． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函 数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 9.已知函数 ，若函数 是奇函数，则曲线 在点 处 切线方程是（ ）的 D ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − ( )y f x= π 6 ( )y g x= ( )g x ( ) ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − sin2x 3cos2x= − π2sin 2x 3  = −   ( )y f x= π 6 π πy 2sin 2 x 2sin2x6 3   = + − =     y 2sin2x= ( )y g x= ( )g x 2sin2x 1= + ( )πx kπ k Z4 = + ∈ maxg(x) 3= ( ) ( ) 2cos 1f x x x a x ax a= + − + + ( )y f x a= − ( )y f x= ( )( )0, 0f A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 是奇函数可求得 ，所以 ，然后根据导数的 几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程． 【详解】由题意得 ， ∴函数 为奇函数， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴所求切线方程为 ，即 ． 故选 B． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲 线在点 P 处的切线”和“曲线过点 P 的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点 P 处的切线” 说明点 P 在曲线上且点 P 为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线 方程即可． 10.执行如图所示 程序框图，若将判断框内“ ”改为关于 n 的不等式“ ”， 且要求输出的结果不变，则正整数 的取值为（ ） 的 1 0x y− + = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 2 0x y− + = ( )y f x a= − 1a = ( ) cos 1f x x x x= + + ( ) ( ) ( ) 2cos 1g x f x a x x a x ax= − = + − + ( )g x ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 1 cos 1g x g x x x a x ax x x a x ax + − = + − + + − + − −  ( ) 22 1 0a x= − = 1a = ( ) cos 1f x x x x= + + ( ) sin 1f x cosx x x= − +′ ( )0 2f ′ = ( )0 1f = 1 2( 0)y x− = − 2 1 0x y− + = 100?S > 0 ?n n≥ 0n A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时判断框中的 条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果 为 126，若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变，则条件 成立，可得正整数 的取值为 6． 【详解】框图首先赋值 ， ，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果 为 126． 若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变， 则条件 成立，可得正整数 的取值为 6．故选 ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属 于基本知识的考查． 11.如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时 球心到下底面距离为 8，则球的体积为 ( ) n s 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n 1n = 2s = 1 1 2n = + = 2 4 6s = + = 2 1 3n = + = 6 8 14s = + = 3 1 4n = + = 14 16 30s = + = 4 1 5n = + = 30 32 62s = + = 5 1 6n = + = 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n C A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设球心为 ，三棱柱的上底面 的内切圆的圆心为 ，该圆与边 切于点 ，根 据球的几何性质可得 为直角三角形，然后根据题中数据求出圆 半径，进而求得球 的半径，最后可求出球的体积． 【详解】如图，设三棱柱为 ，且 ，高 ． 所以底面 为斜边是 的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆 ，圆 与边 切于点 ， 则圆 的半径为 ． 设球心为 ，则由球的几何知识得 为直角三角形，且 ， 所以 ， 160 5 3 π 64 2 3 π 96 3 3 π 256 2 3 π O 1 1 1A B C∆ 1O 1 1B C M 1OO M∆ 1O 1 1 1ABC A B C− 12, 5, 13AB BC AC= = = 1 4AA = 1 1 1A B C∆ 1 1AC 1O 1O 1 1B C M 1O 1 12 5 13 22O M + −= = O 1OO M∆ 1 8 4 4OO = − = 2 22 4 2 5OM = + = 即球 的半径为 ， 所以球 的体积为 ． 故选 A． 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径 、球心到小圆圆心的距离 和小圆半径 为三边的直角三角形，并在此 三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为 ，斜边为 ，则该直角三角形内切圆的半径 ，合理利用中间结论可提高解题的效率． 12.定义在 R 上的奇函数 ，当 时， 则关于 x 的函数 的所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数 的零点转化为：在同一坐标系内 的图象交 点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函 数的图象，结合图象及其对称性，求出答案. 【详解】因为当 时， ， 即 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 画出 时， 的图象，再利用奇函数的对称性，画出 时的图象，如图所示： O 2 5 O 34 (2 5) 160 3 5 3 π π× × = R d r ,a b c 2 a b cr + −= ( )f x 0x ≥ [ ) [ )1 2 1 3 , 1, ( ) log ( 1), 0,1 x x f x x x  − − ∈ +∞=  + ∈ ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < < 1 2a− 2 2a − 1 12 a  −   ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < < ( ),y f x y a= = 0x ≥ ( ) [ ) ( ) [ )1 2 1 3 , 1, log 1 , 0,1 x x f x x x  − − ∈ +∞=  − ∈ [ )0,1x∈ ( ) ( ) ( ]1 2 log 1 1,0f x x= + ∈ − [ ]1,3x∈ ( ) [ ]2 1,1f x x= − ∈ − ( )3,x∈ +∞ ( ) ( )4 , 1f x x= − ∈ −∞ − 0x ≥ ( )f x 0x < 则直线 与 的图象有 5 个交点，则方程 共有 5 个实根， 最左边两根之和为 ，最右边两根之和为 ， 因为 时， ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以中间的一个根满足 ， 即 ，解得 ， 所以所有根的和为 ， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交 点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.函数 的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】 分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 . 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. y a= ( )y f x= ( ) 0f x a− = 6− 6 ( )1,0x∈ − ( )0,1x− ∈ ( ) ( )1 2 log 1f x x− = − + ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 log 1 log 1 log 1f x x x x−= − − + = − = − ( )2log 1 x a− = 1 2ax− = 1 2ax = − 1 2a− 2( ) log 1f x x= − ( )f x 2log 1 0x − ≥ 2x ≥ ( )f x [2, )+∞ 14.某校今年计划招聘女教师 人，男教师 人，若 、 满足 则该学校今年计划 招聘的教师人数最大值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】 设 ，依题意，只需求 即可，作出可行域，数形结合即可得到答案 【详解】设 ，则 ，在 轴上的截距越大， 越大，作出可行 域如图所示， 平移直线 ，当直线经过 A 点时， 有最大值，由 ，得 ， 所以 ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用，考查学生数形结合思想，数学运算能力，是 一道容易题. 15.若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称，则 __________． 【答案】-1 【解析】 【分析】 由对称知直线 过圆心 ，再由垂直关系可得 k，从而得解. x y x y 2 5, 2, 6, x y x y x − ≥  − ≤  ≤ z x y= + maxz , ,z x y x N y N= + ∈ ∈ y x z= − + y z y x= − z 6 2 5 x y x =  = − 6 7 x y =  = (6,7)A max 6 7 13z = + = 13 y kx= 2 2 2 0x y x+ − = 2 0x y a+ + = ak = 2 0x y a+ + = ( )1,0 【详解】易得直线 过圆心 ，所以 ， 直线 与直线 垂直，所以 ，所以 . 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题. 16.在 中， 为角 所对的边，若 ， ，则 的最大值为 __________． 【答案】 【解析】 分析：由正弦定理可得得 a=2sinA，c=2sinC，化为 2a+c=5sinA+ cosA，再利用辅助角公式 化简求最大值. 详解：由 =4，得 a=4sinA，c=4sinC， ∴2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin（120°﹣A）=10sinA+ cosA= sin（A+φ）， ∴2a+c 的最大值是 ． 故答案为 ． 点睛：本题主要考查了正弦定理、两角差公式、辅助角公式和三角函数的最值，意在 考查学生三角基础知识运用能力和基本的运算能力. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.已知等比数列 中， ，且 ，公比 . （1）求 ； （2）设 的前 项和为 ，求证 . 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由等比数列的通项公式，可得 的方程，解方程可得 的值，进而得到所求通项公式； （2）利用等比数列求和公式求和，进而根据数列的单调性即可证明． 2 0x y a+ + = ( )1,0 2a = − y kx= 2 0x y a+ + = 1 2k = 1ak = − ABC∆ , ,a b c , ,A B C 3B π= 2 3b = 2a c+ 4 7 3 0 2 3 sin sin sin 60 a c A C = = 2 3 4 7 4 7 4 7 { }na 4 3 22 3 0a a a− + = 1 1 2a = 1q ≠ na { }na n nT 1 12 nT≤ < 1( )2 n na = q q 【详解】（1）由已知得： 或 (舍去)， 所以 . （2）因为 ， ，所以 ， 因为 在 上为减函数，且 恒成立， 所以当 时， ， 所以 . 18.如图在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝2，点 E 在线段 AB 上，且 BE＝1，将△ADE 沿 DE 折 起到 A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCDE． （1）求证：CE⊥平面 A1DE； （2）线段 A1C 上是否存在一点 F，使得 BF//平面 A1DE？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在点 F（A1C 的五等分点靠近点 A1），使得 BF//平面 A1DE， 理由详见解析． 【解析】 【分析】 （1）因为平面 A1DE⊥平面 BCDE，所以要证明 CE⊥平面 A1DE，只需证明 CE⊥DE 即可； （2）取 CD 上点 M，使 DM＝1＝BE，易得 BM∥平面 A1DE，在△A1DC 内，作 MF∥A1D 交 A1C 于 F，易得 MF∥平面 A1DE，进一步得到平面 FMB∥平面 A1DE，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝2， 点 E 在线段 AB 上，且 BE＝1，∴ ， 2 12 3 1 0 2q q q− + = ⇒ = 1q = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n na a q − −    = ⋅ = × =       1 1 2a = 1 2q = 1 112 2 111 21 2 n n nT   −       = = −  − 1 2 x y  =    R 1 02 x y  = >   * 1n N n∈ ≥， 1 10 2 2 n < ≤   1 11 12 2 n nT  ≤ = − <   2 2 4 16 2 5DE AD AE= + = + = ，CD＝5， ∴ ，∴CE⊥DE， ∵平面 A1DE⊥平面 BCDE，平面 A1DE 平面 BCDE ， 平面 BCDE， ∴CE⊥平面 A1DE． （2）取 CD 上点 M，使 DM＝1＝BE，又 ， ∴ DMBE 为平行四边形，∴ ，又 DE 平面 ， 平面 , ∴ 平面 A1DE， 在△A1DC 内，作 交 A1C 与 F，因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 A1DE，又 ，∴平面 平面 A1DE， 又 平面 FMB，∴ 平面 A1DE， ， ， 故存在点 F（A1C 的五等分点靠近点 A1），使得 平面 A1DE． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及面面平行的性质定理的应用，考查学生的逻辑推 理能力，是一道中等题. 19.在中国共产党第十九次全国代表大会上，习近平总书记代表第十八届中央委员会向大会作 了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．人们通过 手机、互联网、电视等方式观看十九大盛况．某调查网站从通过电视端口或 端口观看十九 大的观众中随机选出 200 人，经统计这 200 人中通过电视端口观看的人数与通过 端口观看 的人数之比为 ．将这 200 人按年龄分成五组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，其中统计通过电视端口观看的观众得到的频率 分布直方图如图所示． 2 2 1 4 5CE BE BC= + = + = 2 2 2DE CE CD+ =  DE= CE ⊂ //DM BE //BM DE ⊂ 1A DE BM ⊄ 1A DE //BM 1//MF A D MF ⊄ 1A DE 1A D ⊂ 1A DE //MF MF BM M= //FMB BF ⊂ //BF 1 1//MF A D 1 1 1 5 A F DM AC CD ∴ = = //BF PC PC 4:1 [ )15,25 [ )25,35 [ )35,45 [ )45,55 [ ]55,65 （1）求 的值． （2）把年龄在第 1、2、3 组的观众称青少年组，年龄在第 4、5 组的观众称为中老年组，若 选出的 200 人中通过 端口观看的中老年人有 12 人，请完成下面 列联表，并判断能否 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？ 通过 端口观看十 九大 通过电视端口观看十 九大 合 计 青少 年 中老 年 合 计 附： （其中 ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） ；（2）列联表详见解析，不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认 为观看十九大的方式与年龄有关． a PC 2 2× PC ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 0.035a = 【解析】 【分析】 （1）由各小矩形的面积之和为 1 即可得到 a； （2）由频率分布直方图分别计算通过 端口观看和通过电视端口观看的青少年、中老年人 数，列出列联表，再按卡方公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得： ， 解得 ． （2）由题意得通过 端口观看和通过电视端口观看的人数分别为： ， ． 通过电视端口观看的 160 人中，青少年组、中老年组的人数分别为： ， ．所以 列联表为： 通过 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 28 96 124 中老年 12 64 76 合计 40 160 200 计算得 的观测值为 ， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，考查学生的数学计算能力，是一 道容易题. 20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦 点，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； PC ( )10 0.01 0.015 0.03 0.01 1a× + + + + = 0.035a = PC 1200 405 × = 4200 1605 × = ( )160 0.035 0.015 0.01 10 96× + + × = 160 96 64− = 2 2× PC 2K ( )2 2 200 28 64 12 96 1.3582 2.70640 160 124 76K × − ×= ≈ <× × × 21 4y x= 2 5 5 （Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 ， ，求 的值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）-10 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设椭圆 C 方程为 ，根据它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，得 到 ，又 ，由此求出椭圆 C 的标准方程. （Ⅱ）设 ， ， ，直线 l 的方程为 ，代入方程 ，得 ，由此利用韦达定理结合已知条件能求 出 的值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为 ， 抛物线方程化为 ，其焦点为 则椭圆 C 的一个顶点为 ，即 ， 由 ，解得 ， ∴椭圆 C 的标准方程为 （Ⅱ）证明：∵椭圆 C 的方程为 ， ∴椭圆 C 的右焦点 设 ， ， ，由题意知直线 l 的斜率存在， 的 1MA AFλ=  2MB BFλ=  1 2 λ λ+ 2 2 15 x y+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 21 4y x= 1b = 2 2 2 2 5 5 c a b a a −= = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )00,M y ( )2y k x= − 2 2 15 x y+ = ( )2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k+ − + − = 1 2 λ λ+ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 4x y= ( )0,1 ( )0,1 1b = 2 2 2 2 5 5 c a be a a −= = = 2 5a = 2 2 15 x y+ = 2 2 15 x y+ = ( )2,0F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )00,M y 设直线 l 的方程为 ，代入方程 ， 并整理，得 ， ∴ ， ， 又 ， ， ， ， 而 ， ， 即 ， ， ∴ ， ， ∴ . 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 21.已知函数 ， （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）定义：对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为函数 的不动点.如 果函数 存在不动点，求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入，结合导函数，判定单调区间，即可．（2）用 x 表示 a，构造函数 ， 求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算 a 的范围，即可． 【详解】当 时， ， 定义域为 ( )2y k x= − 2 2 15 x y+ = ( )2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 20 1 5 kx x k + = + 2 1 2 2 20 5 1 5 kx x k −= + ( )1 1 0,MA x y y= − ( )2 2 0,MB x y y= − ( )1 12 ,AF x y= − − ( )2 22 ,BF x y= − − 1MA AFλ=  2MB BFλ=  ( ) ( )1 1 0 1 1 10, 2 ,x y y x yλ− − = − − ( ) ( )2 2 0 2 2 20, 2 ,x y y x yλ− − = − − 1 1 12 x x λ = − 2 2 22 x x λ = − ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 102 2 4 2 x x x xx x x x x x x x λ λ + −+ = + = = −− − − + + ( ) ( )21ln 2f x x x ax a R= + + ∈ ( ) 23e 2 xg x x x= + − 4a = − ( )f x ( )f x 0x 0 0( )f x x= 0x ( )f x ( ) ( ) ( )F x f x g x= − a [ 1, )e + ∞ 4a = − ( )h x 4a = − ( ) 21ln 42f x x x x= + − ( )f x ( )0,+∞ ( ) 21 4 1' 4 x xf x xx x − += + − = 当 ，即 得 或 当 ，即 得 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是 （2） 存在不动点， 方程 有实数根. 即 有解. 令 令 ， . 当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增； 当 时， 有不动点， 范围 【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，利用导函数计算最值，难度偏难． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做， 则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑． 22.在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点 ( )' 0f x > 2 4 1 0x x− + > 0 2 3x< < − 2 3x > + ( )' 0f x < 2 4 1 0x x− + < 2 3 2 3x− < < + ( )f x∴ ( )0,2 3− ( )2 3,+ +∞ ( )f x ( )2 3,2 3− + ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 2 21 3ln 2 2 xx x ax e x x= + + − − + 2ln ( 0)xx x ax x e x= − + + − > ( )F x ∴ ( )F x x= 2lnxe x xa x − += ( ) 2 ln ( 0) xe x xh x xx + −= > ( )'h x = ( ) ( )( ) 2 1 ln 1 1xe x x x x x − + + + − ( )' 0h x = 1x∴ = ( )0,1x∈ ( )' 0h x < ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x > ( )h x ( ) ( )1 1h x h e∴ ≥ = + 1a e≥ + ( )F x a∴ [ )1,e + ∞ cos sin x t y t α α =  = 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的长度为 2 ，求直线 l 的普通方程． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） 和 x=0. 【解析】 【分析】 （I）将 代入曲线 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）将直 线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此 求得直线 的普通方程. 【详解】解：（Ⅰ）将 代入曲线 C 极坐标方程得： 曲线 C 的直角坐标方程为： 即 （Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程： 整理得 设点 A，B 对应的参数为 ， ， 解得 ， 则 ，因为 得 ，直线 l 的普通方程为 和 x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦 长有关的问题，属于中档题. 23.已知函数 ， . 2 4 4 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ− = − 5 ( ) ( )2 22 1 9x y− + + = 3 4y x= x cos y sin ρ θ ρ θ =  = C l x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 4 4 2x y x y+ − = − ( ) ( )2 22 1 9x y− + + = ( ) ( )2 2cos 2 sin 1 9t tα α− + + = 2 4 cos 2 sin 4 0t t tα α− + − = 1t 2t 1 2 4cos 2sint t α α+ = − 1 2 4t t⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4cos 2sin 16 2 5AB t t t t t t α α= − = + − = − + = 23cos 4sin cos 0α α α− = 0 α π≤ < 3tan2 4 πα α= =或 3 4y x= ( ) 1 2f x x x= − + + ( ) 1g x x x a a= + − − + (Ⅰ)当 a＝1 时，求不等式 的解集； (Ⅱ)若对任意实数 ， ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)当 时，不等式化为 ，分类讨论，即可求解不等式的解集； (Ⅱ)根据绝对值的三角不等式，求得 ， ，根据 ，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】(Ⅰ)当 时，不等式化为 . 则 或 或 ， 即 或 或 ，即 ， 所以不等式的解集是 ． (Ⅱ)因为 ， 当 ，即 时取等号，所以 . 因为 ， 当 时取等号，所以 . 据题意， ，则 ，即 ， 所以 解得 ，所以 a 的取值范围是 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的三角不等式的应用，其 中解答中合理分类讨论，以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力. ( ) ( ) 6f x g x+ < 1x 2x ( ) ( )1 2f x g x ( )4,1− ( ],1−∞ 1a = 2 1 5x x+ + + < ( )min 3f x = ( )max 1g x a a= + + ( ) ( )min maxf x g x≥ 1a = 2 1 5x x+ + + < 1 2 3 5 x x ≥ −  + < 2 1 1 5 x− ≤ < −  < 2 2 3 5 x x < − − − < 1 1x− < 2 1x− < − 4 2x− < < − 4 1x− < < ( )4,1− ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3f x x x x x= − + + ≥ − − + = ( )( )1 2 0x x− + ≤ 2 1x− ≤ ≤ ( )min 3f x = ( ) ( ) ( )1 1 1g x x x a a x x a a a a= − − − + ≤ + − − + = + + { }max , 1x a≥ − ( )max 1g x a a= + + ( ) ( )min maxf x g x≥ 3 1a a≥ + + 1 3a a+ ≤ − ( ) ( )2 2 3 0 1 3 a a a − ≥ + ≤ − 1a ≤ ( ],1−∞