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- 2021-06-11 发布
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天津市西青区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的括号内.
1.若集合A={﹣1,0,1,2,3,5},集合B={2,3,4,5,6,7},则集合A∩B等于( )
A. {2} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {2,3,5,7}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交运算即可求得结果.
【详解】因A={﹣1,0,1,2,3,5},B={2,3,4,5,6,7},
∴A∩B={2,3,5}.
故选:C.
【点睛】本题考查集合的交运算,属基础题.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2﹣c2,则tanC=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用面积公式,以及余弦定理对已知条件进行转化,再利用同角三角函数关系,将正余弦转化为正切,解方程即可求得.
【详解】△ABC中,∵S△ABC,由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,
且 2S=(a+b)2﹣c2,∴absinC=(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC),
整理得sinC﹣2cosC=2,∴(sinC﹣2cosC)2=4.
∴4,化简可得 3tan2C+4tanC=0.
∵C∈(0,180°),∴tanC,
故选:C.
【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用,涉及同角三角函数关系,属基础题.
3.设,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可.
【详解】解:若a=0,b=1,满足a<b,但(a﹣b)a2<0不成立,
若“(a﹣b)a2<0,则a<b且a≠0,则a<b成立,
故“a<b”是“(a﹣b)a2<0”的必要不充分条件,
故选B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系进行判断即可.
4.已知a=log23﹣log2,b=log0.5π,c=0.9﹣1.1,则( )
A. c>a>b B. a>b>c C. a>c>b D. b>c>a
【答案】A
【解析】
【分析】
将数据与0或者1进行比较,从而区分大小.
【详解】∵a=log2log23∈(,1),
b=log0.5π<0,
c=0.9﹣1.1>1.
∴c>a>b.
故选:A.
【点睛】本题考查指数式,对数式的比较大小,一般地,我们将数据与0或者1进行比较,从而区分大小.
5.正整数的排列规则如图所示,其中排在第i行第j列的数记为,例如=9,则等于( )
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中已知数据,进行归总结,得到一般性结论,即可求得结果.
【详解】根据题意,第1行第1列的数为1,此时1=1,
第2行第1列的数为2,此时1=2,
第3行第1列的数为4,此时1=4,
……
据此分析可得:第64行第1列的数为1=2017,则=2020;
故选:C.
【点睛】本题考查归纳推理能力,要善于发现数据之间的规律,属基础题.
6.双曲线的左右焦点分别为、,渐近线为,点在第一象限内且在上,若则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:分别求得双曲线的两条渐近线的方程,设出点P的坐标,根据直线的斜率公式,求得直线的斜率及直线的斜率,根据直线平行及垂直的关系,即可求得
的关系,根据双曲线的离心率公式,即可求得双曲线的离心率.
详解:设双曲线渐近线的方程为, 的方程为,
则设点坐标为,
则直线的斜率,直线的斜率,
由,则,即(1)
由,则,解得(2),
联立(1)(2),整理得:,
由双曲线的离心率,
所以双曲线的离心率为2,故选B.
点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,在解题的过程中,需要先设出点P的坐标,利用两点斜率坐标公式,将对应的直线的斜率写出,再利用两直线平行垂直的条件,得到的关系,之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.
7.设函数f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|)的图象与直线y=2的两个相邻的交点之间的距离为π,且f(x)+f(﹣x)=0,若g(x)=sin(ωx+φ),则( )
A. g(x)在(0,)上单调递增 B. g(x)在 (0,)上单调递减
C. g(x)在(,)上单调递增 D. g(x)在(,)上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇偶性和周期性求得参数,再求的单调区间即可.
【详解】函数f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ).
由于函数的图象与直线y=2的两个相邻的交点之间的距离为π,所以T=π,解得ω=2.
由于f(x)+f(﹣x)=0,所以函数为奇函数.所以φkπ(k∈Z),由于|φ|,
所以当k=0时,φ.
所以g(x)=sin(2x).
令:(k∈Z),
解得:(k∈Z),
当k=0时,g(x)在(,)上单调递增.
故选:C.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解三角函数的解析式,以及正弦型三角函数的单调区间.
8.已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:不妨设,由图像知,所以,选D.
考点:函数图像
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在题中横线上.
9.已知i为虚数单位,z,则|z|=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过复数的除法,先计算出复数,再计算其模长即可.
【详解】∵z,
∴|z|.
故答案为:.
【点睛】本题考查复数的除法以及复数模长的计算,属基础题.
10.在某市“创建文明城市”活动中,对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图,但是年龄组为的数据不慎丢失,据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______.
【答案】160
【解析】
试题分析:设年龄在的志愿者的频率是,则有,解得,故区间内的人数是.
考点:频率分布直方图.
11.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.
【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,
然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,
故选派的方法为:.
故答案为.
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
12.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2ACAB,若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据四面体是球的内接四面体,结合位置关系,可得棱锥的形状,以及棱长之间的关系,利用体积公式即可代值计算.
【详解】设该球的半径为R,则AB=2R,2ACAB2R,
∴ACR,
由于AB是球的直径,所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:BC2=AB2﹣AC2=R2,
所以Rt△ABC面积SBC×ACR2,
又PO⊥平面ABC,且PO=R,四面体P﹣ABC的体积为,
∴VP﹣ABCRR2,即R3=9,R3=3,
所以:球的体积V πR3π×34π.
故答案为:.
【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算,属基础题;本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态,从而解决问题.
13.已知ab>0,a+b=3,则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据,巧妙配凑出1,使得均值不等式可以使用,再用均值不等式求解最小值.
【详解】∵ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.
则[(a+2)+(b+1)]
[a2+b2+2ab],
当且仅当b(b+1)=a(a+2),a+b=3,即,a时取等号.
故答案为:.
【点睛】本题考查均值不等式的使用,重点是1的配凑,属基础题.
14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,A(1,1),则的取值范围为___
【答案】[,]
【解析】
【分析】
用向量表示,将问题转化为求解向量夹角范围的问题,即可求解.
【详解】因为是单位圆的内接等边三角形,
故=
又因为
故
则.
故答案为:.
【点睛】本题用用向量求解范围问题,涉及到向量的数量积运算,属基础题.
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,c=3,又知bsinA=acos(B).
(Ⅰ)求角B的大小、b边的长:
(Ⅱ)求sin(2A﹣B)的值.
【答案】(Ⅰ)B,b;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(1)将已知条件利用余弦的差角公式展开,再利用正弦定理将边化角,整理后得到角,再利用余弦定理,求得边即可;
(2)由(1)中所求,结合正弦定理,即可求得,再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.
【详解】(Ⅰ)∵bsinA=acos(B).∴bsinA=a(cosBsinB),
∴由正弦定理可得sinBsinA=sinA(cosBsinB),∵sinA≠0,
∴sinBsinA=sinA(cosBsinB),可得sin(B)=0,
∵B∈(0,π),B∈(,),
∴B0,可得B.
∵a=2,c=3,
∴由余弦定理可得
b.
(Ⅱ)∵B,a=2,b.∴由正弦定理,
可得sinA,cosA,
sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cos2A﹣1,
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB.
【点睛】本题考查三角恒等变换,以及利用正余弦定理解三角形,涉及倍角公式,正余弦和差角公式,属综合性基础题.
16.为弘扬中华优秀传统文化,某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛.比赛规则:每个参赛者回答A、B两组题目,每组题目各有两道题,每道题答对得1分,答错得0分,两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩.小明估计答对A组每道题的概率均为,答对B组每道题的概率均为.
(Ⅰ)按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率;
(Ⅱ)记小明在比赛中的得分为ξ,按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见详解,
【解析】
【分析】
(1)分析满足题意的事件,然后分别计算出概率,再用概率加法公式计算即可;
(2)先根据题意求得ξ可取的值,再根据题意,分别求出概率,通过分布列计算数学期望即可.
【详解】(Ⅰ)设小明A组题得1分,B组题得0分为事件M,
A组题得2分,B组题得1分为事件N,
则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率:
P(M∪N)=P(M)+P(N)
.
(Ⅱ)由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0,1,2,3,4(单位:分)
则P(ξ=0)=(1)2(1)2,
P(ξ=1),
P(ξ=2),
P(ξ=3),
P(ξ=4)=()2()2,
∴ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
Eξ.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解,属基础题;此类题目要认真分析题意,搞清楚每个事件背后的具体情况,是重中之重.
17.已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和为Tn(n∈N*).
【答案】(Ⅰ)an=3n﹣2,bn=2n;(Ⅱ)Tn=(6n﹣7)•2n+4
【解析】
【分析】
(1)根据题意,用等差数列和等比数列的基本量解方程,从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式;
(2)根据通项公式的特点,选用错位相减法求数列的前项和.
【详解】(Ⅰ)由题意,设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则q>0.
故2q(1+q)=12,解得q=2,
由题意,得,解得.
∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2;bn=2•2n﹣1=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an•bn=(3n﹣2)•2n.
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1•2+4•22+…+(3n﹣2)•2n,①
2Tn=1•22+4•23+…+(3n﹣5)•2n+(3n﹣2)•2n+1,②
①﹣②,得﹣Tn=1•2+3•22+3•23+…+3•2n﹣(3n﹣2)•2n+1
=2+6•(2++…+2n﹣1)﹣(3n﹣2)•2n+1
=2+6•(3n﹣2)•2n+1
=(10﹣6n)•2n﹣10
∴Tn=(6n﹣10)•2n+10.
【点睛】本题考查用基本量求解数列的通项公式,以及错位相减法求解数列的前项和,属基础题.
18.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,平面ADE⊥平面CDEF,∠ADE=60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=4,点G是棱CF上的动点.
(Ⅰ)当CG=3时,求证EG∥平面ABF;
(Ⅱ)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为,求线段CG的长.
【答案】(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(1)通过证明直线AB∥EG,从而由线线平行推证线面平行;
(2)过A作DE垂线AO,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量以及直线的方向向量,从而求解线面角的正弦值;
(3)由(2)中所建的直角坐标系,根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值,求得G点的坐标,即可求得CG的长度.
【详解】(Ⅰ)证明:由已知得CG∥DE且CG=DE,
故四边形CDEG为平行四边形,
∴CD∥EG,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,∴AB∥EG,
又EG⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,
∴EG∥平面ABF.
(Ⅱ)过点A作AO⊥DE交DE于点O,过点O作OK∥CD交CF于点K
由(1)知平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE,AO⊂平面ADE,
∴AO⊥平面CDEF,∵CD⊥DE,∴OK⊥DE,以O为原点建立如图的空间直角坐标系,
则D(0,﹣1,0),E(0,2,0),C(3,﹣1,0),
F(3,3,0),,D(0,﹣1,0),
∴
设平面ABCD的法向量为,
即,令z=﹣1,则,
,
∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为,
(Ⅲ)由题意得,G(3,4λ﹣1,0).
∴,
设平面AEG的法向量为,即,
令y=3,则,x=3﹣4λ,
∴,
容易得平面AED的法向量为,
故可得,
解得,
∴,∴|CG|=λ|CF|=4λ,
∵|CG|≤4,
∴.
【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,以及由向量法求解线面角,利用二面角的大小求解线段的长度,属综合性中档题;本题的难点在于坐标系的选择.
19.已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据,两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知C经过,两点.另外由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程;(2)先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l:(),将代入,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1x2,进而表示出,根据列出等式表示出和的关系,从而判断出直线恒过定点.
试题解析:(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.
又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此,解得.
故C方程为.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).
则,得,不符合题设.
从而可设l:().将代入得
由题设可知.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
而
.
由题设,故.
即
解得.
当且仅当时,,欲使l:,即,
所以l过定点(2,)
点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.
20.已知函数.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)令,已知函数有两个极值点,且,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若存在,使不等式对任意(取值范围内的值)恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)求出导数,计算,由点斜式写出切线方程并整理成一般式;
(2)求出,由,可得有两个满足题意的不等实根,由二次方程根的分布可得的范围;
(3)由(2)求出两极值点,确定的单调性,得在单调递增,因此题设中使不等式成立,取为最大值,使之成立即可。化简为不等式对任意的恒成立,引入函数,由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件.
【详解】解:当时,
时,
在处的切线方程为
化简得:
对函数求导可得,
令,可得
,解得的取值范围为
由,解得
而在上递增,在上递减,在上递增
在单调递增
在上,
,使不等式对恒成立
等价于不等式恒成立
即不等式对任意的恒成立
令,则
①当时,在上递减
不合题意
②当时,
若,即时,则在上先递减
时,不能恒成立
若即,则在上单调递增
恒成立
的取值范围为
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的极值,研究不等式恒成立问题.解题关键是问题的转化,如函数有两个极值点,转化为相应方程有两个不等实根,不等式恒成立问题转化为研究函数的最值.对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高,难度很大,属于困难题.