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  • 2021-06-11 发布

天津市西青区2020届高三上学期期末考试数学试题

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天津市西青区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的括号内.‎ ‎1.若集合A={﹣1,0,1,2,3,5},集合B={2,3,4,5,6,7},则集合A∩B等于( )‎ A. {2} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {2,3,5,7}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交运算即可求得结果.‎ ‎【详解】因A={﹣1,0,1,2,3,5},B={2,3,4,5,6,7},‎ ‎∴A∩B={2,3,5}.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,属基础题.‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2﹣c2,则tanC=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积公式,以及余弦定理对已知条件进行转化,再利用同角三角函数关系,将正余弦转化为正切,解方程即可求得.‎ ‎【详解】△ABC中,∵S△ABC,由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,‎ 且 2S=(a+b)2﹣c2,∴absinC=(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC),‎ 整理得sinC﹣2cosC=2,∴(sinC﹣2cosC)2=4.‎ ‎∴4,化简可得 3tan‎2C+4tanC=0.‎ ‎∵C∈(0,180°),∴tanC,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用,涉及同角三角函数关系,属基础题.‎ ‎3.设,,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】解:若a=0,b=1,满足a<b,但(a﹣b)a2<0不成立,‎ 若“(a﹣b)a2<0,则a<b且a≠0,则a<b成立,‎ 故“a<b”是“(a﹣b)a2<‎0”‎的必要不充分条件,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系进行判断即可.‎ ‎4.已知a=log23﹣log2,b=log0.5π,c=0.9﹣1.1,则(   )‎ A. c>a>b B. a>b>c C. a>c>b D. b>c>a ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数据与0或者1进行比较,从而区分大小.‎ ‎【详解】∵a=log2log23∈(,1),‎ b=log0.5π<0,‎ c=0.9﹣1.1>1.‎ ‎∴c>a>b.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查指数式,对数式的比较大小,一般地,我们将数据与0或者1进行比较,从而区分大小.‎ ‎5.正整数的排列规则如图所示,其中排在第i行第j列的数记为,例如=9,则等于( )‎ A. 2018 B. ‎2019 ‎C. 2020 D. 2021‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目中已知数据,进行归总结,得到一般性结论,即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意,第1行第1列的数为1,此时1=1,‎ 第2行第1列的数为2,此时1=2,‎ 第3行第1列的数为4,此时1=4,‎ ‎……‎ 据此分析可得:第64行第1列的数为1=2017,则=2020;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理能力,要善于发现数据之间的规律,属基础题.‎ ‎6.双曲线的左右焦点分别为、,渐近线为,点在第一象限内且在上,若则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:分别求得双曲线的两条渐近线的方程,设出点P的坐标,根据直线的斜率公式,求得直线的斜率及直线的斜率,根据直线平行及垂直的关系,即可求得 的关系,根据双曲线的离心率公式,即可求得双曲线的离心率.‎ 详解:设双曲线渐近线的方程为, 的方程为,‎ 则设点坐标为,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,‎ 由,则,即(1)‎ 由,则,解得(2),‎ 联立(1)(2),整理得:,‎ 由双曲线的离心率,‎ 所以双曲线的离心率为2,故选B.‎ 点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,在解题的过程中,需要先设出点P的坐标,利用两点斜率坐标公式,将对应的直线的斜率写出,再利用两直线平行垂直的条件,得到的关系,之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.‎ ‎7.设函数f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|)的图象与直线y=2的两个相邻的交点之间的距离为π,且f(x)+f(﹣x)=0,若g(x)=sin(ωx+φ),则(   )‎ A. g(x)在(0,)上单调递增 B. g(x)在 (0,)上单调递减 C. g(x)在(,)上单调递增 D. g(x)在(,)上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和周期性求得参数,再求的单调区间即可.‎ ‎【详解】函数f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ).‎ 由于函数的图象与直线y=2的两个相邻的交点之间的距离为π,所以T=π,解得ω=2.‎ 由于f(x)+f(﹣x)=0,所以函数为奇函数.所以φkπ(k∈Z),由于|φ|,‎ 所以当k=0时,φ.‎ 所以g(x)=sin(2x).‎ 令:(k∈Z),‎ 解得:(k∈Z),‎ 当k=0时,g(x)在(,)上单调递增.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数的性质求解三角函数的解析式,以及正弦型三角函数的单调区间.‎ ‎8.已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:不妨设,由图像知,所以,选D.‎ 考点:函数图像 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分把答案填在题中横线上.‎ ‎9.已知i为虚数单位,z,则|z|=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过复数的除法,先计算出复数,再计算其模长即可.‎ ‎【详解】∵z,‎ ‎∴|z|.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法以及复数模长的计算,属基础题.‎ ‎10.在某市“创建文明城市”活动中,对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图,但是年龄组为的数据不慎丢失,据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______.‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设年龄在的志愿者的频率是,则有,解得,故区间内的人数是.‎ 考点:频率分布直方图.‎ ‎11.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.‎ ‎【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,‎ 然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,‎ 故选派的方法为:.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).‎ ‎12.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,‎2ACAB,若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四面体是球的内接四面体,结合位置关系,可得棱锥的形状,以及棱长之间的关系,利用体积公式即可代值计算.‎ ‎【详解】设该球的半径为R,则AB=2R,‎2ACAB2R,‎ ‎∴ACR,‎ 由于AB是球的直径,所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC,‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理,得:BC2=AB2﹣AC2=R2,‎ 所以Rt△ABC面积SBC×ACR2,‎ 又PO⊥平面ABC,且PO=R,四面体P﹣ABC的体积为,‎ ‎∴VP﹣ABCRR2,即R3=9,R3=3,‎ 所以:球的体积V πR3π×34π.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算,属基础题;本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态,从而解决问题.‎ ‎13.已知ab>0,a+b=3,则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,巧妙配凑出1,使得均值不等式可以使用,再用均值不等式求解最小值.‎ ‎【详解】∵ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.‎ 则[(a+2)+(b+1)] ‎ ‎[a2+b2+2ab],‎ 当且仅当b(b+1)=a(a+2),a+b=3,即,a时取等号.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查均值不等式的使用,重点是1的配凑,属基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,A(1,1),则的取值范围为___‎ ‎【答案】[,]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用向量表示,将问题转化为求解向量夹角范围的问题,即可求解.‎ ‎【详解】因为是单位圆的内接等边三角形,‎ 故=‎ 又因为 故 则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题用用向量求解范围问题,涉及到向量的数量积运算,属基础题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,c=3,又知bsinA=acos(B).‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小、b边的长:‎ ‎(Ⅱ)求sin(‎2A﹣B)的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)B,b;(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将已知条件利用余弦的差角公式展开,再利用正弦定理将边化角,整理后得到角,再利用余弦定理,求得边即可;‎ ‎(2)由(1)中所求,结合正弦定理,即可求得,再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)∵bsinA=acos(B).∴bsinA=a(cosBsinB),‎ ‎∴由正弦定理可得sinBsinA=sinA(cosBsinB),∵sinA≠0,‎ ‎∴sinBsinA=sinA(cosBsinB),可得sin(B)=0,‎ ‎∵B∈(0,π),B∈(,),‎ ‎∴B0,可得B.‎ ‎∵a=2,c=3,‎ ‎∴由余弦定理可得 b.‎ ‎(Ⅱ)∵B,a=2,b.∴由正弦定理,‎ 可得sinA,cosA,‎ sin‎2A=2sinAcosA,cos‎2A=2cos‎2A﹣1,‎ ‎∴sin(‎2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换,以及利用正余弦定理解三角形,涉及倍角公式,正余弦和差角公式,属综合性基础题.‎ ‎16.为弘扬中华优秀传统文化,某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛.比赛规则:每个参赛者回答A、B两组题目,每组题目各有两道题,每道题答对得1分,答错得0分,两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩.小明估计答对A组每道题的概率均为,答对B组每道题的概率均为.‎ ‎(Ⅰ)按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率;‎ ‎(Ⅱ)记小明在比赛中的得分为ξ,按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见详解,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分析满足题意的事件,然后分别计算出概率,再用概率加法公式计算即可;‎ ‎(2)先根据题意求得ξ可取的值,再根据题意,分别求出概率,通过分布列计算数学期望即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设小明A组题得1分,B组题得0分为事件M,‎ A组题得2分,B组题得1分为事件N,‎ 则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率:‎ P(M∪N)=P(M)+P(N)‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ)由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0,1,2,3,4(单位:分)‎ 则P(ξ=0)=(1)2(1)2,‎ P(ξ=1),‎ P(ξ=2),‎ P(ξ=3),‎ P(ξ=4)=()2()2,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解,属基础题;此类题目要认真分析题意,搞清楚每个事件背后的具体情况,是重中之重.‎ ‎17.已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣‎2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和为Tn(n∈N*).‎ ‎【答案】(Ⅰ)an=3n﹣2,bn=2n;(Ⅱ)Tn=(6n﹣7)•2n+4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,用等差数列和等比数列的基本量解方程,从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式;‎ ‎(2)根据通项公式的特点,选用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意,设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则q>0.‎ 故2q(1+q)=12,解得q=2,‎ 由题意,得,解得.‎ ‎∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2;bn=2•2n﹣1=2n.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an•bn=(3n﹣2)•2n.‎ ‎∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1•2+4•22+…+(3n﹣2)•2n,①‎ ‎2Tn=1•22+4•23+…+(3n﹣5)•2n+(3n﹣2)•2n+1,②‎ ‎①﹣②,得﹣Tn=1•2+3•22+3•23+…+3•2n﹣(3n﹣2)•2n+1‎ ‎=2+6•(2++…+2n﹣1)﹣(3n﹣2)•2n+1‎ ‎=2+6•(3n﹣2)•2n+1‎ ‎=(10﹣6n)•2n﹣10‎ ‎∴Tn=(6n﹣10)•2n+10.‎ ‎【点睛】本题考查用基本量求解数列的通项公式,以及错位相减法求解数列的前项和,属基础题.‎ ‎18.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,平面ADE⊥平面CDEF,∠ADE=60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=4,点G是棱CF上的动点.‎ ‎(Ⅰ)当CG=3时,求证EG∥平面ABF;‎ ‎(Ⅱ)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为,求线段CG的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ);(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过证明直线AB∥EG,从而由线线平行推证线面平行;‎ ‎(2)过A作DE垂线AO,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量以及直线的方向向量,从而求解线面角的正弦值;‎ ‎(3)由(2)中所建的直角坐标系,根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值,求得G点的坐标,即可求得CG的长度.‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明:由已知得CG∥DE且CG=DE,‎ 故四边形CDEG为平行四边形,‎ ‎∴CD∥EG,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴CD∥AB,∴AB∥EG,‎ 又EG⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,‎ ‎∴EG∥平面ABF.‎ ‎(Ⅱ)过点A作AO⊥DE交DE于点O,过点O作OK∥CD交CF于点K 由(1)知平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE,AO⊂平面ADE,‎ ‎∴AO⊥平面CDEF,∵CD⊥DE,∴OK⊥DE,以O为原点建立如图的空间直角坐标系,‎ 则D(0,﹣1,0),E(0,2,0),C(3,﹣1,0),‎ F(3,3,0),,D(0,﹣1,0),‎ ‎∴‎ 设平面ABCD的法向量为,‎ 即,令z=﹣1,则,‎ ‎,‎ ‎∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为,‎ ‎(Ⅲ)由题意得,G(3,4λ﹣1,0).‎ ‎∴,‎ 设平面AEG的法向量为,即,‎ 令y=3,则,x=3﹣4λ,‎ ‎∴,‎ 容易得平面AED的法向量为,‎ 故可得,‎ 解得,‎ ‎∴,∴|CG|=λ|CF|=4λ,‎ ‎∵|CG|≤4,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,以及由向量法求解线面角,利用二面角的大小求解线段的长度,属综合性中档题;本题的难点在于坐标系的选择.‎ ‎19.已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据,两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知C经过,两点.另外由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程;(2)先设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l:(),将代入,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1x2,进而表示出,根据列出等式表示出和的关系,从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析:(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.‎ 又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.‎ 因此,解得.‎ 故C方程为.‎ ‎(2)设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,‎ 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).‎ 则,得,不符合题设.‎ 从而可设l:().将代入得 由题设可知.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设,故.‎ 即 解得.‎ 当且仅当时,,欲使l:,即,‎ 所以l过定点(2,)‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求在处的切线方程;‎ ‎(2)令,已知函数有两个极值点,且,求实数的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若存在,使不等式对任意(取值范围内的值)恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导数,计算,由点斜式写出切线方程并整理成一般式;‎ ‎(2)求出,由,可得有两个满足题意的不等实根,由二次方程根的分布可得的范围;‎ ‎(3)由(2)求出两极值点,确定的单调性,得在单调递增,因此题设中使不等式成立,取为最大值,使之成立即可。化简为不等式对任意的恒成立,引入函数,由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件.‎ ‎【详解】解:当时,‎ 时,‎ 在处的切线方程为 化简得:‎ 对函数求导可得,‎ 令,可得 ‎,解得的取值范围为 由,解得 而在上递增,在上递减,在上递增 在单调递增 在上,‎ ‎,使不等式对恒成立 等价于不等式恒成立 即不等式对任意的恒成立 令,则 ‎①当时,在上递减 不合题意 ‎②当时,‎ 若,即时,则在上先递减 时,不能恒成立 若即,则在上单调递增 恒成立 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的极值,研究不等式恒成立问题.解题关键是问题的转化,如函数有两个极值点,转化为相应方程有两个不等实根,不等式恒成立问题转化为研究函数的最值.对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高,难度很大,属于困难题.‎

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