2018-2019学年湖南省邵东一中高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版） 8页

湖南省邵东一中 2018-2019 学年下学期高二年级期末考试试题 数学（理） 分值：150 分 时量：120 分钟 命题人：刘希凡 审题人：贺卫楚 一 选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选 项中,只有项是符合题目要求的。) 1、等差数列中 na 中， 1 5 410, 7a a a   ，则数列 na 的公差为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 2、三角形 ABC 中， 1, 3a b  ，∠A=30°，则∠B 等于( ) A、60° B、30°或 150° C、60°或 120° D、120° 3 已知命题 p:彐 x∈R,x2-x+1≥0,命题 q:若 a23x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”； ③命题“若 2 2 0x y  ,x R y R  ,则 0x y  ”的逆否命题为真命题； ④ (2 x xe e ） =2 。 A．1 B.2 C.3 D.4 6、与圆 2 2 1x y  及圆 2 2 8 7 0x y x    都外切的圆的圆心在（ ）。 A．一个圆上 B. 一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D.抛物线上 7、平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，若AC → ′＝xAB → ＋2yBC → －3zCC → ′，则 x＋y＋z＝ ( )。 A．1 B．7 6 C．5 6 D．2 3 8、已知点 P(x，y)的坐标满足条件 1 1 3 5 0 x y x x y         那么点 P 到直线 3x－4y－13＝0 的距 离的最小值为( )。 A. 2 B．1 C.9 5 D． 11 5 9、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为 f′(x)， 若不等式 f ′(x)≤0 的解集为{x|－2≤x≤3}，且 f(x)的极小值等于－196，则 a 的值是( )。 A．－81 22 B．1 3 C．5 D． 4 10、设 0 1x  ，a，b 都为大于零的常数，则 2 2 1 a b x x   的最小值为（ ）。 A． 2( )a b B． 2( )a b C. 2 2a b D． 2a 11、如图 F1、F2 分别是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1| 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB 是等边三角 形，则椭圆的离心率为( )。 A． 3 2 B．1 2 C． 2 2 D． 3－1 12、已知函数 ln(2 )( ) xf x x  ，关于 x的不等式 2 ( ) ( ) 0f x af x  只有两个整数解， 则实数a的取值范围是（ ） A． 1 ,ln 23      B． 1ln 2, ln 63      C． 1ln 2, ln 63      D． 1 ln 6,ln 23      二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、设曲线 y＝3x－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程 。 14、已知 (1 ,2 1,0), (2, , )a t t b t t     ，则| |b a  的最小值为 。 15、 1 2 1 ( 1 | |)x x dx   = 。 16、直线l 与抛物线 xy 82  交于 BA, 两点，且l 经过抛物线的焦点 F ，已知 )8,8(A ，则 线段 AB 的中点到准线的距离为 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.(本小题 10 分) 已知数列 na 满足 1 1 ( )3n na a n N     ,且 3 1a  ①)求 1a 及 na ； (2)设 3log na nb  求数列 nb 的前 n 项和 nS 18.(本小题 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.且(b-c)2=a2—3bc (I)求角 A (Ⅱ)若 3, 1a b  求角 B 及△ABC 的面积 19.(本小题 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,AA1⊥AB， AB=3，BC=5. (l)求证:AA1⊥BC (II)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值: 20、（12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单 位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a x－3＋10(x－6)2， 其中 30. 参考答案 一、选择题 BCBDB CBADB DC 二、填空题 13、 14、 15、 16、 三、解答题 17.(本小题 10 分) 解：（1） nn aa 2 1 1  ，且 13 a ， 01 a ， 数列{ na }是公比为 3 1 的等比数列， 1)3 1( 2 13  aa ， 91 a ， 31 )3 1()3 1(9   nn na ……………………5 分 （2）由（1）知 nbn  3 ， 11  nn bb ，又 21 b ， 数列 }{ nb 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 2 5 2 )32( 2 nnnnSn  ………………………………………………10 分 18.(本小题 12 分) 解：（1） bcacb 3) 22 （ ,即 bcacb  222 在 ABC 中，由余弦定理得 2 1 2cos 222  bc acbA 又  A0 ， 3 2 A ……………………………………………………5 分 （2）在 ABC 中，由正弦定理得 A a B b sinsin  ，即 3 2sin 3 sin 1  B ， 2 1sin  B ， 又 20  B ， 6  B ， 6 C ， 6sin132 1 ABCS 4 3 …10 分 19. (本小题 12 分) 解：（1）证明： AA1C1C 是边长为 4 的正方形， ACAA  1 ， 又 ABAA 1 ， AABAC  ，  1AA 平面 ABC ，  AA1⊥BC………………………4 分 （2）在 ABC 中，有 222 BCACAB  ， ACAB  分别以 1,, AAACAB 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 )0,0,3(),4,4,0(),4,0,0( 11 BCA ， )4,0,3(),0,4,0( 111  BACA ， 设平面 11BCA 的法向量为 ),,( 1111 zyxn  ，则      043 04 11 1 zx y ， 取 41 x ，则 )3,0,4(1 n ，同理得平面 11BBC 的法向量 )0,3,4(2 n 设二面角 111 BBCA  的平面角为 ，则 25 16 |||| cos 21 21    nn nn ……………10 分 20、解：(1)∵x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2，------------------3 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y＝ 2x－3＋10(x－6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)2，30，函数 f(x)在(3，4)上递增； 当 40，故 f(x)单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则 a＝ 2或 a＝－ 2. 若 a＝ 2，x∈(－ 2，＋∞)，f′(x)＝（ 2x＋1）2 x＋ 2 . 当 x＝－ 2 2 时，f′(x)＝0，当 x∈ － 2，－ 2 2 ∪ － 2 2 ，＋∞ 时，f′(x)>0，所以 f(x)单调递增． 若 a＝－ 2，x∈( 2，＋∞)，f′(x)＝（ 2x－1）2 x－ 2 >0，f(x)单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即 a> 2或 a<－ 2， 则 2x2＋2ax＋1＝0 有两个不同的实根 x1＝－a－ a2－2 2 ，x2＝－a＋ a2－2 2 . 当 a<－ 2时，x1<－a，x2<－a，从而 f′(x)在 f(x)的定义域内没有零点，故 f(x)单调递 增． 当 a> 2时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在 f(x)的定义域内有两个不同的零点， 即 f(x)在定义域上不单调．综上：实数 a 的取值范围为 a≤ 2. 6 分 (2)因为 g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)， 当 a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当 a＝2 时，g(x)>0. 当 a＝2 时，函数 g′(x)＝ex－ 1 x＋2 在(－2，＋∞)上单调递增， 又 g′(－1)<0，g′(0)>0，故 g′(x)＝0 在(－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且 x0∈(－1， 0)， 当 x∈(－2，x0)时，g′(x) <0，当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当 x＝x0 时，g(x) 取得最小值 g(x0)． 由 g′(x0)＝0 得 ex0＝ 1 x0＋2 ，ln(x0＋2)＝－x0， 故 g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝ 1 x0＋2 ＋x0＝x20＋2x0＋1 x0＋2 ＝（x0＋1）2 x0＋2 >0，所以 g(x)≥g(x0)>0. 综上，当 a≤2 时，g(x)>0. 12 分