数学理卷·2018届山东省潍坊市高三上学期期中考试（2017 12页

理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，那么（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3.函数的零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.下列函数为奇函数且在上为减函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.在平面直角坐标系中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边关于轴对称，已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知，，且则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为的扇形，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数，以下结论错误的是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．在直线与曲线的交点中，两交点间距离的最小值为 ‎ ‎9.函数与（且）在同一坐标系中的图象可能为（ ）‎ ‎10.是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的图象关于对称 B．有最大值1‎ C．在上有5个零点 D．当时， ‎ ‎11.在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.锐角三角形中，，，则面积的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.则 ．‎ ‎14.已知单位向量，向量，且，则 ．‎ ‎15.已知，，则 ．‎ ‎16.如图所示，直平行六面体中，为棱上任意一点，为底面（除外）上一点，已知在底面上的射影为，若再增加一个条件，就能得到，现给出以下条件：‎ ‎①；②在上；③平面；④直线和在平面的射影为同同一条直线．‎ 其中一定能成为增加条件的是 ．（把你认为正确的都填上）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知集合，集合；：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ ‎18.中，内角、、所对的边分别为、、，，为边上靠近点的三等分点．记向量，，且．‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）设，，若存在正实数，，使向量与向量垂直，求的最小值．‎ ‎19.已知函数（）在上具有单调性，且．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值．‎ ‎20.如图，在三棱锥中，平面，，．　‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值．‎ ‎21.现有一块大型的广告宣传版面，其形状如图所示的直角梯形．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）．已知，，其中曲线段是以为顶点，为对称轴的抛物线的一部分．‎ ‎（1）求线段，线段，曲线段所围成区域的面积；‎ ‎（2）求厂家广告区域的最大面积．‎ ‎22.设函数，．‎ ‎（1）求函数 的最大值；‎ ‎（2）判断函数零点的个数，并说明理由；‎ ‎（3）记函数在的零点为，设，，其中表示，中的较小者，若在区间上存在，使且，证明：．‎ 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.或 15. 16.①③④‎ 三、解答题 ‎17.解：由得：，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵是的必要不充分条件，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，经检验符合题意，‎ ‎∴取值范围为．‎ ‎18.解：（1）∵，∴w，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎△中，由余弦定理得，∴，‎ ‎△中，，，‎ 由余弦定理得，∴；‎ ‎（2）△中，，，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，当且仅当，时取“”，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎19.解：（1）‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴（），‎ ‎∵在上单调，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，，∴，又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．　‎ ‎（2）由（1）知，将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位，得到 的图象，所以，‎ ‎∵，∴，‎ 当，即时，；‎ 当，即时，．‎ ‎20.（1）证明：三棱柱的侧面中，，‎ ‎∴四边形为菱形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）解：在平面内作于，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面，又平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴点到平面的距离为，又，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 取线段的中点，‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴，因此，‎ 以，，所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，，，，∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则所以令，则，‎ ‎∴，‎ 同理可得平面的法向量，‎ ‎∴，‎ 由图观察可知二面角的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎21.解：（1）以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，‎ 曲线段的方程为（），‎ 直线：，‎ 线段与，曲线段所围成区域的面积：‎ ‎．‎ ‎（2）设点，则需，∴，‎ 则，，，‎ ‎∴，，，‎ 则厂家广告区域的面积为 ‎，‎ ‎∴，‎ 令，得，，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴厂家广告区域的面积最大值是．‎ ‎22.解：（1），‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以为的极大值点，也是最大值点，故．‎ ‎（2）由于，，‎ 当时，，，∴，‎ 故当时，无零点，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 又，，‎ 故在上有唯一零点．‎ ‎（3）由（2）知存在唯一的，使且当时，；当时，，‎ 故 当时，，‎ ‎∵，‎ 由（1）可知，在上单调递减，‎ 又时，，，‎ 故在单调递增，‎ 因此，∴，‎ 要证：，只需证明：，‎ 因为在单调递减，‎ 故只需证明：，又，‎ 只需证明：，‎ 也即证：，，‎ 设，‎ ‎，由（1）知，‎ 所以，‎ 因此，，‎ 故在单调递增，‎ 因此，‎ 所以，‎ 即，‎ 综上，．‎