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- 2021-06-11 发布
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2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第八章 立体几何
第03节 空间点、线、面的位置关系
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。)
1.【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
2.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【答案】C
【解析】
由题意知,.故选C.
3.下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 “若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α”是错误的,因为直线l可与平面α相交.“若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行”是错误的,因为直线l可与平面α内的直线成异面直线.“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行”是错误的,因为另一条直线可能在平面内.“若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任一条直线都没有公共点”是正确的,因为直线l与平面α平行,则直线l与平面α没有公共点.综上可知应选B.
4. 已知两直线m,n及两个平面α,β,给出下列四个命题,正确的命题是( ).
A. 若m∥α,n∥α则m∥n B. 若α⊥β,m⊥α,n⊥β则m⊥n
C. 若α⊥β,m∥β则m⊥α D. 若α∥β,m∥α则m∥β
【答案】B
5.【2017年福建省数学基地校】已知、是两条不同直线, 、为两个不同平面,那么使成立的一个充分条件是( )
A. , B. ,
C. , , D. 上有不同的两个点到的距离相等
【答案】C
【解析】对于A,直线可能位于平面内;所以不能由A推出;对于B,直线可能位于平面内;所以不能由B推出;对于D,当直线与平面
相交时,显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面的距离相等.
故选C
6.【浙江省嘉兴市高三教学测试】已知直线,m和平面,下列命题正确的是( )
A.若则 B.若则
C.若 则 D.若 则
【答案】D
【解析】选项A是错误的,因为线面平行不一定能推出线线平行,根据线面平行的判断,选项B也是错误的,需要增加条件,根据线面垂直的判断可知选项C是错误的,选项D是正确的,因为线面垂直可以得到线线垂直(线面垂直的性质定理).
7. 设为空间不重合的直线, 是空间不重合的平面,则下列说法准确的个数是( )
①//,//,则//;
②,,则//;
③若;
④若∥, , ,则∥;
⑤若
⑥,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】试题分析:①显然正确;②可能相交;③l可能在平面内;④l可能为两个平面的交线,两个平面可能相交;⑤可能相交;⑥显然正确,故选C.
8.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
【答案】 C
【解析】 A中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;B中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;C中,若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC;D中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.
9. 如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( ).
A. BD∥平面CB1D1
B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 异面直线AD与CB1角为60°
【答案】D
故选D.
10.【温州市十校联合体期末联考】空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF= ,则异面直线AD,BC所成的角为( )
A.30° B. 60° C.90° D.120°
【答案】B
【解析】设G为AC的中点,由已知中AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=
,根据三角形中位线定理,我们易求出∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角),解三角形EGF即可得到答案.
11.【安徽蚌埠市高二期末】在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
12. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是( ).
A. AC⊥BE B. EF∥平面ABCD
C. 三棱锥A-BEF的体积为定值 D. △AEF的面积与△BEF的面积相等
【答案】D
【解析】试题分析:连接,则,所以平面,则,故A正确;因为平面,所以平面,故B正确;因为三棱锥A-BEF的底面是底边为,高为棱长的三角形,面积为,三棱锥的高为点到平面的距离,所以三棱锥A-BEF的体积是定值,故C正确;显然ΔAEF的面积与ΔBEF的有相同的底边,且到的距离是棱长1,且到的距离是,即两三角形的面积不相等,故D错误;
;故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)
13.【2016高考浙江文数】如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△,直线AC与所成角的余弦的最大值是______.
【答案】
【解析】
试题分析:设直线与所成角为.
设是中点,由已知得,如图,以为轴,为轴,过与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,由,,,作于,翻折过程中,始终与垂直, ,则,,因此可设,则,与平行的单位向量为,
所以=,所以时,取最大值.
14.下列命题中不正确的是________.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
【答案】①②
15. 【北京市朝阳区高三第一次综合练习】如图,在四棱锥中,底面.底面为梯形,,∥,,.若点是线段上的动点,则满足的点的个数是 .
【答案】
【解析】由于底面,在底面上射影为,由三垂线定理,,只要即可,由平面几何知识可知,以为直径的圆与有两个交点,故满足条件的点的个数是.
16.【2017届福建闽侯县二中高三上期中】如图,正方体的棱长为1,是的中点,则下列四个命题:
①直线与平面所成的角等于45°;
②四面体在正方体六个面内的投影图形面积的最小值为;
③点到平面的距离是;
④与所成的角为.
其中真命题的序号是____________.
【答案】①②④
【解析】
试题分析:①与面所成的角即为,∴①正确;②在四个面上的投影或为正方形或为三角形,最小为三角形面积为,∴②正确;③,,∴到面的距离等于到面的距离为,∴③不正确;④与所成的角即为与所成的角,即,,,,.∴,故与所成的角为,∴④正确.故答案为:①②④.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分10分)如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K,求证:M、N、K三点共线.
【答案】证明见解析.
18.(本题满分12分)【2017届河南省豫北重点中学高三4月联考】如图,四棱柱中, 平面, , , 为的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若, ,求证:平面平面.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)分别取的中点,连结,可证明四边形是平行四边形,所有 又根据中,中位线的性质, ,根据平行线的传递性可知;(Ⅱ)根据条件可证明,所有平面,即,也可证明,所有平面,即证明了平面平面.
试题解析:(Ⅰ)分别取中的中点为,并连接,
则由, 得, , ,
可得四边形为平行四边形,那么, ,又,
,
所以,且,得四边形是平行四边形,
可得,又,所以.
(Ⅱ)取中点,连接,则,
可得,则,
即, ,那么,又,
得平面,那么,由,
得,又,那么,
同理, ,即得,可得平面,
即得平面平面.
19.(本题满分12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.
(Ⅰ)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?并说明理由;
(Ⅱ)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈,这样的直线有几条,应该如何作图?
【答案】见解析.
【解析】(Ⅰ)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线,如图(a).
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线BD.
图(a)
(Ⅱ)∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,
如图(b).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈
当α=时,这样的直线m有且只有一条,当α≠时,这样的直线m有两条.
图(b)
20. (本题满分12分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.
(1)当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF,判断BM与EF的位置关系,说明理由;并求BM与EF所成的角的余弦值.
【答案】 (1) 点M为AC的中点;(2).
【解析】 (1)方法一:如图(1)所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC,所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC=2FB=2,所以OM∥FB∥EC且OM=EC=FB,所以四边形OMBF为矩形,BM∥OF.因为OF⊂平面AEF,BM⊄平面AEF,故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.
方法二:如图(2)所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,因为EC=2FB=2,所以PE綊BF,所以PQ∥AE,PB∥EF,所以PQ∥平面AFE,PB∥平面AEF,因为PB∩PQ=P,PB,PQ⊂平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.
(2)由(1)知,BM与EF异面,∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF=EF=,MB=OF=,OF⊥AE,所以cos∠OFE===,所以BM与EF所成的角的余弦值为.
21. (本题满分12分)【2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分别是棱PA,CD的中点.
(1)求证:PC∥平面BMN;
(2)求证:平面BMN⊥平面PAC.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与证明,往往需结合平面几何条件,如本题利用三角形中位线性质定理得MO∥PC(2)证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,需多次利用线面垂直的判定与性质定理:先由平行四边形ABCN为菱形得BN⊥AC,再由PC⊥平面PAD得PC⊥AD,即BN⊥PC,从而得BN⊥平面PAC
试题解析:(1)设AC∩BN=O,连结MO,AN,因为AB=12CD,AB∥CD,N为CD的中点,
所以AB=CN,AB∥CN,所以四边形ABCN为平行四边形,所以O为AC的中点,所以MO∥PC
又因为MO⊂平面BMN,PC⊄平面BMN,所以PC∥平面BMN.
(2)(方法一)因为PC⊥平面PDA,AD⊂平面PDA
所以PC⊥AD,由(1)同理可得,四边形ABND为平行四边形,所以AD∥BN,所以BN⊥PC
因为BC=AB,所以平行四边形ABCN为菱形,所以BN⊥AC,因为PC∩AC=C
AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,所以BN⊥平面PAC
因为BN⊂平面BMN,所以平面BMN⊥平面PAC.
22. (本题满分12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为403.
(1)求证:EF//平面A1BC1;
(2)求A1A的长;
(3)在线段BC1上是否存在点P,使直线A1P与C1D垂直,如果存在,求线段A1P的长,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】试题分析:(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立;(2)利用等体积转化,求出;(3)在平面中作,过作,推出,证明,推出相似于,求得.
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于,过作QP//CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,∴C1D⊥A1D1,而
QP//CB,CB//A1D1,∴QP//A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P⊂平面A1PQC1,∴A1P⊥C1D,
∵ΔD1C1Q∼RtΔC1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,∴C1Q=1,又∵PQ//BC,∴PQ=14BC=12.
∵四边形A1PQD1为直角梯形,且高D1Q=5,∴A1P=(2-12)2+5=292.......... 12分