【数学】甘肃省平凉市静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试试题（文） 11页

甘肃省平凉市静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数z与其共轭复数满足，则( )‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )‎ A．2x+y=0 B． C． D． ‎ ‎4．在区间内随机取两个数，则使得“命题‘，不等式成立’‎ 为真命题”的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若向量与平行，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段 的 中点到轴的距离为( )‎ A．4 B． C． D．‎ ‎7．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 A．若，则 ( )‎ B．若，则 C．若，则 ‎ D．若，则或 ‎ ‎8．已知函数y=f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知函数，，则的大小关 系为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元 前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光 就越暗。到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）‎ 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗 星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为 ‎,已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津 四”的倍，则与最接近的是（当较小时，） ( )‎ A．1.24 B．‎1.25 ‎ C．1.26 D．1.27 ‎ ‎11．已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前项和，则的值为( )‎ A． B． C． D．0 ‎ ‎12．已知函数，若函数有4个零点，则实数 m的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划 采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本，若从高一、高二、‎ 高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为 ‎_____________ .‎ ‎14．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ .‎ ‎15．等差数列的前n项和为，,则_____________.‎ ‎16．在三棱锥中，，点到底面 的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是_________.‎ 三、 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，‎ 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分)‎ ‎17．(12分)‎ 某年级教师年龄数据如下表：‎ 年龄(岁)‎ 人数(人)‎ ‎22‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎2‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名教师年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；‎ ‎(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．‎ ‎18．（12分）‎ 在锐角△ABC中，,.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)求△ABC的周长l的范围．‎ ‎19．(12分)‎ 如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎20．（12分）‎ 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式 在定义域内恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A D A C C A C A C B D 二、填空题：‎ ‎13.700 14.22 15. 16.5 ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解：(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18. 4分 ‎(Ⅱ) 8分 ‎(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝. 12分 ‎18．解：（1）∵cos A(2b-c)＝acos C ‎ ‎ ‎. .........6分 ‎（2） .........8分 ‎ ........10分 ‎ .........11分 ‎. .........12分 ‎19.解法一：（Ⅰ）四边形是正方形， ‎ ‎,‎ 又, , ，‎ ‎， 2分 又，‎ ‎， 3分 在中，，‎ 由余弦定理得，，,. 4分 又, ‎ ‎. 5分 又 ‎. 6分 ‎（Ⅱ）连结,由（Ⅰ）可知，，‎ 四边形是正方形 ‎ 又，‎ A到的距离等于B到的距离. 即B到面DFC的距离为AE.‎ ‎ 7分 在直角梯形EFCD中， , ‎ ‎, 8分 ‎, 9分 在直角梯形EFBA中， ‎ 可得在等腰中，，‎ ‎, 10分 设点D到平面BFC的距离为d, ‎ ‎，即，‎ 点到平面的距离为． 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）过点E做连结.‎ ‎, , ‎ ‎, 在中， ， 7分 又, ，‎ E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离 8分 ‎． 9分 在直角梯形EFBA中， ‎ ‎, ,可得 ‎ 10分 设D点到平面BFC的距离为d, ‎ 即= ，‎ 点到平面的距离．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 解：（1）由题意知，， （4分）椭圆的标准方程为：. （4分）‎ ‎（2）设联立，消去，得： ‎ ‎（5分）‎ 依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，‎ 由（*）式，②，得 ③ ，‎ 由①②③， （8分）‎ 由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即. ‎ ‎.即 （10分）‎ 整理得，解得. 12分 ‎21．解：(1)由f(x)=lnx-ax, 得f’(x)=, 设切点横坐标为x0, ‎ 得3分 ‎ 解之得 即实数a的值为1。 5分 ‎（2）由(x+1)f(x)=(x+1)(lnx-ax)≤lnx-在定义域内恒成立。‎ 得在定义域内恒成立。 7分 令g(x)= (x>0) g’(x)= ‎ 再令h(x)= h’(x)= ‎ 所以h(x)在（0，+∞）递减， 又h(e)=0. 9分 当x∈(0,e) h’(x)>0, h(x)在（0，e）上递增 当x∈(e,+∞), h’(x)<0, h(x)在(e,+∞)上递减。‎ 所以g(x)在x=e处取得最大值g(e)= 11分 所以a≥ 12分 ‎22.解：（1）因为直线，故，‎ 即直线的直角坐标方程为.……………2分 因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即.………4分 ‎（2）设直线的参数方程为（为参数），‎ 将其代入曲线的直角坐标系方程得.‎ 设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分 所以M对应的参数，……………8分 故……………10分 ‎23.解：（1）不等式可化为，‎ 当时，，，所以无解；……………1分 当时，，所以；……………2分 当时，，，所以.……………3分 综上，不等式的解集是.……………5分 ‎（2），‎ 又，使得恒成立，则，……………8分 ‎，解得.‎ 所以的取值范围为.……………10分