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- 2021-06-11 发布
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[基础题组练]
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:选A.设圆心为(0,a),
则=1,
解得a=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A.
2.方程|x|-1=所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个圆
C.半个圆 D.两个半圆
解析:选D.由题意得即或
故原方程表示两个半圆.
3.(2020·金华十校联考)已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( )
A.3x+y-5=0 B.x-2y=0
C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0
解析:选D.直线x-2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,-1),该直径所在直线的斜率为-2,所以该直径所在的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.故选D.
4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )
A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8
解析:选A.直线x-y+1=0与x轴的交点为即(-1,0).
根据题意,圆心为(-1,0).
因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d==,
则圆的方程为(x+1)2+y2=2.故选A.
5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是( )
A.1+ B.2
C.1+ D.2+2
解析:选A.将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+1=+1,选A.
6.(2020·杭州八校联考)圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是( )
A.2 B.
C.4 D.
解析:选D.由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,因为圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,所以该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,所以a+3b=3(a>0,b>0).所以+=(a+3b)=≥=,当且仅当=,即a=b时取等号,故选D.
7.圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3), 若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为________.
解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|得
(a+1)2+12=(a-1)2+32,所以a=2.
半径r=|CA|==.
故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
由题意知(m-2)2+()2<10,解得00得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x+2y-4=0得x=4-2y;将x=4-2y代入x2+y2-2x-4y+m=0得5y2-16y+8+m=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为OM⊥ON,所以·=-1,即x1x2+y1y2=0.因为x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.
(3)设圆心C的坐标为(a,b),则a=(x1+x2)=,b=(y1+y2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为+=.
6.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为坐标原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
解:(1)证明:因为圆C过原点O,所以OC2=t2+.
设圆C的方程是 (x-t)2+=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
所以S△OAB=OA·OB=×|2t|×||=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)因为OM=ON,CM=CN,
因为OC垂直平分线段MN.
因为kMN=-2,所以kOC=.
所以=t,解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,
此时,C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离
d=>.圆C与直线y=-2x+4不相交,
所以t=-2不符合题意,舍去.
综上圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.