【数学】2018届一轮复习人教A版函数的奇偶性与周期性教案 12页

‎　‎ ‎1.了解函数奇偶性的含义．‎ ‎2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．‎ ‎3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．‎ 知识点一 函数的奇偶性 ‎ 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于____对称 答案 f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点 ‎1．(必修①P39习题1.3B组第3题改编)‎ 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　)‎ A．y＝－x3，x∈R B．y＝sinx，x∈R C．y＝x，x∈R D．y＝x，x∈R 解析：选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.‎ 答案：A ‎2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，∴a－1＋‎2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.‎ 答案：B ‎3．(必修①P‎39A组第6题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.‎ 答案：A 知识点二 周期性 ‎ ‎1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．‎ 答案 ‎1．f(x＋T)＝f(x)　2.最小　最小正数 ‎4．判断正误 ‎(1)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为‎2a(a>0)的周期函数．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√‎ ‎5．(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00.‎ 从而有f(x)＝＝，‎ 这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ 故f(x)是奇函数．‎ ‎④已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．‎ 因为f(x)＝(x－1)＝－，‎ 所以f(－x)＝－＝f(x)．‎ 即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．‎ ‎【答案】　(1)D ‎【总结反思】‎ ‎1．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．‎ ‎2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.‎ ‎(1)下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．f(x)＝2x－ B．f(x)＝x3sinx C．f(x)＝2cosx＋1 D．f(x)＝x2＋2x ‎(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．‎ 解析：(1)对于A选项，函数的定义域为R.f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)，故A正确；对于B选项，函数的定义域为R，函数y＝x3是奇函数，函数y＝sinx是奇函数，该函数为偶函数；对于C选项，函数定义域为R，f(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝f(x)，f(x)为偶函数；对于D选项，由f(1)＝3，f(－1)＝，f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.‎ ‎(2)解：方法1：画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．‎ 方法2：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．‎ 答案：(1)A 热点二 函数周期性及应用 ‎ ‎【例2】　设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝________.‎ ‎【解析】　∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.‎ 又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，所以f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝‎ f(2)＝f(4)＝…＝f(2 016)＝0.‎ f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1.‎ 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.‎ ‎【答案】　1 008‎ ‎1．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？‎ 解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]‎ ‎＝－f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.‎ 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.‎ ‎2．若将“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝”，则结论如何？‎ 解：∵f(x＋1)＝，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.‎ 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1 008.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．‎ ‎(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.‎ ‎(1)(2017·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意 x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.‎ ‎(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．‎ 解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，所以有f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 017)＝f(1)＝2.‎ ‎(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，所以＝－a＋1，即‎3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－‎2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，‎ 从而a＋3b＝－10.‎ 答案：(1)2　(2)－10‎ 热点三 函数奇偶性的应用 ‎ 考向1　利用奇偶性求值 ‎【例3】　已知f(x)＝＋sinx，则f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值是____.‎ ‎【解析】　因为f(x)－1＝＋sinx是奇函数，所以f(－x ‎)－1＝－[f(x)－1]＝1－f(x)，故f(－x)＋f(x)＝2，且f(0)＝1，所以f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(－4)＋f(4)]＋[f(－3)＋f(3)]＋[f(－2)＋f(2)]＋[f(－1)＋f(1)]＋f(0)＝2×4＋1＝9.‎ ‎【答案】　9‎ 考向2　奇偶性与单调性的结合 ‎【例4】　(2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为(　　)‎ A．8 B．－8‎ C．0 D．－4‎ ‎【解析】　∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，又由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x ‎)的图象关于x＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选B.‎ ‎【答案】　B ‎【总结反思】‎ 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．－1 D．－2‎ ‎(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x ‎＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，‎ 则下列命题：‎ ‎①2是函数f(x)的周期；‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；‎ ‎③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析：(1)∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2.∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.‎ ‎(2)由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，‎ 则f(x)是以2为周期的周期函数，∴①正确．‎ 当－1≤x≤0时，0≤－x≤1.‎ f(x)＝f(－x)＝1＋x，‎ 函数y＝f(x)的图象如图所示，由图象知②正确，③不正确．‎ 当3