考点20 三视图与几何体的体积和表面积-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训 22页

2018 届高三数学 30 个黄金考点精析精训 考点 20 三视图与几何体的体积和表面积 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它 们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形 式． 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 5.会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式) 2.命题方向预测： 1.三视图是高考的热点和重点，几乎年年考． 2.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题． 3.主要考查由三视图还原几何体并求 表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、 填空题. 3.课本结论总结： 1.空间几何体的结构特征 多面体 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似 多边形. 旋转体 (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底 中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到 . (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的 形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 3.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤： (1)在已知图形中取 互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′ 轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°). (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别平行于 x′轴、y′轴. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半 . (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面，已 知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 4.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱 ) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥 ) S 表面积＝S 侧＋S 底 台体(棱台和圆台 ) S 表面积＝S 侧＋S 上＋ S 下 球 S＝4πR2 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底 面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱 均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边 形的中心． 4.名师二级结论： 　(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各 个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对 角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多 面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． 1V= Sh3 1V= (S +S + S S )h3 下 下上 上 34V= R3 π (1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过 已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三 棱锥的高．这 一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． (3)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直 线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系. （4）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构 成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积， 最后求出组合体的体积. 5.课本经典习题： （1）必修 2 第 27 页 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　　)． A． B． C．8－2π D. 【答案】A 【经典理由】糅合三视图与体积的求法于一个题，而且三视图中包含两个几何图形。 （2）必修 2 第 14 页 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【答案】B 28- 3 π 8- 3 π 2 3 π 【经典理由】考察长方体外接球，说明了求多面体外接球的一般方法. （3）必修 2 第 12 页 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)． A．8 B． C．10 D． 【答案】　C 【解析】　由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6, ，8,10，所以面积最 大的是 10，故选择 C. 【经典理由】考察学生空间想象能力，求各个三角形面积时要把各个三角形平面化。 6.考点交汇展示： (1)三视图与球体交汇 【2018 届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗 实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6 2 8 2 6 2 (2)三视图与体积、面积交汇 1. 【2016 年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥 ，其体积 ，故选 A. 1 6 1 3 1 2 1 P ABC− 1 1 11 1 13 2 6V = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2. 【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半 径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A (3)体积与基本不等式交汇 【2017 届湖北省襄阳市第四中学高三周考】 是 的直径，点 是 上的动点，过动点 的直线 垂直于 所在的平面， 分别是 的中点． 28 3 π 17π 18π 20π 28π AB O C O C VC O ,D E ,VA VC （1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由； （2）若已知 当三棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离． 【答案】（1） 面 ，理由见解析；（2） . 【解析】（1）证明： ， 面 ， 分别为 中点， ， 面 ． （说明：若只说明 与面 相交给 2 分） (4)体积与函数、导数交汇 【2016 高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ， 下部分的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高 的四倍. 1 1 1 1P A B C D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1PO DE VBC 2,AB VC= = V ABC− C VBA DE ⊥ VBC 55 2  ,VC ACAC BC⊥ ⊥ ∴ AC ⊥ VBC  ED、 VAVC、 ∴ / /DE AC ∴ DE ⊥ VBC DE VBC （1）若 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 【解析】（1）由 PO1=2 知 OO1=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6， 所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312（m3）. (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0 2 3 6h< < ' 0V < 2 3h = 1 2 3PO = 热点 1 三视图及形状的判断 1.【2018 届河南省新乡市第一中学高三 8 月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中 正确的是（ ） 【答案】B 【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为 B 中图形. 2.【2018 届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点 分别是正方体 的棱 的中点，用过点 和点 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正 （主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ） ,M N 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,A B A D , ,A M N 1, ,D N C A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【方法规律】 （1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图 一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐” (2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．(3)还要注意画直观图时长度的变化． 【解题技巧】 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长， 侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意 实、虚线的画法． 【易错点睛】 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 注意区分三视图中的实线和虚线. 注意投影在三视图中的应用 例 1：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) 【解析】选 B　由正视图与俯视图可以将选项 A、C 排除；根据侧视图，可以将 D 排除，注意正视图与俯 视图中的实线． 【易错点】不注意区分实线与虚线. 例 2：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　) 【易错点】没有正确理解投影. 热点 2 三视图及表面积 1 .【2018 届四川省成都市龙泉第二中学高三 10 月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表 面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为 1，高为 2， 故该几何体的表面积 3π 4π 2 4π＋ 3 4π＋ 12 2 2 3 42S π π π= × × + + × = +（ ） ， 故选 D. 2.【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的 面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解析】 3.【2018 届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为 6 的正四面体内部有一个可以 任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【方法规律】 1．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处 理． 2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现 几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面 积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面 积与底面圆的面积之和. 【解题技巧】 几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 【易错点睛】 (1)熟记常见图形的面积公式． (2)注意把直观图中的面积转换为平面图形的面积进行求解 例 1：一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形，原三角形的面积为________. 【解析】由斜二测画法，知直观图是边长为 1 的正三角形，其原图是一个底为 1，高为 的三角形，所 以原三角形的面积为 . 【易错点】不注意区分三视图和直观图． 例 2：已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 【解析】如图，构造正方体 ANDM—FBEC.因为三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 ，所以正方体 ANDM—FBEC 6 6 2 2 2 的棱长为 1.所以该正方体的外接球的半径为 . 易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外接球，所以三棱锥 A—BCD 的外接球的半径为 .所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 S 球＝4π ＝3π. 【易错点】不会用转换的思想把三棱锥 A—BCD 的外接球看成正方体 ANDM—FBEC 的外接球 热点 3 三视图及体积 1.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该 几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体 积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2. 【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 3 2 3 2 23( )2 90π 63π 42π 36π A． B． C． D． 【答案】A 3.【2017 课标 3，理 8】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该 圆柱的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 12 +π 32 +π 12 3 +π 32 3 +π π 3π 4 π 2 π 4 【方法规律】 1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面 和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解． 2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常 用的方法，应熟练掌握． 3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计 算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”. 【解题技巧】 求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 【易错点睛】 1． 熟记常见几何体的体积公式． 2． 三根据视图正确找出几何体的高. 例.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于 A． B ． C． D．3 2 3 3 3 6 3 【易错点】不能正确找出几何体的高. 【热点预测】 1.【2016 高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与 俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ） 【答案】B 【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选 B. 2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A． B． C． D．28π 36π 32π 40π 【答案】B 【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积 ,应选 B. 3.【2018 届南宁市高三联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱 锥 的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.【2017 届河南息县第一高级中学高三上段测三】如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几 何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,故选 C. 5.【2018 届广东省茂名市高三五大联盟学校 9 月联考】在长方体 中， ， ， πππ 363)42164(3 124 =××+++×=V 26 3 π+ 8 3 π+ 24 3 π+ 4 3 π+ =×××+××= 213 1221 2πV 24 3 π+ ，点 在平面 内运动，则线段 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体 的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三视图还原图像， 得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了， 所以 . 7.三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析可知球心在 的中点. 因为 ， ,所以 . 所以 .球的半径 .所以此球的表面积为 .故 A 正确. 8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A． B． C． D． 2π π22 3 π 2 3 π 21 2[ ( 1 ) 1] 23 3V ππ= × × × × = P ABC− PA ⊥ ABC AC BC⊥ 1AC BC= = 3PA = π5 π2 π20 π4 PB AC BC⊥ 1AC BC= = 2AB = 2 2 5PB PA AB= + = 5 2R = 24 5S Rπ π= = 1 2 1 3 2 3 【答案】C 【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为 ，高为 3 的三棱锥，由锥体的体积公式得 .选 C. 9.【20 17 年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我 国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有 求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三 十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 ，它实 际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么近似公式 ，相当于将圆锥体积公式中 的 近似取为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，若 ，则 ， ． 故选 B． 10.已知体积为 的长方体的八个顶点都在球 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中， 如果有两个面的面积分别为 、 ,那么球 的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3 2 1 3 333 2 2V = × × = L h V 21 36V L h≈ π 22 75V L h≈ π 22 7 25 8 157 50 355 113 2 21 1 3 12V r h L hπ π= = 22 75V L h≈ 1 2 12 75π = 25 8 π = 4 6 O 2 3 4 3 O 32 3 π 16 7 3 π 33 2 π 11 7 2 π 11.【2018 届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为 6 的正四面体内部有一个可以 任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得： , 所以 r= ，设正方体的最大棱长为 a，∴3 = ∴a= , 外接球的面积为 故选 B. 12.【2017 天津，理 10】已知一个正方体 的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这 个球的体积为 . 【答案】 【解析】设正方体边长为 ，则 ， 外接球直径为 . 13.已知直三棱柱 中， ，侧面 的面积为 ，则直三棱柱 外接球表面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设 ，则有 ，从而有其外接球的半径为 ，所以 其比表面积的最小值为 . 14.【2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底】体积为 的正三棱锥 的每个顶点都在半径 1 1 1ABC A B C− 090BAC∠ = 1 1BCC B 2 1 1 1ABC A B C− 4π 2BC m= 1 1BB m = 2 2 1 14R m m = + ≥ 4S π= 18 3 A BCD− 9 2 π a 2 26 18 3a a= ⇒ = 34 4 27 92 3 3, π π π3 3 8 2R a V R= = = = × = 为 的球 的球面上，球心 在此三棱锥内部，且 ，点 为线段 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________． 【答案】 R O O : 2:3R BC = E BD E O 9π