2019衡水名师原创文科数学专题卷：专题五《导数及其应用》 14页

‎2019衡水名师原创文科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题）‎ 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）‎ 考点15：定积分的计算（12题，16题）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）‎ ‎1.函数的导数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知，为的导函数，则的图像是（ ）‎ ‎3. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎4． 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5． 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6． 已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7． 已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9. 已知函数有唯一零点，则a=（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎10． 已知函数的定义域为,为函数的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）‎ A. ‎ ‎ B.‎ C ‎ ‎ D.‎ ‎11． 已知函数 在上的最大值为 ，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12． 已知，，为的导函数，若，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13． 已知函数，求曲线在点处的切线方程____________‎ ‎14． 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 .‎ ‎15． 若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 ．‎ ‎16． ‎ 如图，阴影部分的面积是_________．‎ 三.解答题（共70分）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知函数，其中为自然对数的底数，…．‎ ‎（Ⅰ）判断函数的单调性，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知函数，（）.‎ ‎（Ⅰ）记的极小值为，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数恒有，求的取值范围.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）当时，函数有最小值. 记的最小值为，求函数的值域.‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若是在定义域内的增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数（其中为的导函数）存在三个零点，求的取值范围.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数是的导数，为自然对数的底数），.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式及极值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】由题意得，函数的导数为.‎ ‎2．A ‎【解析】由题意得，，‎ 所以，所以函数为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当时，，当时，恒成立，故选A.‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】‎ ‎4．C ‎【解析】设切点为，则有，，，故选C.‎ ‎5．D ‎【解析】函数的导数，在点处的切线斜率为，切线方程为，设切线与相交的切点为，（），由的导数为可得，切线方程为，令，可得，由可得，且，解得由，可得，令 在递增，‎ 且，则有的根，故选D. ‎ ‎6．D ‎【解析】‎ 设，则.‎ 对恒成立，且.在上递增.‎ ‎7．D ‎【解析】，令即,由图可得，故函数单调减区间为，故选D.‎ ‎8．A ‎【解析】设 在定义域上单调递增，‎ 又∴不等式的解集为.‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】函数的零点满足，‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减，‎ 当时，，函数 单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 设 ，当时，函数取得最小值 ，‎ ‎10．B ‎【解析】令，则.因为当时，，即，所以，所以在上单调递增.又，，所以，‎ 所以, ，故为奇函数，所以在上单调递增，所以.即，故选B.‎ ‎11．B ‎【解析】，所以在上是增函数，上是减函数在上恒成立， 由知，，所以恒成立等价于在，时恒成立，令，有，所以在上是增函数，有，所以.‎ ‎12．C ‎【解析】∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，当且，即 时等号成立，故选C.‎ ‎13．‎ ‎【解析】，所以，切线方程为即 ‎14．‎ ‎【解析】因为函数，所以，因为在上存在单调递增区间，所以，即有解，令，则，则，所以当时，；当时，，当时，，所以.‎ ‎15．‎ ‎【解析】函数的定义域为，令，解得或（不在定义域内舍），所以要使函数在子区间内存在极值等价于，即，解得，答案为．‎ ‎16．‎ ‎【解析】由题意得，直线与抛物线，解得交点分别为和，抛物线与轴负半轴交点，设阴影部分的面积为，则 ‎．‎ ‎17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可知，，则，‎ ‎（i）当时，，函数为上的减函数，‎ ‎（ii）当时，令，得，‎ ② ‎，则，此时函数为单调递减函数；‎ ‎②若，则，此时函数为单调递增函数．………………(4分)‎ ‎（Ⅱ）由题意，问题等价于，不等式恒成立，‎ 即，恒成立，‎ 令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．………………(6分)‎ 由，‎ 当时，，所以函数在上单调递减，……………………………(8分)‎ 所以函数在的最大值为，‎ 故，不等式恒成立，实数的取值范围为．…………(10分)‎ ‎18．（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数的定义域是，.在定义域上单调递增。‎ ‎，得，所以的单调区间是，函数在处取极小值，‎ ‎ .‎ ‎，当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ 所以是函数在上唯一的极大值点，也是最大值点，所以.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)‎ ‎（Ⅱ）当时，，恒成立.‎ 当时，，即，即. ‎ 令，，，‎ 当时，，当，故的最小值为，‎ 所以，故实数的取值范围是. ‎ ‎，，，由上面可知恒成立,‎ 故在上单调递增，所以，‎ 即的取值范围是. ………………………………………………………………(12分)‎ ‎19．（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）f′(x)＝（x＞0），‎ 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝. ………………………………………(3分) ‎ ‎（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及x∈(0，e]得：‎ ①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，‎ 当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－. .....................(5分) ‎ ②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，‎ 所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，‎ 当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，‎ 所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a). ...................................(7分) ‎ 令h(a)＝G(t)＝－t，‎ 因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]. ...(11分)‎ 综上，h(a)∈[－，－1]. ...........................................(12分) ‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以函数的定义域为，且，‎ 由得即对于一切实数都成立.‎ 再令，则，令得.‎ 而当时，当时，‎ 所以当时取得极小值也是最小值，即.‎ 所以的取值范围是. ……………………………………(6分)‎ ‎（2）由（1）知，所以由得 ‎，整理得.‎ 令，则，‎ 令，解得或.‎ 列表得：‎ 由表可知当时，取得极大值；‎ 当时，取得极小值.‎ 又当时，，，所以此时.‎ 因此当时，；当时，；‎ 当时，；因此满足条件的取值范围是. ……（12分）‎ ‎21．（Ⅰ）；的极大值为，无极小值；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 令，得，‎ 即 ‎ 又，∴，‎ 从而 ‎ ‎∴，‎ 又在上递增，且，‎ ‎∴当时，；时，，‎ 故为极大值点，且 …………………………………………(4分)‎ ‎（Ⅱ）得，‎ ① 当时，在上单调递增，时，‎ 与相矛盾； ……………………………………………(5分)‎ ‎②当时， ，得：当时，，‎ 即，‎ ‎∴， 令，则，‎ ‎∴，，‎ 当时，，‎ 即当，时，的最大值为， …………………………(11分)‎ ‎∴的最大值为. …………………………(12分)‎ ‎22.‎