数学卷·2018届辽宁省朝阳市凌源市金鼎中学高二上学期期初数学试卷（理科） （解析版） 18页

‎2016-2017学年辽宁省朝阳市凌源市金鼎中学高二（上）期初数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（共12道题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|x＜1}，则M∩N等于（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，2） C．∅ D．（﹣∞，2）‎ ‎2．一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．3‎ ‎3．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a﹣3，2a]，则a+b的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎4．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（　　）‎ A． B． C． D．不确定 ‎5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎7．在等差数列{an}中a3+a11=40，则a4﹣a5+a6+a7+a8﹣a9+a10的值（　　）‎ A．84 B．72 C．60 D．48‎ ‎8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎9．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是（　　）‎ A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定 ‎11．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（　　）‎ A．15° B．75° C．105° D．75°或15°‎ ‎12．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC一定是（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 ‎　‎ 二.填空题（共4道题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=　　．‎ ‎14．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C=　　．‎ ‎15．已知数列{an}，an=kn﹣5，且a8=11，则a17=　　．‎ ‎16．函数y=3的值域是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=　　．‎ ‎18．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎19．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC，点E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面A1B1BA；‎ ‎（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎（i）用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设A为事件“编号为A5和A6‎ 的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎22．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间 ‎（Ⅱ）若sin2x+af（x+）+1＞6cos4x对任意x∈（﹣，）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省朝阳市凌源市金鼎中学高二（上）期初数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12道题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|x＜1}，则M∩N等于（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，2） C．∅ D．（﹣∞，2）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵M=（﹣2，2），N=（﹣∞，1），‎ ‎∴M∩N=（﹣2，1），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（　　）‎ A．2 B．3 C． D．3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理建立条件关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设45°角所对的边长为a，30°角所对的边长为b，‎ 则正弦定理得，‎ 即=，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a﹣3，2a]，则a+b的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】令定义域的两个端点互为相反数；令一次项系数为0；列出方程，求出a，b值，求出a+b的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数 ‎∴b=0；2a=3﹣a 解得a=1，b=0‎ ‎∴a+b=1‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（　　）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【考点】等差数列的性质；三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由题意可知2B=A+C，结合三角形的内角和可得B=，进而由诱导公式可得tan（A+C）=﹣tanB，可得答案．‎ ‎【解答】解：因为三角形的三个内角A、B、C成等差数列，‎ 所以2B=A+C，又由内角和知A+B+C=π，可得B=，‎ 所以tan（A+C）=tan（π﹣B）=﹣tan=﹣‎ 故选B ‎　‎ ‎5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ ‎∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，‎ ‎∴a2≤b2+c2﹣bc，‎ ‎∴bc≤b2+c2﹣a2‎ ‎∴cosA=≥‎ ‎∴A≤‎ ‎∵A＞0‎ ‎∴A的取值范围是（0，]‎ 故选C ‎　‎ ‎7．在等差数列{an}中a3+a11=40，则a4﹣a5+a6+a7+a8﹣a9+a10的值（　　）‎ A．84 B．72 C．60 D．48‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式求出a7=20，由此能求出a4﹣a5+a6+a7+a8﹣a9+a10的值．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中a3+a11=40，‎ ‎∴a3+a11=2a7=40，解得a7=20，‎ ‎∴a4﹣a5+a6+a7+a8﹣a9+a10=3a7=60．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】先利用正弦定理化简得 c=2b，再由可得 a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．‎ ‎【解答】解：由及正弦定理可得 c=2b，‎ 再由可得 a2=7b2 ．‎ 再由余弦定理可得 cosA===，‎ 故A=30°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．‎ 由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，‎ ‎∴四棱锥的体积为=4．‎ ‎∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是（　　）‎ A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定 ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆心到直线的距离小于半径即可得到选项．‎ ‎【解答】解：∵直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，‎ ‎∴圆心（0，0）到直线ax+by﹣4=0的距离d=＜2，‎ ‎∴a2+b2＞4，‎ ‎∴点（a，b）在圆C的外部．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（　　）‎ A．15° B．75° C．105° D．75°或15°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，‎ 解得：a=2+或a=2﹣，‎ 由正弦定理=得：sinA==或，‎ ‎∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，‎ sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，‎ ‎∴∠A=75°或15°．‎ 故选D ‎　‎ ‎12．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC一定是（　　）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简已知表达式，利用余弦定理化角为边的关系，即可推出三角形的形状．‎ ‎【解答】解：因为，所以，‎ 即cosA=，由余弦定理可知：，‎ 所以c2=a2+b2．‎ 所以三角形是直角三角形．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二.填空题（共4道题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=　2　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】利用向量垂直，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，‎ 可得：x﹣2=0，解得x=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C=　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sin C=，求出∠C的值．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，若a2+b2＜c2，所以三角形是钝角三角形，∠C＞90°，又sin C=，所以∠C=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}，an=kn﹣5，且a8=11，则a17=　29　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】把n=8代入an=kn﹣5求出k的值，再把n=17代入求出a17的值．‎ ‎【解答】解：∵an=kn﹣5，且a8=11，‎ ‎∴8k﹣5=11，解得k=2，‎ ‎∴a17=2×17﹣5=29，‎ 故答案为：29．‎ ‎　‎ ‎16．函数y=3的值域是　（0，1]　．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】由题设可知函数y是一个复合函数，根据复合函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：由题设可知函数y=3是一个复合函数，设y=3u，是增函数．则u=﹣x2，开口向下，有最大值．其函数u的值域是函数u的定义域．‎ ‎∵u=﹣x2的值域为（﹣∞，0]，即u≤0．‎ ‎∴y=3u在u≤0的值域为（0，1]‎ 故答案为（0，1]．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=　105　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a1+a2+a3=15，利用等差中项的性质，可求得a2，然后利用a1a2a3=80通过解方程得到公差d，即可求出a11+a12+a13的值．‎ ‎【解答】解：设数列的公差为d（d＞0），∵a1+a2+a3=3a2=15∴a2=5．‎ ‎∵a1a2a3=80∴（5﹣d）•5•（5+d）=5（25﹣d2）=80‎ ‎∴d2=25﹣16=9‎ ‎∴d=3∴a11+a12+a13=（a1+a2+a3）+30d=15+90=105‎ 故答案为105．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．‎ ‎（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，‎ 所以BC=．‎ ‎（2）由正弦定理可得：，则sinC===，‎ ‎∵AB＜BC，∴C为锐角，‎ 则cosC===．‎ 因此sin2C=2sinCcosC=2×=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC，点E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面A1B1BA；‎ ‎（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接A1B，证明EF∥BA1，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面A1B1BA．‎ ‎（2）证明AE⊥BC，BB1⊥AE，推出AE⊥平面BCB1，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AEA1⊥平面BCB1．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC，A1C的中点，‎ 所以EF∥BA1，…‎ 又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA．…‎ ‎（2）因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，‎ 因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，‎ 所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE，‎ 又BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCB1，…‎ 又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1．…‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；‎ ‎（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．‎ 因为0＜A＜π，所以．‎ ‎（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．‎ 又由正弦定理得．‎ ‎　‎ ‎21．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎（i）用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；‎ ‎（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；‎ ‎（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，‎ ‎27×=3，9×=1，18×=2，‎ ‎∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；‎ ‎（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），‎ ‎（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），‎ ‎（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），‎ 共15种；‎ ‎（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，‎ 则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），‎ ‎（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，‎ ‎∴事件A发生的概率P==‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间 ‎（Ⅱ）若sin2x+af（x+）+1＞6cos4x对任意x∈（﹣，）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x+）的值，带到题设中去，化简，求函数在x∈（﹣，）的最值，即可恒成立，从而求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，‎ 可得：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1‎ ‎=sin2x+2cos2x﹣1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+）‎ 由（k∈Z），‎ 解得：‎ 所以：f（x）的单调增区间为 ‎（Ⅱ）由题意：当时，‎ 原不等式等价于a•2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，‎ 即恒成立 ‎ 令=‎ ‎∵，当x=0时，cosx取得最大值，即cosx=1时，那么g（x）也取得最大值为．‎ 因此，．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日