【数学】2020届江苏一轮复习通用版2-3指数与指数函数作业 6页

‎2.3　指数与指数函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 指数与指数函数 ‎1.比较幂的大小 ‎2.指数函数的图象和性质 ‎2015江苏,7‎ 指数函数的性质 二次不等式 ‎★★☆‎ 分析解读　　指数与指数函数一直是高考的热点之一,主要考查指数函数的图象与性质,常与其他函数的性质综合考查,有时也结合导数考查.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　指数幂及其运算 ‎1.计算‎1‎‎2‎a‎-3‎b‎-‎‎1‎‎3‎·(-3a-1b)÷‎1‎‎4‎a‎-4‎b‎-‎‎2‎‎3‎=　　　　. ‎ 答案　-6‎b‎4‎‎3‎ ‎2.化简(‎3‎‎6‎a‎9‎)4·(‎6‎‎3‎a‎9‎)4=　　　　. ‎ 答案　a4‎ 考点二　指数函数的图象与性质 ‎1.(2019届江苏南京中华中学检测)设a=22.5,b=2.50,c=‎1‎‎2‎‎2.5‎,则a,b,c的大小关系是　　　　. ‎ 答案　a>b>c ‎2.(2019届江苏镇江中学检测)若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎3.(2018江苏启东中学高三检测)已知函数f(x)=9x-2a·3x+3.‎ ‎(1)若a=1,x∈[0,1],求f(x)的值域;‎ ‎(2)当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值h(a).‎ 解析　(1)当a=1时,由f(x)=9x-2·3x+3,得f(x)=(3x-1)2+2.‎ 因为x∈[0,1],所以3x∈[1,3], f(x)∈[2,6].即当a=1,x∈[0,1]时, f(x)的值域为[2,6].‎ ‎(2)令3x=t,因为x∈[-1,1],故t∈‎1‎‎3‎‎,3‎,函数f(x)可化为g(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.‎ ‎①当a<‎1‎‎3‎时,h(a)=g‎1‎‎3‎=‎28‎‎9‎-‎2a‎3‎;‎ ‎②当‎1‎‎3‎≤a≤3时,h(a)=g(a)=3-a2;‎ ‎③当a>3时,h(a)=g(3)=12-6a.‎ 综上,h(a)=‎‎28‎‎9‎‎-‎2a‎3‎,a<‎1‎‎3‎,‎‎3-a‎2‎,‎1‎‎3‎≤a≤3,‎‎12-6a,a>3.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　指数幂运算的策略 ‎1.(2018江苏南通第一中学检测)已知3x‎-‎‎1‎‎3‎-2=10,则x=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎64‎ ‎2.化简下列各式(a>0,b>0).‎ ‎(1)(a‎2‎‎3‎b‎1‎‎2‎)(-3a‎1‎‎2‎b‎1‎‎3‎)÷‎1‎‎3‎a‎1‎‎6‎b‎5‎‎6‎;‎ ‎(2)‎3‎a‎4‎‎-8‎3‎a·b‎3‎a‎2‎‎+2‎3‎ab+4‎‎3‎b‎2‎÷‎1-2‎‎3‎ba×‎3‎a.‎ 解析　(1)原式=-9a‎2‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎6‎b‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎-‎‎5‎‎6‎=-9a.‎ ‎(2)原式=a‎4‎‎3‎‎-8a‎1‎‎3‎b‎4b‎2‎‎3‎+2a‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎+‎a‎2‎‎3‎÷a‎1‎‎3‎‎-2‎b‎1‎‎3‎a‎1‎‎3‎×‎a‎1‎‎3‎ ‎=a‎1‎‎3‎‎(a-8b)‎‎4b‎2‎‎3‎+2a‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎+‎a‎2‎‎3‎÷a‎1‎‎3‎‎-2‎b‎1‎‎3‎a‎1‎‎3‎×‎a‎1‎‎3‎ ‎=a‎1‎‎3‎‎(a‎1‎‎3‎-2b‎1‎‎3‎)(a‎2‎‎3‎+2a‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎+4b‎2‎‎3‎)‎‎4b‎2‎‎3‎+2a‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎+‎a‎2‎‎3‎×a‎1‎‎3‎a‎1‎‎3‎‎-2‎b‎1‎‎3‎×‎a‎1‎‎3‎ ‎=a‎1‎‎3‎(a‎1‎‎3‎-2b‎1‎‎3‎)·a‎1‎‎3‎a‎1‎‎3‎‎-2‎b‎1‎‎3‎·a‎1‎‎3‎=a.‎ 方法二　求解指数不等式的策略 ‎1.(2018江苏盐城中学检测)设函数f(x)=‎1‎‎2‎x‎-7,x<0,‎x‎,x≥0,‎若f(a)<1,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-3,1)‎ ‎2.不等式‎1‎‎2‎x‎2‎‎+3x<‎1‎‎16‎的解集为　　　　　　. ‎ 答案　{x|x<-4或x>1}‎ 方法三　与指数函数有关的复合函数的求解策略 ‎1.(2019届江苏南通通州检测)函数f(x)=‎3‎‎1-‎x‎2‎的值域为　　　　. ‎ 答案　(0,3]‎ ‎2.已知0≤x≤2,求y=‎4‎x-‎‎1‎‎2‎-3·2x+5的最大值.‎ 解析　令t=2x,因为0≤x≤2,‎ 所以1≤t≤4.又y=22x-1-3·2x+5,‎ 所以y=‎1‎‎2‎t2-3t+5=‎1‎‎2‎(t-3)2+‎1‎‎2‎.‎ 因为1≤t≤4,所以t=1时,ymax=‎5‎‎2‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2015江苏,7,5分,0.926)不等式‎2‎x‎2‎‎-x<4的解集为　　　　. ‎ 答案　{x|-10,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎2‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则2x,3y,5z的大小关系为　　　　(用“<”连接). ‎ 答案　3y<2x<5z ‎3.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=‎2‎‎4‎‎3‎,b=‎4‎‎2‎‎5‎,c=2‎5‎‎1‎‎3‎,则以下关系正确的是　　　　. ‎ ‎①b1)恒过点(3,10),则m=　　　　. ‎ 答案　9‎ ‎4.(2019届江苏溧水高级中学检测)化简[(‎3‎‎-5‎)2‎]‎‎3‎‎4‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎5.(2019届江苏启东一中检测)已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是　　　　. ‎ 答案　(0,1)‎ ‎6.(2018江苏宜兴高级中学检测)已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎-1‎+a,若f(x)是奇函数,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎7.(2019届江苏江宁高级中学检测)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=‎1‎‎9‎,则f(x)的单调递减区间是　　　　. ‎ 答案　[2,+∞)‎ ‎8.(2018江苏泰州中学检测)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=　　　　. ‎ 答案　7‎ 二、解答题(共40分)‎ ‎9.(2018江苏海安高级中学检测)求下列函数的定义域和值域.‎ ‎(1)y=‎1‎‎2‎‎2x-‎x‎2‎;(2)y=‎3‎‎2x-1‎‎-‎‎1‎‎9‎.‎ 解析　(1)显然定义域为R.‎ 因为2x-x2=-(x-1)2+1≤1,‎ 且y=‎1‎‎2‎x为减函数,‎ 所以‎1‎‎2‎‎2x-‎x‎2‎≥‎1‎‎2‎‎1‎=‎1‎‎2‎.‎ 故函数y=‎1‎‎2‎‎2x-‎x‎2‎的值域为‎1‎‎2‎‎,+∞‎.‎ ‎(2)由32x-1-‎1‎‎9‎≥0,得32x-1≥‎1‎‎9‎=3-2.‎ 因为y=3x为增函数,‎ 所以2x-1≥-2,即x≥-‎1‎‎2‎.‎ 所以此函数的定义域为‎-‎1‎‎2‎,+∞‎.‎ 由上可知32x-1-‎1‎‎9‎≥0,所以y≥0,‎ 即函数的值域为[0,+∞).‎ ‎10.(2018江苏张家港高级中学检测)已知函数y=‎1‎‎3‎‎|x+1|‎.‎ ‎(1)作出该函数的图象;‎ ‎(2)由图象指出函数的单调区间;‎ ‎(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.‎ 解析　(1)由已知可得y=‎1‎‎3‎‎|x+1|‎=‎‎1‎‎3‎x+1‎‎,x≥-1,‎‎3‎x+1‎‎,x<-1.‎ 其图象由两部分组成:‎ 一部分是y=‎1‎‎3‎x(x≥0)y=‎1‎‎3‎x+1‎(x≥-1);‎ 另一部分是y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).‎ 图象如图:‎ ‎(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在(-1,+∞)上是减函数.‎ ‎(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.‎ ‎11.(2018江苏如东中学期中,16)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若b<1,g(x)=f(x)-2mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.‎ 解析　(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.‎ ‎①当a>0时, f(x)在[2,3]上为增函数,‎ 故f(3)=5,‎f(2)=2,‎所以‎9a-6a+2+b=5,‎‎4a-4a+2+b=2,‎解得a=1,‎b=0.‎ ‎②当a<0时, f(x)在[2,3]上为减函数,‎ 故f(3)=2,‎f(2)=5,‎所以‎9a-6a+2+b=2,‎‎4a-4a+2+b=5,‎解得a=-1,‎b=3.‎ 故a=1,‎b=0‎或a=-1,‎b=3.‎ ‎(2)因为b<1,所以a=1,b=0,‎ 即f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.‎ 若g(x)在[2,4]上单调,‎ 则‎2+‎‎2‎m‎2‎≤2或‎2‎m‎+2‎‎2‎≥4.‎ 所以2m≤2或2m≥6,‎ 即m≤1或m≥log26.‎ 故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞).‎