【数学】2019届一轮复习通用版选修4-4坐标系与参数方程学案 25页

选修4－4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括2个知识点：　1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.‎ 突破点(一)　平面直角坐标系下图形的伸缩变换　‎ 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎1．判断题 ‎(1)平面直角坐标系中点P(－2,3)在变换φ：的作用下得到的点为P′(－1,1)．(　　)‎ ‎(2)已知伸缩变换φ：经φ变换得到点A′(2,4)，则原来点的坐标为A(4，－2)．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×‎ ‎2．填空题 ‎(1)直线l：x－2y＋3＝0经过φ：变换后得到的直线l′方程为________________．‎ 解析：设l′上的任一点P(x′，y′)由题得代入x－2y＋3＝0得x′－y′＋3＝0，直线l′的方程为x－y＋3＝0.‎ 答案：x－y＋3＝0‎ ‎(2)已知平面直角坐标系中点A(－2,4)经过φ变换后得A′的坐标为，则伸缩变换φ为________．‎ 解析：设伸缩变换φ： 则有解得∴φ： 答案：φ： 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 ‎[典例]　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ ‎[解]　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由题意，将代入x2－＝1‎ 得－＝1，‎ 化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，‎ 则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎[方法技巧]‎ 应用伸缩变换公式时的两个注意点 ‎(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．‎ ‎(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．　　‎ ‎1．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．‎ 解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由题意，将代入y＝6x得2y′＝6×，‎ 所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.‎ ‎2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．‎ 解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．‎ 解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应点的坐标为P′(x′，y′)，‎ 则所以4x′2＋9y′2＝36，‎ 即＋＝1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，‎ 其焦点坐标为(±，0)．‎ 突破点(二)　极坐标系 ‎ ‎1．极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎(3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2 π)( ∈ )表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．‎ 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．‎ ‎2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎1．判断题 ‎(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.(　　)‎ ‎(2)tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线．(　　)‎ ‎(3)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2.填空题 ‎(1)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎(2)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为________．‎ 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x.由图象可知圆在点M(2,0)处的切线的直角坐标方程为x＝2，即ρcos θ＝2.‎ 答案：ρcos θ＝2‎ ‎(3)在极坐标系中A，B两点间的距离为________．‎ 解析：法一：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.‎ 法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．‎ ‎∴|AB|＝＝＝6.‎ 答案：6‎ ‎(4)圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．‎ 解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：‎ ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，‎ 化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.‎ 圆心的坐标为，化成极坐标为.‎ 答案：(答案不唯一)‎ ‎(5)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．‎ 解析：直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得2＝2＝4.‎ 答案：4 极坐标与直角坐标的互化 ‎1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程 ‎2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．‎ ‎(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：‎ ‎ [例1]　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 则直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．应用互化公式的三个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点．‎ ‎(2)以x轴的正半轴为极轴．‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位．‎ ‎2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 ‎(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．‎ ‎(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．　　‎ 极坐标方程的应用 ‎[例2]　(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠‎ ‎0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．‎ ‎[解]　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ ‎(2)l：y＝2x关于点M(0，m)对称的直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，实数m的最大值为－2.‎ ‎[易错提醒]‎ 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．　　‎ ‎1.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ 解：由2ρsin＝，得2ρ＝，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0.‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝＝.‎ ‎2.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos＝的距离的最大值．‎ 解：(1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.‎ 消去ρ1，得曲线C2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．‎ ‎(2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.C2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆(坐标原点除外)．‎ 圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋.‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律]‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，‎ 则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎[课时达标检测] ‎ ‎ 1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．‎ 解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.‎ ‎3．(2018·扬州质检)求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程．‎ 解：点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，‎ 故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为3，‎ 圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，‎ 即x2＋y2－6x－6y＝0，‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程，‎ 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，‎ 即ρ＝6cos.‎ ‎4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ 解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1.‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，‎ 当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎5．(2018·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2 cos( ≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数 的值并求圆心C的直角坐标．‎ 解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝ cos θ－ sin θ，‎ 即ρ2＝ ρcos θ－ ρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－ x＋ y＝0，‎ 即2＋2＝ 2，‎ 所以圆心C的直角坐标为.‎ 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ 所以－| |＝2.‎ 即| ＋4|＝2＋| |，‎ 两边平方，得| |＝2 ＋3，‎ 所以或 解得 ＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ ‎6．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点(2,0)．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设点Q和点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．‎ 解：(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2sin2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y2＝8x.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)点Q的直角坐标为(0，－2)．‎ 因为直线l过点P(2,0)和Q(0，－2)，‎ 所以直线l的倾斜角α＝.‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2＝8.整理，得t2－8t－32＝0.‎ Δ＝(－8)2＋4×32＝256>0.‎ 设t1，t2为方程t2－8t－32＝0的两个根，‎ 则t1＋t2＝8，t1·t2＝－32，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝16.‎ 由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2,0)．‎ 点G到直线l的距离为d＝|PG|sin 45°＝4×＝2，‎ 所以S△GAB＝×d×|AB|＝×16×2＝16.‎ ‎7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；‎ ‎(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．‎ 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.‎ 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，‎ 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，‎ 即(α为参数)，‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)∵C1的参数方程为 ‎∴C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)，‎ 将D 代入，得2＝2a×，‎ ‎∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ ‎∴ρ＝，‎ ρ＝＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎ 第二节　 参数方程 本节主要包括2个知识点：　1.参数方程；　2.参数方程与极坐标方程的综合问题.‎ 突破点(一)　参数方程　‎ ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．‎ ‎1．判断题 ‎(1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线．(　　)‎ ‎(2)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×‎ ‎2．填空题 ‎(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．‎ 解析：∵＝＝－，∴tan α＝－.‎ 答案：－ ‎(2)椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.‎ 解析：由(φ为参数)得，＋＝1，当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝.‎ 答案： ‎(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．‎ 解析：由(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)．‎ 答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)‎ ‎(4)椭圆(θ为参数)的离心率为________．‎ 解析：由椭圆的参数方程可知a＝5，b＝2.故c＝＝，故椭圆的离心率e＝＝.‎ 答案： 参数方程与普通方程的互化 ‎1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎2．普通方程化为参数方程 ‎(1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；‎ ‎(2)解题的一般步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；‎ 第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t)); ‎ 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解．‎ ‎[例1]　将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ ‎[解]　(1)∵2＋2＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝1.‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.‎ 又x＝，∴x≠0.‎ 当t≥1时，00，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎2.(2018·郑州模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ 解：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l：(t为参数)．‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，‎ 整理得5t2＋4t－4＝0.‎ 设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，‎ 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos 30°＝，‎ 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.‎ 突破点(二)　参数方程与极坐标方程的综合问题　 ‎ 将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P(ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.‎ 参数方程与极坐标方程的综合问题 ‎[典例]　(2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．‎ ‎[解]　(1)由曲线C1：得 曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由曲线C2：ρsin＝4得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ ‎(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点，‎ 椭圆上的点P(cos α，sin α)到直线x＋y－8＝0的距离为 d＝＝，‎ 所以当sin(α＋φ)＝1时，d取得最小值.‎ ‎[方法技巧]‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　‎ ‎1．已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ 解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0‎ 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎2．(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数，π≤α≤2π)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝t.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．‎ 解：(1)∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝t，∴曲线C2的直角坐标方程为x＋y－t＝0.‎ ‎(2)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，为半圆弧，‎ 如图所示，曲线C2为平行于直线x＋y＝0的直线，或为直线x＋y＝0，‎ 当直线C2与曲线C1相切时，由＝1，‎ 解得t＝2－或t＝2＋(舍去)，‎ 当直线C2过A，B两点时，t＝1，‎ 由图可知，当2－0，‎ 故tan α＝.所以直线l的斜率为.‎ ‎5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，C1：(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.‎ ‎(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求 的值．‎ 解：(1)由可得其普通方程为y＝ (x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为 的直线．‎ 由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．‎ ‎(2)因为圆心(－5,3)到直线y＝ (x－1)的距离d＝＝，故|PQ|的最小值为－1，故－1＝2，得3 2＋4 ＝0，解得 ＝0或 ＝－.‎ ‎6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．‎ 解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，‎ 即ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程：x2＋y2＝6y，‎ 配方为：x2＋(y－3)2＝9，圆心C(0,3)，半径r＝3.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t可得：x－ay＋a＋1＝0.‎ ‎(2)由直线l经过定点P(－1,1)，此点在圆的内部，‎ 因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，‎ 则 CP· l＝× l＝－1，‎ 解得 l＝－.‎ ‎∴＝－，解得a＝－2.‎ ‎7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．‎ 解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.‎ ‎(2)将曲线C2的方程化为标准形式为(x－1)2＋y2＝1，它表示圆心为C2(1,0)，半径r＝1的圆．‎ 由题意，|MN|max＝|MC2|max＋r，|MN|min＝|MC2|min－r.设M(4cos φ，3sin φ)．‎ 则|MC2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos2φ－8cos φ＋10.‎ 当cos φ＝时，|MC2|＝；‎ 当cos φ＝－1时，|MC2|＝25.‎ ‎∴|MN|max＝|MC2|max＋r＝6，|MN|min＝|MC2|min－r＝－1，‎ ‎∴|MN|∈.‎ ‎8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．‎ 解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.‎ 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，‎ ‎∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，‎ 故＋＝＋ ‎＝＝＝ ‎＝ ＝.‎