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- 2021-06-11 发布
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一、选择题
1.在△ABC中,已知sin(A-B)·cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
[答案] C
[解析] 由题设知sin[(A-B)+B]≥1,
∴sinA≥1而sinA≤1,∴sinA=1,A=,
∴△ABC是直角三角形.
2.sin+sin的化简结果是( )
A.2sin B.2sin
C.2sin D.2sin
[答案] A
[解析] sin+sin
=sin+sin
=cos+sin
=2
=2
=2sin=2sin.
3.(2013烟台模拟)已知cosα=,cos(α+β)=-,α,β都是锐角,则cosβ=( )
A.- B.-
C. D.
[答案] C
[解析] ∵α、 β是锐角,∴0<α+β<π,又cos(α+β)=-<0,∴<α+β<π,∴sin(α+β)=,sinα=.又cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.
4.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cosαcosβ的值为( )
A.0 B.
C.0或 D.0或±
[答案] A
[解析] 由条件得,cosαcosβ-sinαsinβ=,
cosαcosβ+sinαsinβ=-,
左右两边分别相加可得cosα·cosβ=0.
5.若α、β均为锐角,sinα=,sin(α+β)=,则cosβ
等于( )
A. B.
C.或 D.-
[答案] B
[解析] ∵α与β均为锐角,且sinα=>sin(α+β)=,∴α+β为钝角,
又由sin(α+β)=得,cos(α+β)=-,
由sinα=得,cosα=,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=,故选B.
6.(2012·全国高考重庆卷)( )
A.- B.-
C. D.
[答案] C
[解析]
=
=
==sin30°=
二、填空题
7.化简:cos(35°-x)cos(25°+x)-sin(35°-x)sin(25°+x)=________.
[答案]
[解析] 原式=cos[(35°-x)+(25°+x)]
=cos60°=.
8.若cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-,且450°<β<540°,则sin(60°-β)=________.
[答案] -
[解析] 由已知得cos[(α+β)-α]=cosβ=-,
∵450°<β<540°,∴sinβ=,
∴sin(60°-β)=·-×=-.
9.已知α、β为锐角,且tanα=,tanβ=,则sin(α+β)=________.
[答案]
[解析] ∵α为锐角,tanα=,
∴sinα=,cosα=,
同理可由tanβ=得,sinβ=,cosβ=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.
三、解答题
10.已知sinα=,cosβ=-,且α、β为相邻象限的角,求sin(α+β)和sin(α-β)的值.
[解析] ∵sinα=>0,cosβ=-,且α,β为相邻象限的角,∴α为第一象限角且β为第二象限角;或α为第二象限角且β为第三象限角.
(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时,
cosα=,sinβ=
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×(-)+×=.
∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
×(-)-×
==-.
(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时
∵sinα=,cosβ=-,
∴cosα=-,sinβ=-,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×(-)+(-)×(-)=
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×(-)-(-)×(-)=-,
综上可知:sin(α+β)=,
sin(α-β)=-.
11.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<,且sinβ=-,求sinα的值.
[解析] (1)∵|a-b|=,
∴a2-2a·b+b2=,
又a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴a2=b2=1,a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
∴cos(α-β)=.
(2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π,
由(1)得cos(α-β)=,∴sin(α-β)=,
又sinβ=-,∴cosβ=,
∴sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
=×+×=.
12.(山东师大附中2012-2013期中)已知cosα=,
sin(α-β)=,且α、 β∈(0,).求:
(1)cos(2α-β)的值;
(2)β的值.
[解析] (1)因为α、 β∈(0,),
所以α-β∈(-,),又sin(α-β)=>0,
∴0<α-β<
所以sinα==,
cos(α-β)==,
cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)
=×-×=
(2)cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×=
又因为β∈(0,),所以β=.