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  • 2021-06-11 发布

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练27+数列的概念与简单表示法

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课时分层训练(二十七) ‎ 数列的概念与简单表示法 ‎ (对应学生用书第227页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=(  )‎ A. B. ‎ C. D. D [a2=1+=2,a3=1+=1+=,a4=1+=3,a5=1+=.]‎ ‎2.(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为(  )‎ A.5 B.6 ‎ C.7 D.8‎ B [由(n+1)an=nan+1得=,所以数列为常数列,则==2,即an=2n,所以a3=2×3=6,故选B.]‎ ‎3.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=(  )‎ ‎ 【导学号:00090158】‎ A.3(3n-2n) B.3n+2‎ C.3n D.3·2n-1‎ C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,由a1=(a1-1),得a1=3,∴=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴an=3n,故选C.]‎ ‎4.(2018·黄山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=(  )‎ A.31 B.42‎ C.37 D.47‎ D [法一:a2=S1+1=3,a3=S2+1=6,a4=S3+1=12,a5=S4+1=24,所以S5=S4+a5=47.‎ 法二:∵an+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*)‎ ‎∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),‎ ‎∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.故选D.]‎ ‎5.数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2 017=(  )‎ A. B.- ‎ C.2 D.-2‎ C [由an=,得an+1=,而a1=2,‎ 则有a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,‎ 所以T2 017=(a1a2a3a4)504a1=1504×2=2.]‎ 二、填空题 ‎6.(2018·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=________.‎  [a4=S4-S3=-=32‎ 解得a1=.]‎ ‎7.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=n(n≥2),则数列{an}的通项公式an=________.‎ n(n+1) [由an-an-1=n得a2-a1=2,‎ a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,‎ 上面(n-1)个式子相加得 an=1+2+3+…+n=n(n+1),‎ 又n=1时也满足此式,‎ 所以an=n(n+1).]‎ ‎8.(2018·岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 0‎ ‎17=________.‎ ‎2 017 [由题意知n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,化为=,‎ ‎∴==…==1,∴an=n.‎ 则a2 017=2 017.]‎ 三、解答题 ‎9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少?‎ ‎(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数?‎ ‎ 【导学号:00090159】‎ ‎[解] (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.‎ ‎(2)令an=150,即n2-7n+6=150,‎ 解得n=16或n=-9(舍去),‎ 即150是这个数列的第16项.‎ ‎(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍去).‎ 所以从第7项起各项都是正数.‎ ‎10.已知Sn为正项数列{an} 的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)由Sn=a+an(n∈N*),可得 a1=a+a1,解得a1=1; 3分 S2=a1+a2=a+a2,‎ 解得a2=2;‎ 同理,a3=3,a4=4. 5分 ‎(2)Sn=a+an, ①‎ 当n≥2时,Sn-1=a+an-1, ②‎ ‎①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 8分 由于an+an-1≠0,‎ 所以an-an-1=1,‎ 又由(1)知a1=1,‎ 故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n. 12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中,++…+=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为(  )‎ A.an=n B.an=n2‎ C.an= D.an= B [∵++…+=,‎ ‎∴++…+=(n≥2),‎ 两式相减得=-=n(n≥2),∴an=n2(n≥2),※‎ 又当n=1时,==1,a1=1,适合※式,∴an=n2,n∈N*.故选B.]‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=__________.‎  [由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n≥2),‎ 两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n≥2),‎ ‎∴an+1=4an(n≥2).‎ ‎∵a1=1,a2=3S1=3≠4a1,‎ ‎∴数列{an}是从第二项开始的等比数列,‎ ‎∴an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2).‎ 故an=]‎ ‎3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;‎ ‎(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.‎ ‎ 【导学号:00090160】‎ ‎[解] (1)由n2-5n+4<0,‎ 解得1an知该数列是一个递增数列, 7分 又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.‎ 所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 12分

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