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- 2021-06-11 发布
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课时分层训练(二十七)
数列的概念与简单表示法
(对应学生用书第227页)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=( )
A. B.
C. D.
D [a2=1+=2,a3=1+=1+=,a4=1+=3,a5=1+=.]
2.(2017·海淀期末)数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
B [由(n+1)an=nan+1得=,所以数列为常数列,则==2,即an=2n,所以a3=2×3=6,故选B.]
3.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=( )
【导学号:00090158】
A.3(3n-2n) B.3n+2
C.3n D.3·2n-1
C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,由a1=(a1-1),得a1=3,∴=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n,故选C.]
4.(2018·黄山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5=( )
A.31 B.42
C.37 D.47
D [法一:a2=S1+1=3,a3=S2+1=6,a4=S3+1=12,a5=S4+1=24,所以S5=S4+a5=47.
法二:∵an+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*)
∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),
∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.故选D.]
5.数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2 017=( )
A. B.-
C.2 D.-2
C [由an=,得an+1=,而a1=2,
则有a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,
故数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,
所以T2 017=(a1a2a3a4)504a1=1504×2=2.]
二、填空题
6.(2018·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=________.
[a4=S4-S3=-=32
解得a1=.]
7.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=n(n≥2),则数列{an}的通项公式an=________.
n(n+1) [由an-an-1=n得a2-a1=2,
a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,
上面(n-1)个式子相加得
an=1+2+3+…+n=n(n+1),
又n=1时也满足此式,
所以an=n(n+1).]
8.(2018·岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 0
17=________.
2 017 [由题意知n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,化为=,
∴==…==1,∴an=n.
则a2 017=2 017.]
三、解答题
9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
【导学号:00090159】
[解] (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),
即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍去).
所以从第7项起各项都是正数.
10.已知Sn为正项数列{an} 的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)由Sn=a+an(n∈N*),可得
a1=a+a1,解得a1=1; 3分
S2=a1+a2=a+a2,
解得a2=2;
同理,a3=3,a4=4. 5分
(2)Sn=a+an, ①
当n≥2时,Sn-1=a+an-1, ②
①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 8分
由于an+an-1≠0,
所以an-an-1=1,
又由(1)知a1=1,
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n. 12分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中,++…+=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为( )
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
B [∵++…+=,
∴++…+=(n≥2),
两式相减得=-=n(n≥2),∴an=n2(n≥2),※
又当n=1时,==1,a1=1,适合※式,∴an=n2,n∈N*.故选B.]
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=__________.
[由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n≥2),
两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n≥2),
∴an+1=4an(n≥2).
∵a1=1,a2=3S1=3≠4a1,
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列,
∴an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2).
故an=]
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
【导学号:00090160】
[解] (1)由n2-5n+4<0,
解得1an知该数列是一个递增数列, 7分
又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 12分