四川省棠湖中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题 13页

‎2020年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为 ‎ A．-1 B．‎1 ‎C． D．‎ ‎2．设，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项，，则S10等于 A．18 B．‎24 ‎C．60 D．90‎ ‎4．函数的图像大致是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为 ‎ 附：若，则，‎ A．171 B．‎239 ‎C．341 D．477‎ ‎6．已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象 ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积 （单位：cm3）是 A．8 B． C．16 D．16‎ ‎8．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 ‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎9．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为 ‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎11．设，，，则，，的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______．‎ ‎14．若，，，成等比数列，且，，则公比______.‎ ‎15．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．‎ ‎16．已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知数列为等差数列，，且依次成等比数列.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设，数列的前项和为，若，求的值.‎ ‎18．（12分）“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，大学生的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、0～2000步，(说明：“0～‎2000”‎表示“大于或等于0，小于‎2000”‎，以下同理)，、2000～5000步，、5000～8000步，、8000～10000步，、10000～12000步，且三种类别的人数比例为，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．‎ 若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．‎ ‎(Ⅰ)若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000～8000的人数；‎ ‎(Ⅱ)若在大学生该天抽取的步数在8000～12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；‎ ‎(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“认定类别”与“性别”有关？‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．‎ ‎（I）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；‎ ‎（II）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．‎ ‎20．（12分）已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值.‎ ‎21．（12分）已知设函数.‎ ‎（I）若，求极值；‎ ‎（II）证明：当，时，函数在上存在零点.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数，且，），曲线的参数方程为（为参数，且）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求与的交点到极点的距离；‎ ‎（II）设与交于点，与交于点，当在上变化时，求的最大值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（10分）‎ 设，且，记的最小值为.‎ ‎（I）求的值，并写出此时，的值；‎ ‎（II）解关于的不等式：.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，‎ a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，‎ a1，a6，a21依次成等比数列，可得 a62＝a‎1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），‎ 解得a1＝5，‎ 则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；‎ ‎（2）bn（），‎ 即有前n项和为Sn（）‎ ‎（），‎ 由Sn，可得5n＝4n+10，解得n＝10．‎ ‎18．(Ⅰ)所抽取的40人中，该天行走2000～8000步的人数：男12人，‎ 女14人，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000～8000步的人数 约为：人；‎ ‎(Ⅱ)该天抽取的步数在8000～12000的人数：男8人，女4人，‎ 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人 所求概率(或) ‎ ‎(Ⅲ)完成列联表 参与者 超越者 合计 男 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 女 ‎16‎ ‎4‎ ‎20‎ 合计 ‎28‎ ‎12‎ ‎40‎ 计算，‎ 因为，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，‎ 即“认定类别”与“性别”无关 ‎19．（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．‎ 理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，‎ 故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形．所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，‎ 所以，AF∥平面PEC．‎ ‎（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，‎ 所以PD⊥AD，且面ADP⊥面ABCD，面ADP∩面ABCD＝AD，‎ 所以PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间坐标系，‎ 设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），，‎ ‎，，设平面FBC的法向量为，‎ 则由得，令x＝1，则，，‎ 所以取，显然可取平面DFC的法向量，‎ 由题意：，所以a＝1．‎ 由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，‎ 所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，‎ 易知在Rt△PBD中，从而∠PBD＝45°，‎ 所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°．‎ ‎20．（Ⅰ）法一：设，， ‎ 直线 直线 ‎ 得 又，，‎ 整理得点的轨迹方程为 法二：设，， ‎ 直线 直线 ‎ 由,解得：，又，‎ 故，代入得.‎ 点的轨迹方程为 法三：设直线，则直线 ‎ 直线与椭圆的交点的坐标为.‎ 则直线的斜率为.‎ 直线 ‎ 由 解得:点的轨迹方程为：‎ ‎（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：‎ 四边形的面积，‎ ‎，当时，的最大值为.‎ 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积 ‎ ‎ 当且仅当时，取得最大值.‎ ‎21．（1）当时，，定义域为，由得．‎ 当变化时，， 的变化情况如下表：‎ 极大值 故当时，取得极大值，无极小值． ‎ ‎（2），．‎ 当时，因为，所以，‎ 在单调递减．‎ 因为，，‎ 所以有且仅有一个，使，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在单调递增，在单调递减．‎ 所以，而，‎ 所以在存在零点．‎ 当时，由（1）得，‎ 于是，所以．‎ 所以．‎ 于是．‎ 因为，所以所以在存在零点．‎ 综上，当，时，函数在上存在零点．‎ ‎22．(1)联立曲线的极坐标方程得: ，解得，即交点到极点的距离为. ‎ ‎(2)曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为联立得 即 曲线与曲线的极坐标方程联立得，‎ 即， ‎ 所以，其中的终边经过点，‎ 当，即时，取得最大值为.‎ ‎23．因为，所以，‎ 根据均值不等式有，‎ 当且仅当，即时取等号，所以M的值为 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 综上所述原不等式解集为．‎