【数学】2019届文科一轮复习人教A版5-2等差数列及其前n项和教案 10页

第二节 等差数列及其前 n 项和 [考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式 与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列 的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． (对应学生用书第 69 页) [基础知识填充] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋b 2 ，其中 A 叫做 a，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)D． (2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1d 2 ＝na1＋an 2 . 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2D． (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列． (6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． [知识拓展] 1．等差数列前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn 有最大值，即所有正项之和最大， 若 a1＜0，d＞0，则 Sn 有最小值，即所有负项之和最小． 2．两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则有an bn ＝S2n－1 T2n－1 . 3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则数列 Sn n 也是等差数列． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列．( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋ an＋2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝0，则公差 d 等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 D [依题意得 S3＝3a2＝6，即 a2＝2，故 d＝a3－a2＝－2，故选 D．] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5 ＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11 A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝5a1＋a5 2 ＝5a3＝5.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为 d， ∴S9＝9 2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴ a1＋4d＝3， a1＋9d＝8， ∴ a1＝－1， d＝1. ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C． 法二：∵{an}是等差数列， ∴S9＝9 2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－a5 ＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C．] 5．(教材改编)在 100 以内的正整数中有__________个能被 6 整除的数. 【导学号：79170161】 16 [由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列{an}， 则 a1＝6，d＝6，得 an＝6＋(n－1)6＝6n. 由 an＝6n≤100，即 n≤164 6 ＝162 3 ， 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数．] (对应学生用书第 70 页) 等差数列的基本运算 (1)(2018·郑州模拟)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和， 若 S8＝4S4，则 a10＝( ) A．17 2 B．19 2 C．10 D．12 (2)(2018·昆明模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，a4＝－12，若 am＝30，则 m＝( ) 【导学号：79170162】 A．9 B．10 C．11 D．15 (1)B (2)B [(1)∵公差为 1， ∴S8＝8a1＋8×8－1 2 ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝1 2 ， ∴a10＝a1＋9d＝1 2 ＋9＝19 2 . (2)设等差数列{an}的公差为 d，依题意 S11＝11a1＋11×11－1 2 d＝22， a4＝a1＋3d＝－12， 解得 a1＝－33， d＝7， ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.] [规律方法] 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an， d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是 等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法． [变式训练 1] (1)(2018·娄底模拟)已知数列{an}是首项为 1，公差为 d(d∈N*)的等 差数列，若 81 是该数列中的一项，则公差不可能是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝__________. (1)B (2)－72 [(1)∵数列{an}是首项为 1，公差为 d(d∈N*)的等差数列，∴an ＝1＋(n－1)d， ∵81 是该数列中的一项，∴81＝1＋(n－1)d， ∴n＝80 d ＋1， ∵d，n∈N*，∴d 是 80 的因数，故 d 不可能是 3.故选 B． (2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由已知，得 a12＝a1＋11d＝－8， S9＝9a1＋9×8 2 d＝－9， 解得 a1＝3， d＝－1. ∴S16＝16×3＋16×15 2 ×(－1)＝－72.] 等差数列的判定与证明 已知数列{an}中，a1＝3 5 ，an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn} 满足 bn＝ 1 an－1(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列． (2)求数列{an}中的通项公式 an. [解] (1)证明：因为 an＝2－ 1 an－1 (n≥2，n∈N*)， bn＝ 1 an－1. 所以 n≥2 时，bn－bn－1＝ 1 an－1 － 1 an－1－1 ＝ 1 2－ 1 an－1 －1 － 1 an－1－1 ＝ an－1 an－1－1 － 1 an－1－1 ＝1. 5 分 又 b1＝ 1 a1－1 ＝－5 2 ， 所以数列{bn}是以－5 2 为首项，1 为公差的等差数列. 7 分 (2)由(1)知，bn＝n－7 2 ， 9 分 则 an＝1＋ 1 bn ＝1＋ 2 2n－7. 12 分 [规律方法] 1.等差数列的四种判断方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(d 是常数)⇔{an}是等差数列．(解答题) (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(解答题) (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列．(小题) (4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列．(小题) 2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an－an－1＝d，但 它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则 n＝1 时，a0 无定义． [变式训练 2] (1)若{an}是公差为 1 的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列 C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列 (2)在数列{an}中，若 a1＝1，a2＝1 2 ， 2 an＋1 ＝ 1 an ＋ 1 an＋2 (n∈N*)，则该数列的通项 为( ) A．an＝1 n B．an＝ 2 n＋1 C．an＝ 2 n＋2 D．an＝3 n (1)B (2)A [(1)an＝n＋a1－1 ∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1 ∴a2n－1＋2a2n＝4n＋2a1－3 因此数列{a2n－1＋2an}是公差为 4 的等差数列，故选 B． (2)由已知式 2 an＋1 ＝ 1 an ＋ 1 an＋2 可得 1 an＋1 － 1 an ＝ 1 an＋2 － 1 an＋1 ，知 1 an 是首项为 1 a1 ＝1，公 差为 1 a2 － 1 a1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以 1 an ＝n，即 an＝1 n.] 等差数列的性质及应用 (1)(2017·江西红色七校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 2a7＝5 ＋a9，则 S9 的值为( ) A．27 B．36 C．45 D．54 (2)(2018·洛阳统考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7 ＋a8＋a9 等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 (3)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 014， S2 014 2 014 － S2 008 2 008 ＝6，则 S2 017＝________. (1)C (2)B (3)4 034 [(1)由 2a7＝5＋a9 得 a5＋a9＝5＋a9，所以 a5＝5，所以 S9＝9a1＋a9 2 ＝9a5＝45. (2)由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列． 即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，即 a7＋a8＋a9＝45，故选 B． (3)由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列． 设其公差为 D．则 S2 014 2 014 － S2 008 2 008 ＝6d＝6，∴d＝1. 故S2 017 2 017 ＝S1 1 ＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2， ∴S2 017＝2×2 017＝4 034.] [规律方法] 应用等差数列的性质应注意两点 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则 am＋an ＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分 析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口． [变式训练 3] (1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn 表示数列{an}的前 n 项 和，则 S11＝( ) A．18 B．99 C．198 D．297 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5＝10，S10＝30，则 S15＝( ) A．60 B．70 C．90 D．40 (3)(2018·佛山模拟)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则 a2＋a8 ＝________. 【导学号：79170163】 (1)B (2)A (3)10 [(1)由 a3＋a9＝27－a6 得 2a6＝27－a6，所以 a6＝9 所以 S11＝11a1＋a11 2 ＝11a6＝99. (2)因为数列{an}为等差数列，所以 S5，S10－S5，S15－S10 也成等差数列，设 S15 ＝x，则 10,20，x－30 成等差数列，所以 2×20＝10＋(x－30)，所以 x＝60， 即 S15＝60. (3)因为{an}是等差数列，所以 a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋ a7＝5a5＝25，即 a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.] 等差数列的前 n 项和及其最值 (1)设数列{an}的通项公式为 an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ________. (2)等差数列{an}中，设 Sn 为其前 n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时， Sn 取得最大值． (1)130 [由 an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8 为首项，2 为公差的等差数列， 又由 an＝2n－10≥0 得 n≥5，∴n≤5 时，an≤0，当 n＞5 时，an＞0，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a15|＝S15－2S5＝130.] (2)法一：由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2 d＝11a1＋11×10 2 d， 4 分 即 d＝－ 2 13a1. 7 分 从而 Sn＝d 2n2＋ a1－d 2 n＝－a1 13(n－7)2＋49 13a1， 因为 a1>0，所以－a1 13<0. 9 分 故当 n＝7 时，Sn 最大. 12 分 法二：由法一可知，d＝－ 2 13a1. 要使 Sn 最大，则有 an≥0， an＋1≤0， 5 分 即 a1＋n－1 － 2 13a1 ≥0， a1＋n － 2 13a1 ≤0， 9 分 解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大. 12 分 法三：由 S3＝S11，可得 2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5 分 故 a7＋a8＝0，又由 a1>0，S3＝S11 可知 d<0， 9 分 所以 a7>0，a8<0，所以当 n＝7 时，Sn 最大. 12 分 [规律方法] 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 1．函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn，通过配方或借 助图象求二次函数最值的方法求解． 2．邻项变号法： (1)当 a1>0，d<0 时，满足 am≥0， am＋1≤0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm； (2)当 a1<0，d>0 时，满足 am≤0， am＋1≥0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. [变式训练 4] (1)(2018·孝义模拟)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4 ＋a6＝99，以 Sn 表示{an}的前 n 项和，则使 Sn 达到最大值的 n 是( ) A．21 B．20 C．19 D．18 (2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为 8. ①求等差数列{an}的通项公式； ②若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 【导学号：79170164】 (1)B [因为 a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以 a3＝35，a4＝ 33，所以 d＝－2，a1＝39.由 an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得 n≤41 2 ，所以当 n＝20 时 Sn 达到最大值，故选 B．] (2)①设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2D． 由题意得 3a1＋3d＝－3， a1a1＋da1＋2d＝8， 解得 a1＝2， d＝－3， 或 a1＝－4， d＝3. 所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5 或 an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故 an＝－3n＋5 或 an＝3n－7. ②当 an＝－3n＋5 时，a2，a3，a1 分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当 an＝3n－7 时，a2，a3，a1 分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件． 故|an|＝|3n－7|＝ －3n＋7，n＝1，2， 3n－7，n≥3. 记数列{3n－7}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝n[－4＋3n－7] 2 ＝3 2n2－11 2 n. 当 n≤2 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－3 2n2＋11 2 n， 当 n≥3 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－ 2S2＝3 2n2－11 2 n＋10， 综上知：Tn＝ －3 2n2＋11 2 n n≤2， 3 2n2－11 2 n＋10 n≥3.