2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用（测）（解析版） 12页

专题15 分段函数的性质、图象以及应用测试卷 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1. 设函数，则( )‎ A．9 B．11‎ C．13 D．15‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数，∴=2+9=11．‎ ‎【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题．‎ ‎2. 已知函数则下列结论正确的是 A．是偶函数 B．是增函数 C．是周期函数 D．的值域为 ‎【答案】D ‎【解析】，所以函数不是偶函数，排除A；因为函数 在上单调递减，排除B；函数在上单调递增，所以函数不是周期函数，选D．‎ ‎3、已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象如图：若函数存在零点，‎ 则实数a的取值范围是(0，+∞)．‎ ‎【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力．‎ ‎4. 已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)= ‎ A．−2 B．−1 C．0 D．2‎ ‎【解析】D ‎【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以 ‎．而，所以，故选D．‎ ‎5.【2019届高三五省优创名校联考】已知为定义在上的奇函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由奇函数的性质结合题意可知函数是定义在R上的单调递增函数，不等式即：，即，结合函数的单调性可得：，求解不等式可得不等式的解集为.‎ ‎6.已知函数，若则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得函数为单调递增函数，又，所以，即，解得，故选D.‎ ‎7.已知函数，若方程 恰好有2个不同的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，即函数与函数的图象有两个不同的交点，函数恒过定点，当时，，此时函数与函数有一个的交点，不符合题意当时，函数是一开口向下，且恒过定点的二次函数，此时函数与函数有两个不同的交点，当时，函数是一开口向上，且恒过定点，对称轴的二次函数，当与时，易求得切点为，，要使函数与函数有两个不同的交点，需要，综上所述，的取值范围为 ‎8、已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以当时，单调递增，故；‎ 当时，，当且仅当，即时，取等号，综上可得，.又因为存在实数，使得成立，所以只需，即，解得.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数，使得成立，转化为是解题的关键，属于常考题型.‎ ‎9、 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为当时， ，且的值域为，所以当时， 的值域包含，即的最大值不小于0，所以，解得，故选C. ‎ ‎10. 已知符号函数 是上的增函数，，则 ‎ A． 　 B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是 上的减函数，由符号函数知，.‎ ‎11.【福建省惠安惠南中学2019届高三月考】已知函数，若且，‎ 则n-m的最小值为( )‎ A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出函数的图象如下，‎ ‎，且，可得，，即为，可得，，‎ ‎，令，则 当时，，递减；当时，，递增．则在处取得极小值，也为最小值，‎ ‎12. 【2019届江西省抚州市临川区第一中学高三质检测】已知函数现有如下说法：①函数的单调递增区间为和；②不等式的解集为；‎ ‎③函数有6个零点．则上述说法中，正确结论的个数有( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】如图，单调递增区间为，所以①正确；‎ 作，交函数图象于，由图知，②正确；‎ 令，则时， ，则，由对勾函数图象可知，只有四个解，则③错误。所以正确的有2个，故选C.‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13. 已知函数是奇函数，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数是奇函数，所以，解得.‎ 所以，.故答案为：‎ ‎14. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，由可得，则，则。‎ ‎15.【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知函数的值域为R，则实数a的最大值是______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意，当时，.因为的值域为R，则当时，，‎ 因为在上单调递增，则，即，所以，所以的最大值为2.‎ ‎16、已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是______．‎ ‎【解析】根据题意，作出的大致图象，如图所示，当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．‎ 三、解答题题(5*12=60分)‎ ‎17. 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.‎ ‎(1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；‎ ‎(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.‎ ‎(2)f(x)＝x|x－4|＝ f(x)的图象如图所示．‎ ‎(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．‎ ‎(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，‎ 即方程f(x)＝a只有一个实数根，所以a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎18. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为(单位：分钟)，‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；‎ 当时，若，即，解得(舍)或；‎ ‎∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．‎ 因此人均通勤时间，‎ 整理得：，则当，即时，单调递减；当时，单调递增．‎ 实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．‎ ‎19. 已知是定义在上的奇函数，且当时, .‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)当时，则,∴，∵是奇函数，∴．‎ 又当时， ，∴ ．‎ ‎(2)由，可得．‎ ‎∵是奇函数，∴.又是减函数，‎ 所以对恒成立. 令，‎ ‎∴对恒成立.令， ，‎ ‎∴ 解得．∴实数的取值范围为．‎ ‎20. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．‎ ‎(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；‎ ‎(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？‎ ‎【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①‎ 由销量图易得Q＝代入①式得 L＝ ‎(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；当20