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- 2021-06-11 发布
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课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变换
(分A、B卷,共2页)
A卷:夯基保分
一、选择题
1.(2015·洛阳统考)已知sin 2α=,则cos2=( )
A.- B.-
C. D.
2.(2015·青岛二模)设tan=,则tan=( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
3.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,3),则tan=( )
A.- B.
C. D.-
4.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( )
A. B.-
C. D.-
5.cos·cos·cos=( )
A.- B.-
C. D.
6.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7.(2014·山东高考)函数y=sin 2x+cos2x的最小正周期为________.
8.若锐角α、β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β=________.
9.的值为________.
10.=________.
三、解答题
11.已知函数f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若sin α=,且α∈,求f.
12.已知,0<α<<β<π,cos=,sin(α+β)=.
(1)求sin 2β的值;
(2)求cos的值.
B卷:增分提能
1.已知0<α<<β<π,tan=,cos(β-α)=.
(1)求sin α的值;
(2)求β的值.
2.已知向量a=(sin ωx,cos ωx),b=(cos φ,sin φ),函数f(x)=a·b的最小正周期为2π,其图象经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知α,β∈,且f(α)=,f(β)=,求f(2α-β)的值.
3.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的取值范围.
答案
A卷:夯基保分
1.选D ∵cos2==,∴cos2=.
2.选C 因为tan==,所以tan α=,故tan==-4.故选C.
3.选D 依题意,角α的终边经过点P(2,3),
则tan α=,tan 2α==-,
于是tan==-.
4.选D cos 2α=sin=sin
=2sincos
代入原式,得
6sincos=sin,
∵α∈,∴cos=,
∴sin 2α=cos
=2cos2-1=-.
5.选A cos·cos·cos
=cos 20°·cos 40°·cos 100°
=-cos 20°·cos 40°·cos 80°
=-
=-
=-
=-=-=-.
6.选D 依题意有
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=,
又0<β<α<,∴0<α-β<,
故cos(α-β)==,
而cos α=,∴sin α=,
于是sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=.
故β=.
7.解析:y=sin 2x+cos 2x+=sin+,所以其最小正周期为=π.
答案:π
8.解析:由(1+tan α)(1+tan β)=4,
可得=,即tan(α+β)=.
又α+β∈(0,π),所以α+β=.
答案:
9.解析:原式=
=
====1.
答案:1
10.解析:原式=
==
===-4.
答案:-4
11.解:(1)f=cos2+sincos =2+×=.
(2)因为f(x)=cos2x+sin xcos x=+sin 2x
=+(sin 2x+cos 2x) =+sin,
所以f=+sin
=+sin =+sin .
又因为 sin α=,且α∈,
所以cos α=-,
所以f=+
=.
12.解:(1)法一:∵cos=coscos β+sinsin β
=cos β+sin β=,
∴cos β+sin β=,∴1+sin 2β=,∴sin 2β=-.
法二:sin 2β=cos=2cos2-1=-.
(2)∵0<α<<β<π,
∴<β-<π,<α+β<,
∴sin>0,cos(α+β)<0.
∵cos=,sin(α+β)=,
∴sin=,cos(α+β)=-.
∴cos=cos
=cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin
=-×+×=.
B卷:增分提能
1.解:(1)∵tan=,
∴tan α===,
由
解得sin α=.
(2)由(1)知cos α== =,
又0<α<<β<π,∴β-α∈(0,π),
而cos(β-α)=,
∴sin(β-α)== =,
于是sin β=sin[α+(β-α)]
=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)
=×+×=.
又β∈,∴β=.
2.解:(1)依题意有f(x)=a·b=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ).
∵函数f(x)的最小正周期为2π,
∴2π=T=,解得ω=1.
将点M代入函数f(x)的解析式,
得sin=.
∵<φ<π,∴<+φ<,
∴+φ=,∴φ=.
故f(x)=sin=cos x.
(2)依题意有cos α=,cos β=,而α,β∈,
∴sin α= =,sin β= =,
∴sin 2α=2sin αcos α=,
cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
∴f(2α-β)=cos(2α-β)
=cos 2αcos β+sin 2αsin β
=×+×=.
3.解:(1)∵角α的终边经过点P(-3,),
∴sin α=,cos α=-,tan α=-.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.
(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R,
∴g(x)=cos-2cos2x=sin 2x-1-cos 2x=2sin-1,
∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.
∴-≤sin≤1,∴-2≤2sin-1≤1,
故函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的取值范围是[-2,1].