四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（文）试题 9页

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试 文科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数满足，则复数的虚部为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“”的否定形式是 ‎ A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎3.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（，）的线性回归方程为，则的值为 A. -3 B. -5 C. -2 D. -1‎ ‎4．双曲线上点到左焦点的距离是，则到右焦点的距离是 ‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 ‎ A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨 ‎6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是 参考公式：附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50‎ C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”‎ D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”‎ ‎7．“”是“函数为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．圆上的点到直线的距离的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎9.已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数a的取值范围是 ‎ A． B. C. D. ‎ ‎10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎11．设，是抛物线上两点，抛物线的准线与轴交于点，已知弦的中点的横坐标 为3，记直线和的斜率分别为和，则的最小值为 A． B．2 C． D．1‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则a=‎ A．2 B． C．4 D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若函数在处取得极值，则实数______．‎ ‎14．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________‎ ‎15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）‎ ‎16．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）已知函数（），.‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）若函数， ，求的单调区间和最小值.‎ ‎18．（12分）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：‎ 场数 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 人数 ‎10‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ 将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？‎ 非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 ‎（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：K2=．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ‎（I）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（II）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的 体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎20．（12分）已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.‎ ‎(I)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；‎ ‎(II)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知函数 ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）当时，对任意的，都有 ‎，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎（I）求曲线C和直线的直角坐标系方程；‎ ‎（II）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求证：； （II）求不等式的解集．‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试 文科数学参考答案 ‎1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．C 10．A 11．D 12．C ‎13． 14. 15．6 16．‎ ‎17．（1）因为，由即，得，‎ 则的解析式为，即有， ‎ 所以所求切线方程为.‎ ‎（2）∵，∴，由，得或，‎ 由，得，∵，‎ ‎∴的单调增区间为，减区间为，∵，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎18．（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：‎ 非歌迷 歌迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎…（3分）‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ K2==≈3.030‎ 因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2．‎ Ω由10个等可能的基本事件组成．…（9分）‎ 用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2） }，事件A由7个基本事件组成．‎ ‎∴P（A）= …（12分）‎ ‎19．（1）由已知，得,.‎ 由于，故，从而平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）在平面内作，垂足为.‎ 由（1）知，平面，故，可得平面.‎ 设，则由已知可得，.‎ 故四棱锥的体积.‎ 由题设得，故.从而，，.‎ 可得四棱锥的侧面积为 ‎20．解：(1)由已知可得直线与轴的交点坐标，所以①，‎ 又②，由①②解得，，所以椭圆C的方程为．‎ ‎(2)设，，由得，‎ 由，又，解得 ①，‎ 由根与系数关系，得，‎ 由，可得，，‎ ‎，‎ 设是的中点，则，‎ 由已知可得，即，‎ 整理得， ‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，即，所以 ②，‎ 综上所述，由①②得a的取值范围为．‎ ‎21．（1）定义域为，，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，由解得，由解得，‎ 即在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；‎ 当时，的单调增区间为，减区间为 ‎（2），即，‎ 令，则可知函数在上单调递增，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，只需，而函数在单调递增，‎ 所以，综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎22．（1）由题知，，消去有，‎ 即曲线，因为，‎ 即直线；‎ ‎（2）易知点在直线上，且直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（t为参数），‎ 因为直线与曲线C相交于A，B两点，‎ 所以有，解得，，‎ 根据参数的几何意义有，,‎ 有，，.‎ ‎23．（1）证明：．‎ ‎（2）所以或或 解得，故解集为．‎