数学理卷·2018届山东省沂水县第一中学高三下学期模拟考试（二）（2018 16页

沂水县第一中学2018届高三下学期模拟考试（二）‎ 理科数学 本试卷共5页，满分l50分。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第I卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数满足，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知集合 A． B． C． D． ‎ ‎3．函数是 A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 ‎4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎6．设，则a，b，c的大小关系是 A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c ‎7．“m＜0”是“函数存在零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知A，B是圆上的两个动点，，若M是线段AB的中点，则的值为 A． B． C．2 D．3‎ ‎10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=‎ A．26 B．44 C．68 D．100‎ ‎11．如图所示，在平面四边形ABCD中，为正三角形，则面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数的取值范围是 A. B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知实数x，y满足的最小值为___________．‎ ‎14．若二项式的展开式中的常数项为m，则___________．‎ ‎15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率__________．‎ ‎16．若函数满足：对于图象上任意一点P，总存在点也在图像上，使得成立，称函数是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：‎ ‎①；②；②；③；⑤．（其中e为自然对数底数）其中是“特殊对点函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号)‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的公差d>0，其前n项和为成等比数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前n项和。‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图所示的几何体ABCDE中，平面EAB,CB//DA,EA=DA=AB=2CB, ,M是线段EC上的点（不与端点重合），F为线段DA上的点，N为线段BE的中点.‎ ‎（I）若M是线段EC的中点，AF=3FD，求证：FN//平面MBD；‎ ‎（II）若，二面角余弦值为，求的值.‎ ‎19.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）的解决下列问题：‎ ‎（I）求出的值；‎ ‎（II）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，设所抽取的2人中来自第5组的人数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的焦距为，且C与y轴交于两点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程及离心率；‎ ‎(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围及的最大值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎(I)若函数在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；‎ ‎(II)设函数的极大值点为a，若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎(1)当时，求关于x的不等式的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围．‎ ‎ 理科数学参考答案 ‎ 一、选择题：‎ CDABD DAADB DC ‎1．解析：答案C, ，。‎ ‎2. 解析：答案D, ，，[，4]‎ ‎3.解析：答案A，=, ‎ ‎4.解析：答案B,由已知，‎ 所以.‎ 5． 解析：答案D 由题意知，试验发生包含事件是从数字中任取两个不同的数字，构 成一个两位数，共种结果.满足条件的事件可以列举出：‎ ‎，共有个，根据古典概型的概率公式，得到 ‎，故选D．‎ ‎6．解析：答案D ，故选D ‎7．解析：答案A 由图像平移可知，函数必有零点；当函数有零点时，，故选A.‎ ‎8．解析:答案A 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选 ‎9．解析：答案D 由，‎ 所以，‎ 又为等边三角形，所以.故答案选D ‎10．解析：答案B 第一次运行，，,不符合，继续运行，第二次运行，，,不符合，继续运行，第三次运行，，,不符合，继续运行，第四次运行，，,不符合，继续运行，第五次运行，，,不符合，继续运行，第六次运行，，,符合，输出，故选择B.‎ ‎11．解析：答案D 在中，设，，由余弦定理得：，∵为正三角形，∴，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得： ，∴‎ ‎∴‎ ‎∵β<∠BAC，∴β为锐角，‎ ‎∴‎ ‎，当时, .‎ ‎12.解析：答案C ，表示点 与连线的斜率. ‎ 当与圆的切线重合时取最小值，可求，最小值为；‎ 当与圆的切线重合时取最大值，可求，‎ ‎ 最大值为；故的取值范围是.‎ 二、填空题：‎ ‎13.5 14. 15. 16. ②③⑤ ‎ 13． 解析:答案5 由题意可得可行域为如图所示（含边界），‎ ‎，即，则在点处取得最小值.‎ 联立解得：‎ ‎.代入得最小值5.‎ ‎14.解析：答案 二项式的展开式的通项公式为：，‎ 令，则．即有．则．‎ ‎15．解析：答案 双曲线的渐近线方程是，当时，，即，所以，即，所以，即，所以.所以.‎ ‎16.解析 答案②③⑤ 由，满足，知，即.‎ ‎① 当时，满足的点不在上，故①不是“特殊对点函数”；‎ ‎ ‎ ‎②.作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则②是“特殊对点函数”；‎ ‎③.作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则③是“特殊对点函数”；‎ ‎ ‎ ‎④.当时，满足的点不在上，故④不是“特殊对点函数”‎ ‎⑤.作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则⑤是“特殊对点函数”.‎ 答案为：②③⑤‎ 三、解答题：共70分。‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为，即,‎ 即，①‎ 因为为等比数列，则 即，化简得：② ………………………3分 联立①和②得：，.‎ 所以. ………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为. ………………8分 所以 ‎ . ………………………………………………………12分 ‎18.解：（I）证明：连接,因分别是线段，线段的中点，‎ 且 又,,‎ 又，即. ……………3分 所以四边形为平行四边形，‎ 又平面，平面 所以平面. ………………………………………………………5分 ‎（II）由已知，分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设,则 平面的一个法向量为，‎ 平面的法向量为，‎ 则有,，,‎ ‎,所以，‎ 令. …………………9分 因为平面与平面所成二面角的余弦值为，‎ 所以，‎ 解之得，或.‎ 又因为平面与平面所成二面角为锐角，所以. …………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）由题意可知，，解得=0.04； ………………………3分 ‎∴[80，90）内的频数为2×2=4，‎ ‎∴样本容量，=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16；‎ 又[60，70）内的频率为，∴；……………………………6分 ‎（Ⅱ）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，‎ ‎∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，. ………………9分 ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴ ……………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意可得，，所以,，‎ ‎ 椭圆的标准方程为. …………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设，，， ‎ 所以，直线的方程为，‎ 同理得直线的方程为， ‎ 直线与直线的交点为，‎ 直线与直线的交点为，线段的中点，‎ 所以圆的方程为. ………………………8分 令，则， 因为，所以，‎ 因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解，‎ 则，又0，解得． ………………………10分 设交点坐标，则，‎ 所以该圆被轴截得的弦长最大值为1． …………………………………………12分 解法二:直线的方程为，与椭圆联立得：，，‎ 同理设直线的方程为可得，‎ 由，可得，‎ 所以，，的中点为，‎ 所以为直径的圆为.…………………8分 时，，‎ 所以，‎ 因为为直径的圆与轴交于两点，所以，‎ 代入得：，所以， ‎ 所以在单增，在单减，所以.………10分 ‎,‎ 当且仅当即取等号，所以的最大值为.………………………12分 ‎21．解析：（Ⅰ），‎ 由定义域内为增函数，所以在上恒成立，‎ 所以即，对任意恒成立，‎ 设 易知，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，所以，即. ……………………5分 ‎（Ⅱ）函数的定义域为，因为，‎ 令，解得，当时，，‎ 当时，，‎ 所以为的极大值，也是最大值，， ……………………………7分 依题意， ，即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则是上的增函数，即，‎ ‎①当时， ，所以，因此是上的增函数，‎ 则，因此时， 成立， ………………9分 ‎②当时， ，得，‎ 求得，（由于，所以舍去）‎ 当时， ，则在上递减，‎ 当时， ，则在上递增，‎ 所以当时， ，‎ 因此时， 不可能恒成立，‎ 综合上述，实数的取值范围是． ……………………12分 ‎22．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为， ……………………………2分 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为： ． ……………………………5分 ‎（Ⅱ）设两点的极坐标分别为,‎ 由消去得， ……………………………7分 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ……………………………10分 ‎23.解：（Ⅰ）当时，不等式为，‎ 若，则，即， ……………………………2分 若，则，舍去，‎ 若，则，即，综上，不等式的解集为.…………5分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以， ……………………………8分 得到的最小值为，又，所以. ……………………10分