2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 9页

第十二节　导数与函数的极值、最值 [考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函 数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数不超过三次)． (对应学生用书第 34 页) [基础知识填充] 1．函数的极值与导数 (1)极值点与极值 设函数 f(x)在点 x0 及附近有定义，且在 x0 两侧的单调性相反或导数值异号， 则 x0 为函数 f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值． (2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则 x0 为极大值点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则 x0 为极小值点． (3)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值． 2．函数的最值与导数的关系 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值． [知识拓展] 1．对于可导函数 f′(x)，f′(x)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要不充分条 件． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究 其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像 观察得到函数的最值． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图像 如图 2­12­1 所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　) 图 2­12­1 A．1 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4 A　[导函数 f′(x)的图像与 x 轴的交点中，左侧图像在 x 轴下方，右侧图像在 x 轴上方的只有一个，所以 f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系 式为 y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13 万件 B．11 万件 C．9 万件 D．7 万件 C　[y′＝－x2＋81，令 y′＝0 得 x＝9 或 x＝－9(舍去)． 当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0， 则当 x＝9 时，y 有最大值． 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件．]　 4．(2016·四川高考)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 D　[由题意得 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝0 得 x＝±2，∴当 x<－2 或 x>2 时， f′(x)>0；当－2