2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二上学期第二学段考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二上学期第二学段考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用直线的斜率公式，即可求解经过两点的直线的斜率，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线经过点和点，则直线的斜率是，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．若两直线的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A．若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B．若=，则两直线的斜率：k1= k2‎ C．若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D．若两直线的斜率：k1= k2 ，则=‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，表示出斜率和角之间的关系，根据正切在之间的定义域和单调性的关系，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，‎ 所以，且，‎ 根据正切在之间的定义域和单调性的关系，‎ 可得，对于A中，当，此时，所以不正确；‎ 对于B中，当，此时斜率不存在，所以不正确；‎ 对于C中，当，此时，所以不正确；‎ 对于D中，当，此时，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜率与倾斜角的关系，其中解答中正确理解直线的斜率与倾斜角的关系，合理运用正切函数性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（　　）‎ A．3x+4y+5=0 B．3x+4y﹣5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出直线与坐标轴的交点，分别求得关于轴的交点，即可求解直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 令，则，可得直线与轴的交点为，‎ 令，则，可得直线与轴的交点为，‎ 此时关于轴的对称点为，‎ 所以与直线关于轴对称的直线经过两点，‎ 其直线的方程为，化为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知平面，点,直线，则直线AB与 的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，当点时，此时直线与相交；当点时，此时直线与是异面直线，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，当点时，此时直线与相交；‎ 当点时，此时直线与是异面直线，所以与是相交直线或是异面直线，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两条直线的位置关系的判定，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎5．平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则与的位置关系为（ ）‎ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 ‎【答案】C ‎【解析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到与的位置关系，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，若三点分布在平面的同侧，此时平面平面；‎ 若三点分布于平面的两侧时，此时平面与平面相交，‎ 综上可知，平面与平面平行或相交，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎6．直线被圆截得的弦长为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，求得圆心，半径为，得到圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆，可得圆心，半径为，‎ 又由圆心到直线的距离，‎ 由圆的弦长公式，可得弦长，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练求解圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7．若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如图所示：‎ 联立，解得.‎ 由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，的截距最大，则目标函数的最大值为.‎ 故选C.‎ 点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在 轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎8．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ）‎ ‎①存在一条直线；‎ ‎②存在一个平面；‎ ‎③存在两条平行直线；‎ ‎④存在两条异面直线.‎ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：对①，由线面垂直的性质知①能推出，对②，如教室的墙角的两墙面都与底面垂直，则这两个墙面不平行；对③由图3知，，但相交，故③推不出，结合选项，排除A，B，D,故选C.‎ ‎【考点】空间线面、面面平行垂直的判定与性质 ‎9．若圆与圆外切，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式，即可求解答案．‎ ‎【详解】‎ 由圆，得到圆心坐标，半径为，‎ 由圆，得到圆心坐标，半径为，‎ 圆心与圆外切，所以，‎ 解得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合理应用，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.‎ 故选A.‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎11．如果圆x2+y2+2m(x+y)+2m2﹣8=0上总存在到点(0,0)的距离为的点，则实数m的取值范围是（ ）‎ A .[﹣1，1] B.（﹣3，3） ‎ ‎（﹣3，﹣1）∪（1，3） D.[﹣3，﹣1]∪[1，3]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程知圆心为，半径，设圆上的点到坐标原点的距离为 ‎．其中圆上总存在两个点到原点的距离为．则，所以或，则，即，解得或．故本题答案选．‎ 点睛：直线与圆的位置关系判断：(１)几何法：利用圆心到直线的距离以及圆的半径的大小关系判断．(２)代数法：将直线与圆的方程联立，利用得到的一元二次方程的判别式．(３)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．‎ ‎12．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是　(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABD ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又平面⊥平面，平面∩平面, 平面，‎ 所以⊥平面，‎ 又平面，‎ 所以平面⊥平面。选D。‎ 二、填空题 ‎13．如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：球的体积公式为：。令两球的半径为，，则两球体积之比，求得两球半径之比。由球表面积公式得，两球表面积之比。‎ ‎【考点】球的体积公式；球表面积公式。‎ 点评：本题属于简单题目，需熟悉公式。‎ ‎14．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求解面积，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直观图的面积为,‎ 因为直观图和原图面积之间的关系为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜二测画法及斜二测画法中原图与直观图面积之间的联系及应用，其中熟记斜二测画法的规则和原图与直观图面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则= . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，连接，在直角三角形中，所以，‎ ‎，，故.‎ ‎【考点】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.‎ ‎16．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为____________． （填体积小与体积大之比）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，且，连接，则多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积之和，多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积和，找出多面体的体积的关系，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 如图，因为四边形为平行四边形，所以，且，‎ 所以平面，又平面，平面平面，‎ 所以,则，‎ 因为P为的中心，所以，‎ 而，所以，‎ 连接，‎ 则多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积和，‎ 多面体的体积等于四棱锥的体积与三棱锥的体积和．‎ 因为四棱锥的高是四棱锥的高的2倍，底面积相等，‎ 所以四棱锥的体积是四棱锥的体积的2倍；‎ 因为三棱锥的底面是三棱锥的底面面积的倍，高是3倍，‎ 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的4倍，‎ 设论证的体积为，则三棱锥的体积为，四棱锥的体积是，所以多面体的体积是，‎ 又多面体的体积等于，‎ 所以多面体的体积与多面体的体积比等于.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间几何体的结构特征，几何体的体积的应用问题，其中解答中合理利用椎体的体积公式，以及多面体的结构特征，合理转化与计算是解本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．‎ ‎（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；‎ ‎（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）3x﹣y﹣5=0； （2）x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0.‎ ‎【解析】（1）联立方程组，求得交点的坐标P，根据与直线垂直，求解所求直线的斜率，利用点斜式方程，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知直线l过P（2，1），分类讨论，利用点到直线的距离公式，列出方程即可求解求解，即可求解直线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 ，解得P（2，1），‎ 由于l与x+3y﹣1=0垂直，‎ 则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），‎ 即3x﹣y﹣5=0；‎ ‎（2）由（1）知直线l过P（2，1），‎ 若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，‎ 故直线l的斜率一定存在，‎ 设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，‎ 由题意得，解得：k=﹣1或k=﹣，‎ 故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，以及两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记直线的点斜式方程，合理利用点到直线的距离，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）取PD的中点H,易证得AMNH为平行四边形，从而证得MN∥AH，即证得结论；‎ ‎（2）由平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA，利用中位线定理可确定位置.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图,取PD的中点H, ‎ 连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.‎ 由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC ‎. ‎ ‎∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,‎ 知MN∥平面PAD.‎ ‎(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.‎ 即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行及面面平行的证明，属于基础题.‎ ‎19．中，顶点，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．‎ ‎（1）求AB边所在直线的方程；‎ ‎（2）求AC边的中线所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）据题意，AB边上的高所在直线方程，求得斜率，再由直线的点斜式方程，即可求解；‎ ‎（2）联立方程组，求解交点A的坐标和线段AC的中点，即可求解AC边的上的中线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意，AB边上的高所在直线方程为 所以 AB边所在直线的方程为，即.‎ ‎（2）联立 ，则AC的中点，‎ 则AC边的中线所在直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中熟记直线的点斜式方程，以及两条直线的位置关系的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，设中点分别是，连接先证明 ‎，再证明 平面 .(2)第（2）问，先找到与平面所成角，再转化与平面所成角的正弦值为，再利用公式法求四棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ 证明：(I)设中点分别是，连接则，‎ ‎，为平行四边形，‎ ‎， 平面，平面，∴平面.‎ ‎（II）,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又正方形ABED中 BD=，‎ ‎ .‎ 又S梯形ABCD=，‎ ‎.‎ ‎21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．‎ ‎（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解 试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．‎ 故由，解得： ．‎ 故当，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．‎ ‎（2）设M；N，‎ 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，‎ 可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由，解得 k=1，‎ 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 ‎22．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）在中为中点，所以，又由侧面，利用面面平行的性质定理，即可证得平面．‎ ‎（2）由（1），设点到平面的距离，利用 ，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中为中点，所以．‎ 又侧面，平面平面平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）由（1）得，在中，，‎ 所以．又 设点到平面的距离，由 ‎ 得，即 ，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等积法求解点到平面的距离，其中解答中熟记线面垂直的判定定理，以及合理利用“等积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎