数学理卷·2018届山西省太原五中高三3月阶段性练习（2018 20页

‎ 太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性练习 高 三 数 学(理)‎ 命题： 刘锦屏 李廷秀 (2018.3.28)‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）‎ A．{（﹣1，1）} B．[0，+∞） C．（﹣1，1） D．∅‎ ‎2．给出下列两个命题：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则|MA|≤1的概率为．命题q：若函数f（x）=x+，（x∈[1，2）），则f（x）的最小值为4．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎3．不等式|lox﹣4i|≥|3+4i|成立时x的取值范围是（　　）‎ A． B．（0，1]∪[0，+∞） ‎ C．∪[8，+∞） D．（0，1）∪（8，+∞）‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输入非负数x，y，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在打开4个此类红包，则他获奖的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为 B．函数f（x）的图象关于点对称 C．函数f（x）在区间上是增函数 D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象 ‎7．已知直线和圆x2+y2=r交于A，B两点，O为原点，若，则实数r=（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A． B．8π C．9π D．‎ ‎9．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（山西初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．9‎ ‎10．已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．1 D．0‎ ‎11．已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B． C． D．‎ ‎12．设函数f（x）=（x﹣a）2+（ln x2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤b成立，则实数b的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13. 已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　 ．‎ ‎14. 若，则=　 ．‎ ‎15．在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=　 ．‎ ‎16．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为an．则=　 ‎ 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 的内角的对边分别是，满足.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求.‎ ‎18.（本小题满分12分)‎ 某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.‎ ‎（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率； （2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.‎ 19. ‎(本小题满分12分) ‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，AB//CD，，是上的点．‎ ‎（1）求证：平面平面； ‎ ‎（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值． ‎ 20. ‎(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆C的中心在原点，离心率为，圆E：(x－1)2＋y2＝1的圆心是椭圆C的一个焦点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P，使|MN|＝？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ ‎ ‎ 19. ‎ (本小题满分12分) ‎ 设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）‎ ‎①求实数a的取值范围；‎ ‎②‎ 请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ 22. ‎（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求与的直角坐标方程;‎ ‎（2）若与的交于P点，与交于A、B两点，求的面积．‎ 23. ‎（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设关于的不等式的解集为，且，求a的取值范围.‎ ‎ 太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性练习 高 三 数 学(理)‎ 命题： 刘锦屏 李廷秀 (2018.3.28)‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）‎ A．{（﹣1，1）} B．[0，+∞） C．（﹣1，1） D．∅‎ 解：∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，‎ ‎∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：B．‎ ‎2．给出下列两个命题：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则|MA|≤1的概率为．命题q：若函数f（x）=x+，（x∈[1，2）），则f（x）的最小值为4．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ 解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：‎ 其中满足动点M到定点A的距离|MA|≤1的平面区域如图中阴影所示：‎ 则正方形的面积S正方形=1阴影部分的面积为，‎ 故动点P到定点A的距离|MA|≤1的概率P=．‎ 故命题p为真命题．对于函数f（x）=x+，x∈[1，2），‎ 则f′（x）=1﹣=＜0，则f（x）在区间[1，2）上单调递减，‎ f（x）＞f（2）=4，故命题q为假命题．‎ 所以：p∧q为假命题；￢p假命题；p∧（￢q）是真命题；（￢p）∧（￢q）是假命题；故选：C．‎ ‎3．不等式|lox﹣4i|≥|3+4i|成立时x的取值范围是（　　）‎ A． B．（0，1]∪[0，+∞） ‎ C．∪[8，+∞） D．（0，1）∪（8，+∞）‎ 解：∵|lox﹣4i|≥|3+4i|==5，‎ ‎∴（）2+42≥25，∴（）2≥9，∴或，‎ 解得或x≥8．故不等式|lox﹣4i|≥|3+4i|成立时x的取值范围是∪[8，+∞）．故选：C．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输入非负数x，y，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解：当时，由线性规划的图解法知，画出可行域如图：‎ 目标函数S=2x+y的最大值为2，‎ 否则，S的值为1．‎ 所以输出的S的最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎5．某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在打开 ‎4个此类红包，则他获奖的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解：小明现在打开4个此类红包，基本事件总数n=3×3×3×3=81，‎ 他获奖包含的基本事件个数m==36，∴他获奖的概率p==．‎ 故选：C．‎ ‎6．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为 B．函数f（x）的图象关于点对称 C．函数f（x）在区间上是增函数 D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象 解：函数，‎ ‎∵，即2sinφ=，∵φ ∴φ=‎ 又∵函数f（x）的图象关于直线对称，‎ ‎∴，k∈Z．可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．‎ ‎∴ω=2．∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣）．‎ 最小正周期T=，∴A不对．当x=时，可得y≠0，∴B不对．‎ 令﹣2x﹣，可得，∴C不对．‎ 函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D项正确．‎ 故选D ‎7．已知直线和圆x2+y2=r交于A，B两点，O为原点，若，则实数r=（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ 解：过圆心O作OC⊥AB，连接OA，则C为AB的中点，‎ ‎∴AO•cos∠BAO=AC=AB，‎ 由点到直线的距离公式可得：OC==，‎ ‎∴=AO•AB•cos∠BAO=AB2=，‎ ‎∴AB=，故AC=，∴r=OA==1．‎ 故选：C．‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A． B．8π C．9π D．‎ 解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，‎ 设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，‎ 依题意，‎ ‎∴球的半径，‎ ‎∴该几何体外接球的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎9．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（山西初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．9‎ 解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；‎ 由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，‎ 乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，‎ 若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，‎ 则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，‎ 则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，‎ 当且仅当b=2a=时，的最小值为．‎ ‎10．已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．1 D．0‎ 解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（2，0），‎ ‎•=（﹣1﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2﹣x﹣2+y2，‎ 又x2﹣=1，故y2=3（x2﹣1），‎ 于是•=4x2﹣x﹣5=4（x﹣）2﹣5﹣，‎ 当x=1时，取到最小值﹣2；故选A．‎ 故选：A．‎ ‎11．已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B． C． D．‎ 解：∵函数f（x）=ax+bcosx+csinx，b2+c2=1，‎ ‎∴f′（x）=a+ccosx﹣bsinx=a﹣sin（x﹣φ），其中tanφ=，‎ 则f′（x）∈[a﹣1，a+1]，‎ 若存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，‎ 则存在k1，k2∈[a﹣1，a+1]，使k1k2=﹣1，‎ 由（a﹣1）（a+1）=a2﹣1≥﹣1得：a=0，‎ 则a+c=c=sin（φ+θ），其中tanθ=，‎ 故a+c∈[﹣，]，‎ 故选：B．‎ ‎12．设函数f（x）=（x﹣a）2+（ln x2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤b成立，则实数b的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 解：函数f（x）可以看作动点P（x，ln x2）与点Q（a，2a）的距离的平方，点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得y′=，令y′=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M（1，0），所以点M（1，0）到直线y=2x的距离d==即为直线与曲线之间最小的距离，故f（x）min=d2=．‎ 由于存在x0使得f（x0）≤b，则f（x）min≤b，即b≥，‎ 故选：C．‎ 二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13. 已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　　．‎ 解：由的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，‎ 令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，‎ 因此原式为 ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎14. 若，则=　　．‎ 解：，则：=，‎ ‎==．故答案为：．‎ ‎15．在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=　　．‎ 解：根据题意，如图△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，‎ 有=+=+=+（﹣）=+，‎ ‎=+=+=+（﹣）=+，‎ 则=（+）•（+）=2+2+•=；‎ 即=；‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为an．则=　　‎ 解：根据分析，可得 a2=3=3×（2﹣1），a3=6=3×（3﹣1），a4=9=3×（4﹣1），‎ a5=12=3×（5﹣1）…，an=3（n﹣1），‎ 数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为an=3（n﹣1）（n≥2）；‎ 所以==（﹣），‎ 则 ‎=9××（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=1﹣=，‎ 故答案为：．‎ 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ ‎ （1）由余弦定埋，得，‎ 又，得，因为，所以，‎ 由三角形面积公式，‎ ‎（2）法一：由，得 结合余弦定理，得 因为，则 ‎ 结合正弦定理，，得 ‎ 因为，得 整理得： ‎ 因为，‎ 所以，即 法二: ‎ 整理得：‎ 由，得 整理得：‎ 18. ‎（本小题满分12‎ ‎(1) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，‎ 用表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即～，‎ 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率. …………4分 ‎(2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，. ………………5分 ‎，，，‎ ‎……， ， . ………………7分 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎…………8分 的数学期望为：‎ ‎， (1)‎ ‎. (2)‎ ‎(1)－(2)得：‎ ‎…………10分 ‎，‎ ‎.‎ 所以. ………………12分 19. ‎(本小题满分12分) ‎ ‎（1） ‎ ‎,又…………4分 ‎．………5分 ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，,‎ 设（），则， ‎ ‎，，，．．．．．．．6分 取 则，∴为面的法向量 设为面的法向量，则，‎ 即，取，，，则，．．．．．．．．．．．．．． 8分 依题意，，则 ．．．．．．．．．．．．．．．9分 于是，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设直线与平面所成角为，则，‎ ‎,则直线与平面所成角的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. ‎(本小题满分12分 ‎(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 且半焦距c＝1.‎ 因为椭圆的离心率为，则＝，即a＝c＝.(3分)‎ 从而b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(4分)‎ ‎(2)设点P(x0，y0)(x0<0)，M(0，m)，N(0，n)，‎ 则直线PM的方程为y＝x＋m，即(y0－m)x－x0y＋mx0＝0.(5分)‎ 因为圆心E(1，0)到直线PM的距离为1，则＝1，‎ 即(y0－m)2＋x＝(y0－m)2＋2x0m(y0－m)＋xm2，即(x0－2)m2＋2y0m－x0＝0.‎ 同理，(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0.(6分)‎ 由此可知，m，n为方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个实根，‎ 所以m＋n＝－，mn＝－.(8分)‎ ＝＝＝＝.‎ 因为点P(x0，y0)在椭圆C上，则＋y＝1，即y＝1－，则 ＝＝＝.(10分)‎ 令＝，则(x0－2)2＝9.因为x0＜0，则x0＝－1.‎ y＝1－＝，即y0＝±.故存在点P满足题设条件．(12分)‎ 21. ‎ (本小题满分12分) ‎ ‎（1）当a=2时，函数f（x）=x2﹣2x+2lnx（x＞0），‎ f′（x）=2x﹣2+=，‎ 可得f（1）=﹣1，f′（1）=2‎ ‎∴在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）=2（x﹣1），即2x﹣y﹣3=0．‎ ‎（2），（x＞0），‎ ‎①∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）．‎ ‎∴2x2﹣2x+a=0有两个不等正实根，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴实数a的范围：（0，）．‎ ‎②∵a=2x1x2=2x2（1﹣x2），1﹣x1=x2，‎ ‎∴===，（）．‎ 令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（），‎ h，∴h（t）在（）递增，‎ ‎∴．∴．‎ ‎　‎ 请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数 ‎（1）根据题意，的普通方程为 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　2分 的普通方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 ‎（2）的普通方程为，联立与，得，得，所以点P坐标(1,4) ‎ 点P到 的距离 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分 设,．将代入得 ‎ 则 ，‎ ‎ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分 ‎ ．．．．．．．．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎（1）当时，，.‎ 即或或 ‎ 解得 或 或，所以或 或.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以，所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 当时，，即，即，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 综上，的取值范围为.‎