黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试卷 8页

铁人中学2017级高二学年下学期开学考试 数学试题（理科）‎ 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 ‎ ‎2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。‎ 一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A．两次都不中靶　　 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．至多有一次中靶 ‎2.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③，其中，.其中真命题的个数是（ ）‎ A. ‎0 B. 1 C. 2 D.3‎ ‎4．当x＝2时，执行如图1-1所示的算法语句，输出的结果是(　　)‎ A．3 B．7 C．15 D．17‎ ‎5.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图1-2所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)‎ A．64 B．54 C．48 D．27‎ 图1-1 图1-2‎ ‎6.下列命题中是假命题的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)‎ A. B． C. D． ‎ ‎8.执行图1-3所示的程序框图，若输出的S是126，则①应为(　　)‎ A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?‎ ‎9．如图1-4所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线FE和BC1所成的角是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 图1-3 图1-4‎ ‎10.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)‎ A. B． C. D． ‎11.若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）‎ A.或 B.或 C.或 D.或 二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，当x＝3时，V4的值为____‎ ‎14.设某总体是由编号为01,02,...,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为______‎ ‎7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 ‎ ‎3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ ‎15.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王到校时间间隔不少于5分钟的概率为__________．(用数字作答)‎ ‎16. 椭圆的左，右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是_______‎ 三．解答题（本题共6个小题，共70分）‎ ‎17. （本题10分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．‎ ‎(1)在下面表格中填写相应的频率；‎ 分组 频率 ‎(2)试估计落在中的鱼的条数；‎ ‎(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．‎ ‎18．（本题12分）假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料:‎ 使用年限 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用 ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎(1)画出散点图；‎ ‎(2)求回归方程；‎ ‎(3)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?‎ ‎（附表:，)‎ ‎19. （本题12分）如图①在直角梯形中,∥,,,‎ 分别是线段的中点,现将△折起,‎ 使平面⊥平面(如图②) ‎ ‎(1)求证:∥平面;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎20. （本题12分） 已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.‎ ‎(1)求此椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．‎ ‎21.（本题12分）如图,在直棱柱中,∥,,,‎ ‎.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎22.（本题12分）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．‎ ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 铁人中学2017级高二学年下学期开学考试 数学（理）参考答案 一． 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B C B D D B C C B D 一． 填空题 ‎13） 789 14）01 15） 16）‎ 三．解答题 ‎17 解　(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：‎ 分组 频率 ‎0.05‎ ‎0.20‎ ‎0.28‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.02‎ ‎(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以落在[1.15,1.30)中的鱼的条数约为0.47×100=47条.‎ ‎(3)＝2 000，所以水库中鱼的总条数约为2 000.‎ ‎18. 解：(1)画出散点图如图所示.‎ ‎(2)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,两变量呈线性相关关系.‎ 可求回归方程是 =1.23x+0.08. ‎ ‎(3)由(2)知,当x=10时, =1.23×10+0.08=12.38(万元).‎ 故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元.‎ ‎19(1)证明:因为在题图①中,AP⊥CD,‎ 所以在题图②中PD⊥CD,AD⊥CD,‎ 所以∠ADP是二面角P-DC-A的平面角,‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD,所以∠ADP=90°,即PD⊥DA,‎ 又AD∩DC=D,所以PD⊥平面ABCD.‎ 如图.以D为坐标原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间 直角坐标系,‎ 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),‎ F(0,0,1),G(1,2,0).‎ 所以=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,2,-1),‎ 设平面GEF的法向量n=(x,y,z),由法向量的定义得 ‎⇒⇒⇒不妨设z=1,则n=(1,0,1),‎ 所以，·n=-2×1+0+2×1=0,所以⊥n,点P∉平面EFG,所以AP∥平面EFG.‎ ‎(2)解:由(1)知平面GEF的一个法向量为n=(1,0,1),‎ 因为平面EFD与坐标平面PDC重合,所以它的一个法向量为i=(1,0,0),‎ 设二面角G-EF-D为θ,则cosθ=‎ 由图形观察二面角G-EF-D为锐角,故二面角G-EF-D的大小为45°‎ ‎20 .解(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1，所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，‎ 则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5(*)．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，‎ ‎|PQ|＝＝ ＝2，‎ 解得m2＝，满足(*)，所以m＝±.‎ ‎21 (1)证明:易知,AB,AD,AA1两两垂直.‎ 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ 设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),‎ C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).‎ 从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).‎ 因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0.解得t=或t=-(舍去).‎ 于是=(-,3,-3),=(,1,0).‎ 因为·=-3+3+0=0,所以⊥,即AC⊥B1D.‎ ‎(2)解:由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,‎ 则即令x=1,则n=(1,-,).‎ 设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sin θ=|cos|=‎ 即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.‎ ‎22.‎ ‎ ‎ ‎    ‎