数学理卷·2019届河北省承德二中高二上学期第四次月考（2017-12） 9页

‎2017-2018年第一学期第四次月考 高二数学试卷（理科）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，考试限定用时120分钟。必须在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( )‎ A．9 B.18 C.27 D. 36【来源：全,品…中&高*考+网】3. “x＞5”是“x2－4x－5＞0”是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎4. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)‎ A．p为真 B．q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真 ‎5. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　)‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎6．执行右边的程序框图，如果输入，那么输出 ( )．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7． 若, , 则（ ）‎ ‎ A． 4 B． 15 C． 7 D． 3‎ ‎8. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 下列是x与y之间的一组数据 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则y关于x的线性回归方程 ＝ x＋ ，对应的直线必过点( 　)‎ A．(，4) B．(，2) C．(2，2) D．(1，2)‎ ‎10．在长方体A—C1中，AB=BC=2,AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线C的实轴长为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎12. 设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，‎ 则m的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二．填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的方差为 . ‎ ‎14．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．‎ ‎15. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 .‎ ‎16．如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中， 则到平面PAD的距离为 .‎ 三．解答题：（共70分，需要写出必要的解题步骤）‎ ‎17. （本题满分10分）为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.‎ ‎（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？‎ ‎（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？‎ ‎（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？‎ ‎18（本题满分12分）已知, 若 是的必要非充分条件,求实数的取值范围．‎ ‎19．(本题满分12分) 如图，已知四棱锥，底面为菱形，‎ 平面，，分别是的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎20.（本题满分12分） 设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．‎ ‎21. （本题满分12分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个顶上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b.‎ ‎(1)求事件b＝3a的概率；‎ ‎(2)求事件“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”的概率．‎ ‎22. (本题满分12分) 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.‎ ‎2017-2018年第一学期第四次月考 高二数学试卷（理科）答案 一、选择题：1-5 DBACC 6-10 BDBAD 11-12 CA 二、填空题：13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题：‎ ‎17、解　(1)∵前三组的频率和为＝<，‎ 前四组的频率之和为＝>，‎ ‎∴中位数落在第四小组内．‎ ‎(2)频率为：＝0.08，‎ 又∵频率＝，∴样本容量＝＝＝150.‎ ‎(3)由图可估计所求良好率约为：×100%＝88%.‎ ‎18、解：p真 q真 所以m的范围是 ‎19．（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．‎ 因为为的中点，所以．‎ 又，因此．‎ 因为平面，平面，所以．‎ 而平面，平面且，‎ 所以平面．又平面，‎ 所以．‎ ‎（2）解：‎ 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以 P B E C D F A y z x ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 设平面的一法向量为，‎ 则因此 取，则，‎ 因为，，，所以平面，‎ 故为平面的一法向量．‎ 又，所以．‎ 因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．‎ ‎20、解：（1）【解法1】设 ,AB 直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以  ‚ ‚-得由已知条件 所以，即直线AB的斜率k=1．‎ ‎【解法2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以 整理得：且所以k=1‎ ‎ （2）：设 所以 又 所以 所以M（2,1），，，且，‎ 即‚，设AB 直线的方程为，‎ 化简得，所以 由‚得所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7‎ ‎21、(1)由题意可知a的取值为0,1,2,3,4,5.b的取值为6,7,8,9，基本事件空间：‎ Ω＝{(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)}，共计24个基本事件．‎ 因为满足b＝3a的有(2,6)，(3,9)，共2个基本事件．‎ 所以事件b＝3a的概率为＝.‎ ‎(2)设事件B＝“点(a，b)满足a2＋(b－5)2≤9”．‎ 当b＝8时，a＝0满足a2＋(b－5)2≤9；‎ 当b＝7时，a＝0,1,2，满足a2＋(b－5)2≤9；‎ 当b＝6时，a＝0,1,2，满足a2＋(b－5)2≤9.‎ 因此满足a2＋(b－5)2≤9的有(0,6)，(0,7)，(0,8)，(1,6)，(1,7)，(2,6)，(2,7)．‎ 故所求概率为P(B)＝.‎ ‎22、解：：（1）依题意有,且，结合，,‎ 解得,所以椭圆方程为；‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 联立直线的方程和椭圆的方程，得，‎ 利用弦长公式计算，‎ 利用点到直线距离公式计算，‎ 所以，‎ 利用换元法可求得当时，面积取得最大值为，‎ 所求直线方程为.‎ ‎ ‎