- 357.20 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲
考情考向分析
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.
概念方法微思考
1.若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一样吗?为什么?
提示 不一样.因为向量有方向,而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的
夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样.
2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?
提示 不一定.当两个向量共线时,这两个向量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ )
(3)在等边三角形ABC中,向量与的夹角为60°.( × )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( × )
(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ )
(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
题组二 教材改编
2.已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
答案 (1,5)
解析 设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),
即解得
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=________.
答案 -
解析 由向量a=(2,3),b=(-1,2),
得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).
由ma+nb与a-2b共线,
得=,所以=-.
题组三 易错自纠
4.设e1,e2是平面内一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________.
答案 0
5.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=________.
答案 (-7,-4)
解析 根据题意得=(3,1),
∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
6.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.
答案 -6
解析 因为a∥b,
所以(-2)×m-4×3=0,解得m=-6.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解 (1)由题意知,A是BC的中点,
且=,由平行四边形法则,
得+=2,
所以=2-=2a-b,
=-=(2a-b)-b=2a-b.
(2)由题意知,∥,故设=x.
因为=-=(2a-b)-λa
=(2-λ)a-b,=2a-b.
所以(2-λ)a-b=x.
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
得解得
故λ=.
思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
(3)强化平行向量基本定理的应用.
跟踪训练1 在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________.
答案
解析 ∵=+,
∴3=2+,
即2-2=-,
∴2=,
即P为AB的一个三等分点,如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴=x+(1-x)
=+(x-1),
而=-,∴=+.
又=-=-+,
由已知=t,可得
+=t,
又,不共线,
∴解得t=.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )
A.(2,0) B.(-3,6)
C.(6,2) D.(-2,0)
答案 A
解析 设N(x,y),则(x-5,y+6)=(-3,6),
∴x=2,y=0.
(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,a=mb+nc(m,n∈R),则m+n=________.
答案 -2
解析 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
∴m+n=-2.
思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解.
跟踪训练2 线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=________.
答案 -2或6
解析 由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y).
由||=2||,可得=±2,
则当=2时,有
解得此时x+y=-2;
当=-2时,有
解得此时x+y=6.
综上可知,x+y=-2或6.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标
例3 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案 (3,3)
解析 方法一 由O,P,B三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,所以==(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
方法二 设点P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,所以=,
即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,
所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
命题点2 利用向量共线求参数
例4 (2018·乌海模拟)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为( )
A.- B. C.2 D.
答案 B
解析 因为a=(2,-1),b=(1,1),
所以a+kb=(2+k,-1+k),
又c=(-5,1),
由(a+kb)∥c
得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k=,故选B.
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3 (1)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a∥(a+2b),则m的值是( )
A.-4 B.1 C.0 D.-2
答案 A
解析 a+2b=(4,m-4),
由a∥(a+2b),
得2(m-4)=4m,m=-4,故选A.
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________.
答案 -
解析 =-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2).
∵A,B,C三点共线,
∴,共线,
∴-2×(4-k)=-7×(-2k),
解得k=-.
1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为( )
A.(-8,1) B.
C. D.(8,-1)
答案 B
解析 设P(x,y),则=(x-3,y+2).
而=(-8,1)=,
∴解得
∴P.故选B.
2.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于( )
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
答案 B
解析 =+=(3,1),
又=-=(-1,1),
则=+=(1,1),
所以+=(4,2).故选B.
3.(2018·赤峰质检)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|等于( )
A. B. C. D.5
答案 B
解析 根据题意可得1×t=2×(-2),可得t=-4,
所以a+b=(-1,-2),
从而可求得|a+b|==,故选B.
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案 D
解析 由题意知向量a,b不共线,
故2m≠3m-2,即m≠2.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.2 B. C.2 D.4
答案 A
解析 因为|OC|=2,∠AOC=,
所以C(,),
又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m=与向量n=(3,sin A+cos A)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵m∥n,
∴sin A(sin A+cos A)-=0,
∴2sin2A+2sin Acos A=3,
∴1-cos 2A+sin 2A=3,
∴sin=1,
∵A∈(0,π),
∴2A-∈.
因此2A-=,解得A=,故选C.
7.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.
答案 -
解析 =(a-1,3),=(-3,4),
根据题意知∥,
∴4(a-1)=3×(-3),
即4a=-5,∴a=-.
8.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________.
答案 (-4,-2)
解析 ∵b=(2,1),且a与b的方向相反,
∴设a=(2λ,λ)(λ<0).
∵|a|=2,
∴4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.
∴a=(-4,-2).
9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.
答案
解析 由题意得2a+b=(4,2),
因为c∥(2a+b),
所以4λ=2,得λ=.
10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.
答案 k≠1
解析 若点A,B,C能构成三角形,
则向量,不共线.
∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
∴1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.
11.已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
解 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-.
(2)方法一 =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
∵A,B,C三点共线,
∴∥,
∴8m-3(2m+1)=0,
即2m-3=0,
∴m=.
方法二 ∵A,B,C三点共线,
∴=λ,
即2a+3b=λ(a+mb),
∴解得m=.
12.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
解 方法一 以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),B,
C(3,).
由=λ+μ,
得解得
所以λ+μ=6.
方法二 如图,作平行四边形OB1CA1,
则=+,
因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,||=2,
所以||=2,||=4,
所以||=||=4,
所以=4+2,
所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
13.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的中点,且=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.3 B. C.2 D.1
答案 B
解析 由题意,设正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图,
则B(1,0),E(-1,1),
∴=(1,0),
=(-1,1),
∵=λ+μ=(λ-μ,μ),
又∵P为CD的中点,
∴=,∴
∴λ=,μ=1,
∴λ+μ=.
14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
则C点坐标为(2,1).
设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD==,
EC===,
即圆C的半径为,
∴P点的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=.
设P(x0,y0),则(θ为参数),
而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).
∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=x0=1+cos θ,λ=y0=1+sin θ.
两式相加,得
λ+μ=1+sin θ+1+cos θ
=2+sin(θ+φ)≤3,
当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
故选A.
15.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是( )
A.[-,1] B.[-,]
C. D.
答案 C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),E(2,0),
D(0,2),F(3,1),
P(cos α,sin α),
即=(cos α,sin α),=(-2,2),=(3,1).
∵=λ+μ,
∴(cos α,sin α)=λ(-2,2)+μ(3,1),
∴cos α=-2λ+3μ,sin α=2λ+μ,
∴λ=(3sin α-cos α),μ=(cos α+sin α),
∴2λ-μ=sin α-cos α=sin.
∵-≤α≤,
∴-≤α-≤.
∴-≤sin≤.
16.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量=m+n(m,n为实数),求m+n的最大值.
解 如图所示,
①设点O为正六边形的中心,则=+.
当动圆Q的圆心经过点C时,与边BC交于点P,点P为边BC的中点.连接OP,
则=+,
∵与共线,
∴存在实数t,使得=t,
∴此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.
②当动圆Q的圆心经过点D时,
取AD的延长线与圆Q的交点P时,
===+,
此时m+n=5取得最大值.