数学文·四川省内江市市中区翔龙中学2017届高三上学期9月月考数学试卷（文科）+Word版含解析 18页

‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（　　）‎ A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}‎ ‎2．已知函数，若，则f（﹣a）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题p：y=sin（2x+）的图象关于（﹣，0）对称；命题q：若2a＜2b，则lga＜lgb．则下列命题中正确的是（　　）‎ A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∨q ‎4．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．21 D．24‎ ‎5．已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[3，5] B．[﹣1，1] C．[﹣1，3] D．‎ ‎6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）‎ ‎7．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．若函数在（2，f（2））处的切线过点（1，2），则a=（　　）‎ A．4 B．7 C．8 D．‎ ‎9．已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（　　）‎ A． B．﹣ C．4 D．‎ ‎10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（　　）‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．△ABC中，，BC=3，，则∠C=　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣x=a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足an+1=a1=m（m＞0），有以下结论：‎ ‎①若m=，则a3=3；‎ ‎②若a3=2，则m可以取3个不同的值；‎ ‎③若m=，则{an}是周期为3的数列；‎ ‎④存在m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．‎ 其中正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=‎ ‎（1）求角C的大小，‎ ‎（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．‎ ‎19．某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；‎ ‎（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．‎ ‎20．正项等差数列{an}满足a1=4，且a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）记函数g（x）=f（x）+﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（　　）‎ A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．‎ ‎【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，‎ 则集合A∩∁UB={2，5}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数，若，则f（﹣a）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）==1+，‎ ‎∴f（﹣x）=1﹣，‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=2；‎ ‎∵f（a）=，‎ ‎∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：y=sin（2x+）的图象关于（﹣，0）对称；命题q：若2a＜2b，则lga＜lgb．则下列命题中正确的是（　　）‎ A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∨q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．‎ ‎【解答】解：关于命题p：‎ ‎∵y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，‎ ‎∴函数的图象关于（﹣，0）对称；‎ 命题p是真命题；‎ 关于命题q：若2a＜2b，则a＜b，推不出lga＜lgb，‎ ‎∴命题q是假命题，‎ ‎∴p∧￢q正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．21 D．24‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．‎ ‎【解答】解：根据题意设△ABC的三边长为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，‎ ‎∵sinα=，∴cosα=或﹣，‎ 当cosα=时，α=60°，不合题意，舍去；‎ 当cosα=﹣时，α=120°，由余弦定理得：cosα=cos120°==﹣，‎ 解得：a=3或a=﹣2（不合题意，舍去），‎ 则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[3，5] B．[﹣1，1] C．[﹣1，3] D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=k（x+1）+1的图象是过点P（﹣1，1），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．‎ ‎【解答】解：作出可行域，如图．因为函数y=k（x+1）+1的图象是过点A（﹣1，1），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点M（0，2）时，k取最大值 1，当直线l过点NB（1，0）时，k取最小值，‎ 故．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，‎ ‎∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，‎ 满足f（2）f（4）＜0，‎ ‎∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】总经理于基本不等式求解表达式的最值即可．‎ ‎【解答】解：xy=x•2y≤=，当且仅当x=，时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．若函数在（2，f（2））处的切线过点（1，2），则a=（　　）‎ A．4 B．7 C．8 D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用直线的斜率公式，计算即可得到a=4．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f′（x）=，‎ f（2）=，f′（2）=﹣，‎ 由在（2，f（2））处的切线过点（1，2），‎ 可得﹣=，解得a=4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（　　）‎ A． B．﹣ C．4 D．‎ ‎【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用周期性得出f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），运用解析式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，‎ ‎∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），‎ ‎∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1‎ ‎∴f（log3）═﹣‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．‎ ‎【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图 当1＜x≤4时，y1＜0‎ 而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，‎ 在和上是减函数；‎ 在和上是增函数．‎ ‎∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H 相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D 且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8‎ 故选D ‎　‎ ‎11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由等差数列的求和公式可得且d≠0，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（　　）‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，最后根据正弦定理可得到BC的值．‎ ‎【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，‎ AB=20，从而∠ACB=45°．‎ 在△ABC中，由正弦定理，‎ 得．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．△ABC中，，BC=3，，则∠C=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．‎ ‎【解答】解：由，a=BC=3，c=，‎ 根据正弦定理=得：‎ sinC==，‎ 又C为三角形的内角，且c＜a，‎ ‎∴0＜∠C＜，‎ 则∠C=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　3　．‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则．‎ ‎【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．‎ ‎【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3；‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣x=a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是　（﹣2，0）∪{1}　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，‎ ‎∴f（x）=2f（x﹣2）=2（1﹣|x﹣2+1|）=2﹣2|x﹣1|，0≤x≤2．‎ 若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，‎ ‎∴f（x）=2f（x﹣2）=2（2﹣2|x﹣2﹣1|）=4﹣4|x﹣3|，2≤x≤4．‎ ‎∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．‎ 设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，、‎ 等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不同的零点．‎ 作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：‎ ‎，‎ 当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x﹣2，‎ 当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，‎ 当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，‎ ‎∴要使方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，‎ 则a=1或﹣2＜a＜0．‎ 故答案为：（﹣2，0）∪{1}．‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足an+1=a1=m（m＞0），有以下结论：‎ ‎①若m=，则a3=3；‎ ‎②若a3=2，则m可以取3个不同的值；‎ ‎③若m=，则{an}是周期为3的数列；‎ ‎④存在m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．‎ 其中正确结论的序号是　②③　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】对于①，直接代值，根据数列的递推公式关系即可求出，‎ 对于②，由a3=2，分类讨论即可求出m的值，‎ 对于③由②可知正确m=＞1，所以数列{an}是周期为3的数列，‎ 对于④，利用反证法，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列，得出假设不正确．‎ ‎【解答】解：对于①，当m=时，a2==，a3=a2﹣1=﹣1=，故①为不正确，‎ 对于②由a3=2，若a3=a2﹣1=2，则a2=3，若a1﹣1=3，则a1=4．‎ 若a1=3，则=．‎ 由a3=2，若a3=，则a2=，若a1﹣1=，则a1=．‎ 若=，则a1=2，不合题意．‎ 所以，a3=2时，m即a1的不同取值有3个．故②正确，‎ 对于③，m=＞1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以③正确；‎ 对于④，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．则当m=2时，a2=a1﹣1=1，∴a3==…=an（n≥2），此时数列{an}不是周期数列．‎ 当m＞2时，当0＜m﹣k≤1时，ak+1=a1﹣k=m﹣k．∴ak+2==＞1．若ak+2=ai，1≤i≤k+1，则=m﹣（i﹣1），化为m2﹣m（k+i﹣1）+ki﹣k﹣1=0，则△=（k+i﹣1）2﹣4（ki﹣k﹣1）不为平方数，因此假设不正确．可知④不正确．‎ 综上可知：只有②③正确 故答案为：②③‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．‎ ‎【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；‎ 命题q：不等式的解集为R，∴，解得；‎ 若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；‎ p真q假时，，解得a≥8；‎ p假q真时，，解得；‎ ‎∴实数a的取值范围为：．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=‎ ‎（1）求角C的大小，‎ ‎（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，‎ ‎∴由正弦定理化简已知等式得： =，‎ 整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴cosC=﹣，‎ ‎∵C为三角形内角，‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，‎ ‎∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，‎ ‎∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），‎ ‎∵S=absinC=ab≤，‎ ‎∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，‎ 则当a=b=时，△ABC的面积最大为．‎ ‎　‎ ‎19．某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；‎ ‎（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（I）利用频率分布直方图，能求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命．‎ ‎（Ⅱ）由题意样本在[600，700）的个数为3个，在[700，800）的个数为2个，先利用列举法求出所抽取样本的所有情况和至少有一个灯具寿命在[700，800）之间的情况种数，由此能求出至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．‎ ‎【解答】解：（I）北方工厂灯具平均寿命：‎ ‎=350×0.12+450×0.28+550×0.4+650×0.12+750×0.08=526小时，…‎ 南方工厂灯具平均寿命：‎ ‎=350×0.12+450×0.28+550×0.36+650×0.24=522小时．…‎ ‎（Ⅱ）由题意样本在[600，700）的个数为3个，在[700，800）的个数为2个，…‎ 记灯具寿命在[600，700）之间的样本为1，2，3；‎ 灯具寿命在[700，800）之间的样本为a，b．‎ 则：所抽取样本有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），‎ ‎（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），共10种情况，…‎ 其中，至少有一个灯具寿命在[700，800）之间的有7种情况，‎ 所以至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率为p=．…‎ ‎　‎ ‎20．正项等差数列{an}满足a1=4，且a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d＞0，由已知得：a2•（2a7﹣8）=，代入化简解出，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）bn==，利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d＞0，由已知得：a2•（2a7﹣8）=，即（4+d）[2（4+6d）﹣8]=（6+3d）2，‎ 化简得：d2+4d﹣12=0，解得：d=2或d=﹣6（舍），‎ ‎∴an=4+2（n﹣1）=2n+2．‎ ‎（Ⅱ）bn====，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+‎ ‎=﹣‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；‎ ‎（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎；‎ 由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；‎ 故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；‎ 所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；‎ ‎（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，‎ 即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，‎ 即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；‎ 设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），‎ 只需g（x）max≤0即可；‎ 由=；‎ ‎（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，‎ 函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ 故g（x）≤g（1）=0成立；‎ ‎（ⅱ）当a＞0时，由，‎ 令g′（x）=0，得x1=1或；‎ ‎①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，‎ 函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，‎ g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；‎ ‎②若，即时，‎ 函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，‎ 同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；‎ ‎（ⅲ）当a＜0时，由，‎ 因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；‎ 则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ 故g（x）≤g（1）=0成立．‎ 综上，数a的取值范围是a≤0．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）记函数g（x）=f（x）+﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；‎ ‎（2）将f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式．‎ ‎【解答】解：（1）…‎ ‎∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行，‎ ‎∴，‎ 解得a=1； …‎ ‎（2）由（1）得f（x）=lnx﹣x，‎ ‎∴f（x）+m=2x﹣x2，即x2﹣3x+lnx+m=0，‎ 设h（x）=x2﹣3x+lnx+m，（x＞0）‎ 则h′（x）=2x﹣3+=，‎ 令h′（x）=0，得x1=，x2=1，列表得：‎ x ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ h′（x）‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ h（x）‎ 极大值 极小值 m﹣2+ln2‎ ‎∴当x=1时，h（x）的极小值为h（1）=m﹣2，‎ 又h（）=m﹣，h（2）=m﹣2+ln2，…‎ ‎∵方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，‎ ‎∴，即，‎ 解得≤m＜2；（也可分离变量解） …‎ ‎（3）∵g（x）=lnx+，‎ ‎∴g′（x）=，‎ 由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0‎ ‎∴x1+x2=b+1，x1x2=1，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ 解得：…‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）==，‎ 设，‎ 则 ‎∴F（x）在上单调递减； …‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴k≤，‎ ‎∴k的最大值为．…‎ ‎　‎ ‎2016年11月4日