数学理卷·2018届湖北省荆州中学高三上学期第十次周考（2018 11页

‎ 荆州中学2018届高三周练试卷（10）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知集合，，则M∩N = A． B．{(3，0)，(2，0)} C．{3，2} D．[，3]‎ 2. 已知i与j为互相垂直的单位向量，，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 A． B． C． D．‎ 3. 已知倾斜角为的直线l与直线垂直，则的值为 A． B． C． D．‎ 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为 A．9斤 B．9.5斤 C．6斤 D．12斤 5. 已知点P(1，2)和圆C：，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是 A．R B． C． D．‎ 6. 已知F1、F2是双曲线M：的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|·|PF2| = n，则 A．n ‎ = 12 B．n = 24 C．n = 36 D．n≠12且n≠24且n≠36‎ O O O O x x x x y y y y A B C D 1. 函数的图像大致为 2. 已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是 A．(1，2 017) B．(1，2 018) C．[2，2 018] D．(2，2 018)‎ 3. 已知点F1、F2是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是 A． B． C． D．‎ 4. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 A． B． C． D．‎ 5. 已知定义域为R的奇函数y = f (x)的导函数为，当x≠0时，，若，，则a、b、c的大小关系正确的是 A．a < c < b B．b < c < a C．a < b < c D．c < a < b 6. 已知定义在R上的函数f (x)，当x∈[0，2]时，，且对于任意的实数x∈，都有，若函数 有且只有三个零点，则a的取值范围为 A．[2，10] B． C．(2，10) D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 1. 等比数列{an}各项均为正数，，则　▲　．‎ 2. 已知实数x、y满足，则的最小值为　▲　．‎ x ‎ ‎ y O ‎1‎ ‎－1‎ 3. 已知函数的部分图像如图所示，令，则　▲　．‎ 4. 若函数对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题： ①是自倒函数；②自倒函数f (x)可以是奇函数； ③自倒函数f (x)的值域可以是R；④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．则以上命题正确的是　▲　(写出所有正确命题的序号)．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本题满分12分) 在△ABC中，已知． (Ⅰ)求cosC的值； (Ⅱ)若a = 15，D为AB边上的点，且2AD = BD，求CD长．‎ ‎18.(本题满分12分) 某地区人口老龄化问题严重，因此鼓励一对夫妇生育两个孩子。该地区的100000对已经生育了一胎的夫妇中，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎。在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有x1对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有x2对，其余的情形有x3对，且x1：x2：x3=300:100:99.现在用样本的频率来估计总体的概率。‎ ‎（Ⅰ）说明“其余的情形”指何种具体情形，并求出x1、x2、x3的值；‎ ‎（Ⅱ）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行补贴政策：凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性补贴 ‎5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的只有一次性补贴15000元，第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性又补贴20000元。这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩。设§为该地区的一对夫妇享受的生育补贴，求§的分布列及数学期望E（§）。‎ ‎19.(本题满分12分) 如图一，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二。 (Ⅰ)证明：平面PBC⊥平面PBD； (Ⅱ)求二面角A－BM－C的余弦值． ‎A B C D P M 图一 ‎2‎ ‎ ‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ 俯视图 侧视图 图二 ‎20.(本题满分12分) 动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M． (Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)求证：； (Ⅲ)求△ABM的面积的最小值．‎ ‎21.(本题满分12分) 定义在R上的函数f(x)满足，且 ‎ ‎. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式； (Ⅱ)求函数g (x)的单调区间； (Ⅲ)如果s、t、r满足，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和哪个更靠近lnx，并说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.(本题满分10分) 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点． (Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a的值．‎ ‎23.(本题满分10分) 已知函数．(Ⅰ)解不等式； (Ⅱ)已知(m，n > 0)，若恒成立，求实数a的取值范围．‎ 数学(理工类)参考答案及评分标准（10）‎ 一．选择题：DCBAC　ADDBC　AB 二．填空题：13．20　　14．　　15．1 　　16．①②‎ 三．解答题：‎ ‎17．(Ⅰ)解：由得： 2分 即 4分 ∵A、B、C是△ABC的内角，∴ 因此，，又，故 6分 由得： 7分 ∴ 8分 ‎(Ⅱ)解：由得： 9分 由正弦定理得：，∴ 11分 在△BCD中， ∴CD = 13． 12分 ‎18.解：（1）“其余的情形”指一对夫妇中男方、女方都不愿意生育二孩。‎ x1=30000，x2=10000，x3=9900. 4分 ‎（2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下五种：‎ 第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率=11000. 5分 男方、女方都愿意生育二胎的有50000对，频率=12. 6分 男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率=310. 7分 男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的有10000对，频率=110. 8分 其余情形即男方、女方都不愿意生育二胎的有9900对，频率=991000. 9分 A B C D P M x y z 随机变量§的分布列如下：‎ ‎§‎ ‎15000‎ ‎25000‎ ‎5000‎ P ‎11000‎ ‎910‎ ‎991000‎ E(§)=23010(元) 12分 ‎19．(Ⅰ)证：由俯视图可得 ∴BC⊥BD 1分 又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分 而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分 ∵BC⊂平面PBC ∴平面PBC⊥平面PBD． 4分 ‎(Ⅱ)解：由侧视图可得MD = 3 由俯视图及ABCD是直角梯形得： 5分 ∴ 6分 以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，则 D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3) 设平面AMB的法向量为n1 = (x1，y1，z1)，则，即 令，则，∴是平面AMB的一个法向量 8分 设平面BMC的法向量为n2 = (x2，y2，z2)，则，即 令x2 = 3，则，∴是平面BMC的一个法向量 10分 又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角 ‎ ‎∴二面角A－BM－C的余弦值为． 12分 ‎20．(Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离 1分 ∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线 故其方程为． 2分 ‎(Ⅱ)证：设直线AB的方程为： 由得： 3分 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 4分 由得：，∴ ∴直线AM的方程为：　① 5分 直线BM的方程为：　② 6分 ①－②得：，即 7分 将代入①得： ∴ 故 9分 ∴ ∴ 10分 ‎(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M到AB的距离 ∵ ∴ ∴当k = 0时，△ABM的面积有最小值4． 12分 ‎21．(Ⅰ)解： ∴，故f (0) = 1 又，∴ 因此 2分 ‎(Ⅱ)解：∵ ∴ ∴ 4分 ①当a≤0时，，函数g (x)在R上单调递增； ②当a > 0时，由得： ∴时，，g (x)单调递减 时，，g (x)单调递增 综上，当a≤0时，函数g (x)的单调递增区间为； 当a > 0时，函数g (x)的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分 ‎(Ⅲ)解：， ∵，∴p(x)在[1，＋∞)上为减函数 又p(e) = 0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x > e时，p(x) < 0 7分 ∵， ∴在[1，＋∞)上为增函数，又 ∴x∈[1，＋∞)时，，故q(x)在[1，＋∞)上为增函数 ∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0 8分 ①当1≤x≤e时， 设，则 ∴h (x)在[1，＋∞)上为减函数 ∴h (x)≤m(1)＝e－1－a ∵a≥2，∴h (x) < 0，∴| p(x) | < | q(x) | ‎ ‎∴比更靠近ln x； 10分 ②当x > e时， 设，则， ∴在x > e时为减函数，∴ ∴r (x)在x > e时为减函数的，∴ ∴| p (x) | < | q (x) |∴比更靠近ln x． 综上：当a≥2且x≥1时，比更靠近ln x． 12分 ‎22．(Ⅰ)解： 曲线C的直角坐标方程为：(a > 0) 2分直线l的普通方程为 4分 ‎(Ⅱ)解：将直线l的参数方程代入中得： 6分 设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有 8分 ∵，∴ 即，解得． 10分 ‎23．(Ⅰ)解：不等式可化为：　　① 当时，①式为，解得； 2分 当，①式为，解得； 4分 当x > 1时，①式为，无解． 综上所述，不等式的解集为． 6分 ‎(Ⅱ)解： ‎ 令 ∴时， 8分 要使不等式恒成立，只需，即 ∴实数a取值范围是． 10分