数学文卷·2019届北京市东城区高二上学期期末考试（2018-01） 7页

北京市东城区 2017-2018 学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科） 本试卷共 100 分。考试时长 120 分钟。 第一部分 （选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 若 A，B 两点的纵坐标相等，则直线 AB 的倾斜角为 A. 0 B. C. D. 2. 已知命题 p: x0 R，lgx0<0，那么命题 p 为 A. x R，lgx>0 B. x0 R，lgx0>0 C. x R，lgx≥0 D. x0 R，lgx0≥0 3. 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱台 D. 三棱台 4. 将直线 x+2y=0 绕坐标原点逆时针旋转 90°，再向下平移 1 个单位，所得到直线的方程 为 A. x-2y-1=0 B. 2x-y-1=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x-y+1=0 5. 已知 p:a>3，q:点 A（a，1）在圆 x2+y2=9 外，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与棱 AD 所在直线异面的棱的条数是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知双曲线 x2- =1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点 的距离等于 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知直线 l，m 和平面 ， ，且 l⊥ ，m∥ ，则下列命题中正确的是 5 π 2 π π ∃ ∈ ¬ ∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ 15 2y α β α β A. 若 ⊥ ，则 l∥m B. 若 ∥ ，则 l⊥m C. 若 l∥ ，则 m⊥ D. 若 l⊥m，则 ∥ 9. 若半径为 1 的动圆与圆（x-1）2+y2=4 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A.（x-1）2+y2=9 B.（x-1）2+y2=3 C.（x-1）2+y2=9 或（x-1）2+y2=1 D.（x-1）2+y2=3 或（x-1）2+y2=5 10. 如图，探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，已知灯口截面圆的直径 PQ 为 60cm，灯深 OE 为 40cm，则抛物线 POQ 的标准方程可能是 A. y2= x B. y2= x C. x2=- y D. x2=- y 11. 已知圆 C：x2+y2=4，直线 l:x+y=m（m R），设圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点的个数 为 S，当 0≤m<3 时，则 S 的可能取值共有 A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 12. 将圆（x-1）2+y2=2 绕直线 kx-y-k=0 旋转一周所得的几何体的表面积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第二部分（非选择题 共 64 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13. 在空间直角坐标系中，点 P（2，-1，1）在 yOz 平面内的射影为 Q（x，y，z），则 xyz=_______。 14. 试写出一个离心率为 ，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程_________。 15. 已知直线 l1:4x+By-C=0，直线 l2:2x-3y-1=0，若 l1 与 l2 的交点在 x 轴上，则 C 的值为 _________。 16. 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，若它的准线过点（2，1），则该抛 物线的标准方程为_________，焦点坐标为__________。 17. 一个水平横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时， α β α β β α α β 4 25 4 45 2 45 4 45 ∈ 2 π π π π 2 1 水的高度与桶的高度的比为__________。 18. 已知曲线 C 上的任意一点 M（x，y）满足到两条直线 y= x 的距离之积为 12，给 出下列关于曲线 C 的描述： ①曲线 C 关于坐标原点对称； ②对于曲线 C 上任意一点 M（x，y）一定有|x|≤6； ③直线 y=x 与曲线 C 有两个交点； ④曲线 C 与圆 x2+y2=16 无交点。 其中所有正确描述的序号是__________。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 46 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （本题满分 10 分） 已知直线 l 过点 A（0,4）,且在两坐标轴上的截距之和为 1。 （I）求直线 l 的方程； （II）若直线 l1 与直线 l 平行，且 l1 与 l 间的距离为 2，求直线 l1 的方程。 20. （本题满分 11 分） 已知圆 C：x2+y2+10x+10y+34=0。 （I）试写出圆 C 的圆心坐标和半径； （II）若圆 D 的圆心在直线 x=-5 上，且与圆 C 相外切，被 x 轴截得的弦长为 10，求圆 D 的方程。 21. （本题满分 12 分） 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AB=4，AA1=2，点 E1 在棱 C1D1 上， 且 D1E1=3。 （I）在棱 CD 上确定一点 E，使得直线 EE1∥平面 D1DB，并写出证明过程； （II）求证：平面 A1ACC1⊥平面 D1DB； （III）若动点 F 在正方形 ABCD 内，且 AF=2，请说明点 F 的轨迹，试求 E1F 长度的最小 值。 22. （本题满分 13 分） 2 2± 已知椭圆 C： （a>b>0）的上、下、左、右四个顶点分别为 A，B，C，D，x 轴正半轴上的点 P 满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4。 （I）求椭圆 C 的标准方程以及点 P 的坐标； （II）过点 P 作直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，是否存在这样的直线 l 使得△MNA 和△MND 的面积相等？若存在，请求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由； （III）在（II）的条件下，求当直线 l 的倾斜角为钝角时△MND 的面积。 12 2 2 2 =+ b y a x 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B A B D B C C B D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 题号 13 14 15 16 17 18 答案 0 （答案不唯 一） 2 （-2，0） （ ） ： 4 ①③④ 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 1 分。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 46 分） 19. （本题满分 10 分） 解：（I）由直线 l 过点（0，4），所以直线 l 在 y 轴上的截距为 4. 由已知条件可得直线 l 在 x 轴上的截距为-3，即直线过点 B（-3，0）. 故直线方程为 ，即 4x-3y+12=0。…………………………4 分 （Ⅱ）由条件设直线 l1 的方程为 4x-3y+m=0， 由两条直线间的距离为 2，可得（0，4）到直线 l1 的距离为 2， 则有 ，解得 m=2 或 m=22. 故所求直线 l1 的方程为 4x-3y+2=0 或 4x-3y+22=0. ……………10 分 20. （本题满分 11 分） 解：（I）将圆的方程改写为（x+5）2+（y+5）2=16，故圆心坐标为（-5，-5），半径为 4. ……………4 分. （II）设圆 D 的半径为 r，圆心纵坐标为 b，由条件可得 r2=（r-1）2+52，解得 r=13. 此时圆心纵坐标 b=r-1=12. 所以圆 D 的方程为（x+5）2+（y-12）2=169. ……………………………11 分 21. （本题满分 12 分） 134 22 =+ xy xy 82 −= 2−π π 143 =+− yx 22 34 |120|2 + +−= m 证明：（I）在 DC 上取点 E，使 DE=3，此时直线 EE1∥平面 D1DB. 证明如下：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，DE∥D1E1，且 DE=D1E1， 所以四边形 DEE1D1 为平行四边形. 所以 EE1∥DD1. 又 DD1 平面 D1DB，EE1 平面 D1DB， 所以直线 EE1∥平面 D1DB. ……4 分 （Ⅱ）在正方形 ABCD 中，AC⊥DB， 又 AA1⊥底面 ABCD，DB 底面 ABCD， 所以 AA1⊥DB. 又 AA1 AC=A， 所以 DB⊥平面 A1ACC1. 又 DB 平面 D1DB， 所以平面 A1ACC1⊥平面 D1DB. …………………………………………8 分 （III）因为动点 F 在正方形内，且 AF=2， 所以点 F 的轨迹为以 A 为圆心，2 为半径，在正方形 ABCD 内的 个圆周。 由题意知，直线 EE1⊥平面 ABCD，所以 EE1⊥EF，故 E1F 取最小值，即 EF 取最小值. 所以当 A，F，E 三点共线时，EF 长度最小，即 E1F 长度最小， 此时 AE= ， E1F= . 所以 E1F 的最小值为 . …………………………………………12 分 22. （本题满分 13 分） 解：（I）设点 P 的坐标为（x0，0）（x0>0），易知 2a=2+4，a=3， x0=4-a=1，b= . 因此椭圆标准方程为 ，P 点坐标为（1，0）. ……………4 分 （II）设直线 l：y=k（x-1）. ⊂ ⊄ ⊂  ⊂ 4 1 522 =+ DEAD 132)25()( 222 1 22 1 2 =+−=+−=+ EEAFAEEEEF 13 32 2 0 2 =− x 139 22 =+ yx 由△MNA 与△MND 的面积相等，则点 A，D 到直线 l 的距离相等. 所以 ，解得 k= 或 k= . 所以直线 l 的方程为 y= （x-1）或 y= （x-1）. ………………8 分 （Ⅲ）若直线 l 倾斜角为钝角，即 k= ，此时方程为 y= （x-1）. 与椭圆方程 联立 消 x 得 。 设 M，N 坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则有 y1+y2= ，y1y2= . 所以△MND 的面积 S= |PD|·|y1-y2|= ×2× = 。 故所求△MND 的面积为 . ………………………13 分 1 |3| 1 |3| 22 + −= + −− k kk k k 3 3 3− 3 3 3− 3 3− 3 3− 139 22 =+ yx       −−= =+ ),1(3 3 ,139 22 xy yx 08326 2 =−− yy 3 3 3 4− 2 1 2 1 21 2 21 4)( yyyy −+ 3 51)3 4(4)3 3( 2 =−×− 3 51