2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：3-3　定积分与微积分基本定理（讲解部分） 9页

考点    定积分与微积分基本定理 考点清单 考向基础 1.定积分的定义和相关概念 如果函数 f ( x )在区间[ a , b ]上连续,用分点 a = x 0 < x 1 < … < x i -1 < x i < … < x n = b ,将区间 [ a , b ]等分成 n 个小区间,在每个小区间[ x i -1 , x i ]上任取一点 ξ i ( i =1,2, … , n ),作和 式   =   f ( ξ i ),当 n → ∞ 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数 叫做函数 f ( x )在区间[ a , b ]上的定积分,记作   f ( x )d x ,即   .这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [ a , b ]叫做积分区间,函数 f ( x )叫做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x )d x 叫做被积式. 2.定积分的几何意义 (1)当函数 f ( x )在区间[ a , b ]上恒为正时,定积分   f ( x )d x 的几何意义是由直线 x = a , x = b ( a ≠ b ), y =0和曲线 y = f ( x )所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部 分).   (2)一般情况下,定积分   f ( x )d x 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y = f ( x )以及直线 x = a 、 x = b 之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影部分),其中在 x 轴上方 的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的 相反数. 3.定积分的性质 (1)   kf ( x )d x = k   f ( x )d x ; (2)   [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x )]d x =   f 1 ( x )d x ±   f 2 ( x )d x ; (3)   f ( x )d x =   f ( x )d x +   f ( x )d x (其中 a < c < b ). 4.微积分基本定理 一般地,如果 f ( x )是区间[ a , b ]上的连续函数,并且 F '( x )= f ( x ),那么   f ( x )d x = F ( b )- F ( a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便,我们常常把 F ( b )- F ( a )记成 F ( x )     ,即   f ( x )d x = F ( x )     = F ( b )- F ( a ). 考向突破 考向一    定积分的运算 例1     (2019安徽合肥模拟,14)   (   + x )d x = 　　　     . 解析        (   + x )d x =     d x +   x d x ,令 y =   ( y ≥ 0),得 x 2 + y 2 =4,又圆 x 2 + y 2 =4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,     d x =π,又   x d x =   x 2     =2,   =π+2. 答案     π+2 考向二    定积分的几何意义 例2     (2018安徽淮南一模,4)求曲线 y = x 2 与直线 y = x 所围成的封闭图形的面 积 S ,正确的是   (　　) A. S =   ( x 2 - x )d x 　　　　    B. S =   ( x - x 2 )d x C. S =   ( y 2 - y )d y 　　　　    D. S =   ( y -   )d y 解析　 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对 x 积分时,积分上限是1,下 限是0,由于在[0,1]上, x ≥ x 2 ,故曲线 y = x 2 与直线 y = x 所围成的封闭图形的面积 S =   ( x - x 2 )d x   同理可知对 y 积分时, S =   (   - y )d y   . 答案     B 方法      利用定积分求图形面积的方法 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致形状. (2)借助图形确定出被积函数,并求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.注意, 定积分是一个数值, 可正,可负,也可为零 ,而平面图形的面积为正. 方法技巧 (4)计算定积分,写出答案. 突破攻略 设阴影部分的面积为 S ,则对如图所示的四种情况分别有:   (1) S =   f ( x )d x ; (2) S =-   f ( x )d x ; (3) S =   f ( x )d x -   f ( x )d x ; (4) S =   f ( x )d x -   g ( x )d x =   [ f ( x )- g ( x )]d x . 例     (2018河北衡水中学六调,13)曲线 y = x 3 -3 x 和直线 y = x 所围成的图形的面 积是 　　　     . 解题导引   解析 　由   得交点的坐标分别为(0,0),(2,2),(-2,-2),作出草图如图.   可知曲线 y = x 3 -3 x 和直线 y = x 围成图形的面积 S =2   d x =2   (4 x - x 3 )d x = 2       =2 × (8-4)=8. 答案 　8