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  • 2021-06-11 发布

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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哈师大附中2018级高二学年上学期期中考试数学试卷 一、选择题(共12个小题,每题5分,共60分)‎ ‎1.顶点在原点,焦点是的抛物线的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且3,解可得p的值,据此分析可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,要求抛物线的顶点在原点,焦点是(0,3),‎ 则抛物线开口向上且3,解可得p=6,‎ 则要求抛物线的方程为x2=12y;‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及标准方程,属于基础题.‎ ‎2.下列叙述不正确的是(    )‎ A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线倾斜角的范围是0°≤α<180°‎ C. 若一条直线的倾斜角为α(α≠90°),则此直线的斜率为tanα D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率的定义知当直线与轴垂直时,斜率不存在,得到答案.‎ ‎【详解】根据斜率的定义知:当直线与轴垂直时,斜率不存在,故错误,其他选项正确.‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义,属于简单题.‎ ‎3.已知命题p:“m=﹣2”,命题q:“直线4x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”.则命题p 是命题q的(    )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直计算得到,根据范围的大小关系得到答案.‎ ‎【详解】直线4x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直,即;‎ 故命题p是命题q的充分不必要条件 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件,根据垂直得到是解题的关键.‎ ‎4.若曲线C:x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为(    )‎ A. (﹣1,0) B. (﹣∞,﹣1) C. (1,+∞) D. (0,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到,根据所有的点均在第二象限内得到,计算得到答案.‎ 详解】曲线C:x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1=0即 ‎ 所有的点均在第二象限内,即解得 ‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆C上不存在点P使,则椭圆C的离心率的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到恒成立,得到计算得到答案.‎ ‎【详解】椭圆C上不存在点P使,即恒成立 当在短轴顶点时最大,即,即 ‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率,确定角度最大的点是解题的关键.‎ ‎6.“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因为全称命题的否定是存在性命题,所以“”的否定是“”,故选D.‎ 考点:命题的否定.‎ ‎7.已知双曲线的一条渐近线方程为,且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上,则双曲线的方程为(    )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线得到,再计算抛物线的准线为得到,解得答案.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程为 抛物线的准线为,故双曲线的一个焦点为 ‎ 故 双曲线方程为:‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线方程,抛物线的准线,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.半径为1的圆C的圆心在第四象限,且与直线y=0和均相切,则该圆的标准方程为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设出圆心(a,﹣1),再由点到直线的距离公式求出,结合圆的标准方程以及选项即可得出答案.‎ ‎【详解】如图,‎ 由题意可设圆心坐标为(a,﹣1),r=1.‎ 则,即,‎ 解得a或.‎ 结合选项可得,所求圆的方程为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线与圆的位置关系,需熟记点到直线的距离公式,圆的标准方程形式.属于基础题.‎ ‎9.设双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2,P是双曲线上一点,点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半,且,则双曲线离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半,根据直角三角形的性质,可得,得到,即即,再根据离心率的定义,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,不妨设点在双曲线的右支上,则,‎ 因为,所以, ‎ 因为点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知,‎ 根据直角三角形的性质,可得,所以,‎ 即,得.所以双曲线离心率,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).‎ ‎10.已知(﹣2,1)是直线l被椭圆所截得线段的中点,则直线l的方程是(    )‎ A. x﹣2y=0 B. x﹣2y+4=0 C. 2x+y+3=0 D. 2x﹣3y﹣1=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l与椭圆相交于,设 ,代入作差得到 解得直线方程.‎ ‎【详解】设直线l与椭圆相交于,设 ‎ 则,两式相减得到 即,故直线方程 ‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了利用点差法求直线方程,意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.‎ ‎11.已知点P(x,y)是直线上一动点,直线PA,PB是圆C:x2+y2﹣4y=0的两条切线,A,B为切点,C为圆心,则四边形PACB面积的最小值是(    )‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到得到半径和圆心,计算,计算最小值代入得到答案.‎ ‎【详解】 ,圆心,半径 ‎ ‎ 即当最小时面积最小 最小值为圆心到直线的距离:故 ‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了与圆相关的面积的最小值问题,计算得到是解题的关键.‎ ‎12.已知P为椭圆上的点,点M为圆上的动点,点N为圆上的动点,则|PM|+|PN|的最大值为(    )‎ A. 28 B. 30 C. 32 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算,计算得到答案.‎ ‎【详解】椭圆焦点坐标为, ‎ ‎,当共线和共线时等号成立 故选:‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆距离的最值问题,将距离转化为到圆心的距离是解题的关键.‎ 二、填空题(共4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是线段PF1的中点,|OM|=2(O为坐标原点),则|PF1|=_____.‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义得到,根据中位线得到得到答案.‎ ‎【详解】椭圆,则, ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了焦点三角形的长度问题,利用中位线得到是解题的关键.‎ ‎14.已知变量满足约束条件 ,则的取值范围是______________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域,如图内部(含边界),作直线,平移直线,易知两点是最优解,当过时,为最大值,当过时,为最小值,因此的范围是.‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的倍,点在线段上,则的周长为________.‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0),‎ 所以P,Q都在双曲线的右支上,‎ 则有,‎ 两式相加,利用双曲线的定义得,‎ 所以△PQF的周长为=28+16=44.‎ 故答案为44.‎ ‎16.F1,F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点,e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率,P为曲线C1,C2的一个公共点,若,且,则e1∈_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,在△PF1F2中,由余弦定理可得:4c2=m2+n2﹣2mncos.4c2=a2+3a12得到,根据范围得到答案.‎ ‎【详解】如图所示,设双曲线C2的标准方程为:1(a1,b1>0),半焦距为c.‎ 椭圆C1:(a>b>0),半焦距为c.‎ 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n.‎ ‎∴m+n=2a,m﹣n=2a1.⇒m=a+a1.n=a﹣a1.‎ 在△PF1F2中,由余弦定理可得:4c2=m2+n2﹣2mncos.4c2=a2+3a12.‎ 两边同除以c2,得,∵,∴‎ ‎∴.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率,计算得到是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题(共7小题,第17题10分,其余每题12分,共70分)‎ ‎17.已知点A(a,3),圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.‎ ‎(1)设a=4,求过点A且与圆C相切的直线方程;‎ ‎(2)设a=3,直线l过点A且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1) y(x﹣4)+3;(2) y=x﹣6或yx+2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设过A的直线为y=k(x﹣4)+3,利用d2计算得到答案.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=k(x﹣3)+3,利用圆心到l的距离d解得答案.‎ ‎【详解】(1)a=4时,设过A的直线为y=k(x﹣4)+3,则圆C的圆心(1,2)到直线的距离d2,解得k,‎ 所以过点A且与圆相切的直线方程为:y(x﹣4)+3;‎ ‎(2)a=3时,设直线l的方程为y=k(x﹣3)+3,则圆心到l的距离d,解得k=1或,‎ 所以直线l的方程为y=x﹣6,或yx+2.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinB+sinC)(b﹣c)=(sinA+sinC)a.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)已知b=4,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1) B.(2) 24.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理得到a2+c2﹣b2=﹣ac,再利用余弦定理得到,解得答案.‎ ‎(2)根据面积公式计算得到ac=4,再利用余弦定理得到a+c=2,得到周长.‎ ‎【详解】(1)∵(sinB+sinC)(b﹣c)=(sinA+sinC)a,‎ ‎∴由正弦定理可得:(b+c)(b﹣c)=(a+c)a,∴a2+c2﹣b2=﹣ac,‎ ‎∴cosB,∵B∈(0,π),∴B.‎ ‎(2)∵b=4,B,△ABC的面积为acsinBac,∴解得ac=4,‎ 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,可得16=a2+c2+ac=(a+c)2﹣ac=(a+c)2﹣4‎ 解得a+c=2, ∴△ABC的周长a+c+b=24.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,意在考查学生对于三角公式的灵活运用.‎ ‎19.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:对任意的n∈N*,都有an+1+Sn+1‎ ‎=1,又a1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=log2an,求(n∈N*)‎ ‎【答案】(1) an;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用公式化简得到,计算,得到答案.‎ ‎(2)计算得到,,利用裂项求和计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)根据题意,由an+1+Sn+1=1,①,则有an+Sn=1,②,(n≥2)‎ ‎①﹣②得:2an+1=an,即an+1an,又由a1,‎ 当n=1时,有a2+S2=1,即a2+(a1+a2)=1,解可得a2,‎ 则所以数列{an}是首项和公比都为的等比数列,故an;‎ ‎(2)由(1)的结论,an,则bn=log2an=﹣n,则=(1)+()+……+()=1.‎ ‎【点睛】本题考查了求通项公式,裂项求和法计算前项和,意在考查学生对于数列公式的综合应用.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M,.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)斜率为1的直线l与椭圆相交于B,D两点,若以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1).(2) y=x或y=x.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据离心率得到a2=2 c2,根据得到,计算得到答案.‎ ‎(2)设 l 的方程为:y=x+m,B(x1,y1),D(x2,y2),联立方程,利用韦达定理得到x1+x2,x1 x2,代入计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)∵椭圆的离心率为,∴e,即a2=2c2①,‎ ‎∵过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M,.‎ ‎∴M(c,)再代入椭圆方程得,②,又a2=b2+c2③,‎ 联立①②③得,b2=c2=1,a2=2,∴椭圆方程:.‎ ‎(2)设 l 的方程为:y=x+m,B(x1,y1),D(x2,y2),‎ 联立,得3x2+4mx+2m2﹣2=0,‎ x1+x2,x1 x2,y1+y2,y1 y2,‎ ‎∵以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点,‎ ‎∴0,‎ ‎∴m.‎ ‎∴直线l方程为 y=x或y=x.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,直线方程,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.在如图所示的五面体中,,,,四边形是正方形,二面角的大小为.‎ ‎(1)在线段上找出一点,使得平面,并说明理由;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)当点为线段的中点时,平面,利用线面平行的判定定理证明;(2)利用空间向量法求线面角.‎ 试题解析:‎ ‎(1)当点为线段的中点时,平面;‎ 取的中点,连接;‎ 因为,,‎ ‎,所以,又四边形是正方形,所以,,‎ 故四边形为平行四边形,故,‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)因为四边形是正方形,二面角大小为,‎ 所以平面,‎ 在中,由余弦定理得,所以.‎ 如图,以为原点,以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,‎ 所以,,,‎ 设平面的法向量为,由 所以取,则,,得,‎ 故所求正弦值为.‎ 点睛:立体几何求线面角、二面角可以借助空间坐标系求解.首先正确建立空间坐标系,求解点坐标,然后求出对应的面的法向量、目标线向量,利用求角公式,求得线面角、二面角即可.‎ ‎22.在如图所示五面体ABCDEF中,AB∥CD,AB=2AD=2,∠ADC=∠BCD=120°,四边形EDCF是正方形,二面角E﹣DC﹣A的大小为90°.‎ ‎(1)求证:直线AD⊥平面BDE ‎(2)求点D到平面ABE的距离.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明ED⊥AD,再由余弦定理得BD,根据勾股定理证明AD⊥BD得到证明.‎ ‎(2)利用等体积法VE﹣ABD=VD﹣ABE,得到计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)证明:因为四边形EDCF为正方形,所以ED⊥CD 因为二面角E﹣DC﹣A的大小为90°,所以平面EDCF⊥平面ABCD,‎ 由面面垂直的性质定理得ED⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,‎ 所以ED⊥AD,又因为∠ADC=120°,AB∥CD,‎ 所以∠DAB=60°,又AB=2AD=2,‎ 所以由余弦定理得BD,所以AD2+BD2=AB2,即AD⊥BD,‎ 又DE∩DB=D,DE,DB⊂平面BDE,所以AD⊥平面BDE;‎ ‎(2)设点D到平面ABE的距离为h,则VE﹣ABD=VD﹣ABE,‎ 所以所以h,‎ 所以点D到平面ABE的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直,点到平面的距离,利用等体积法可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎23.已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程;‎ ‎(2)令(1)中方程表示曲线C,点S(2,0),过点B(1,0)的直线l与曲线C相交于P,Q两点,求△PQS的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1),(2) 0<S.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设M(x,y),直接根据距离比计算得到答案.‎ ‎(2)设直线l:x=ky+1,联立方程,利用韦达定理得到y1+y2,y1y2,令t,则|AB|=4,计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)设M(x,y),由题意得,得,‎ ‎(2)设直线l:x=ky+1,由,消去x得(4+k2)y2+2ky﹣3=0,‎ y1+y2,y1y2,‎ ‎|PQ ||y1﹣y2|4,‎ 令t∈(0,],‎ 上式化简为:|PQ |=4|=4,‎ 函数在定义域内单调递减,故当t,有最大值,‎ 所以0<S.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程,面积的取值范围,意在考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎

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