专题06 函数与导数（直通高考）-备战2018年高考之数学（文）解答题高分宝典 7页

专题06函数与导数 ‎1.(2017全国卷1文)已知函数=ex(ex−a)−a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．‎ ‎③若，则由得．‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）①若，则，所以．‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎2. (2017全国卷2文)设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）.‎ 令得.‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 所以在和上单调递减，在上单调递增.‎ 当0＜x＜1时，，，取，‎ 则.‎ 当时，取则.‎ 综上，a的取值范围是[1，+∞）.‎ ‎3. (2017全国卷3文)已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为 ‎.‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时， g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. ‎ ‎4．已知函数在上为增函数,且,,,为自然对数的底数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.‎ ‎（2）令,‎ 当时,由有,且,‎ ‎∴此时不存在,使得成立.‎ 当时,,‎ ‎∵,∴,又,∴在上恒成立,‎ 故在上单调递增,∴,‎ 令,则,故所求的取值范围是.‎ ‎5．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）对任意的,,恒有,求正实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）,‎ 令,则,.‎ 所以增区间是与,减区间是；‎ ‎④当时,,所以增区间是,减区间是.‎ ‎（2）因为,所以,由（1）知在上为减函数.‎ 若,则原不等式恒成立,∴.‎ 若,不妨设,则,,‎ 所以原不等式即为：,‎ 即对任意的,恒成立.‎ 令,所以对任意的,有恒成立,‎ 所以在闭区间上为增函数.‎ 所以对任意的,恒成立.‎ 而,‎ ‎,化简即,‎ 即,其中.‎ ‎∵,∴,∴只需.‎ 即对任意恒成立.‎ ‎6.已知函数在处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由已知可得的定义域为 ‎（2）不等式可化为，‎ ‎，不适合题意.‎ 适合题意.‎ 适合题意.综上，的取值范围是