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  • 2021-06-11 发布

【数学】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试试题(文)

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新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试 数学试题(文)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集,,则( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为不等式的解集为或,‎ 所以集合或,‎ 由补集的定义可知,.‎ 故选:D.‎ ‎2.设为虚数单位,复数满足,则在复平面内,对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,‎ 由共轭复数的定义知,,‎ 由复数的几何意义可知,在复平面对应的点为,位于第二象限.‎ 故选:B.‎ ‎3.已知是第二象限角,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,由诱导公式可得,,‎ 因为,是第二象限角,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代,对于大数据人才的需求也越来越大,其岗位大致可分为四类:数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资(单位:万元/月)情况如下表所示:‎ 薪资 岗位 数据开发 数据分析 数据挖掘 数据产品 由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为( )‎ A. 数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B. 数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析 C. 数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D. 数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发 ‎【答案】B ‎【解析】由表中的数据可知,数据开发岗位的平均薪资为 ‎(万元),‎ 数据分析岗位的平均薪资为(万元),‎ 数据挖掘岗位的平均薪资为(万元),‎ 数据产品岗位的平均薪资为(万元),‎ 因为,所以该市各类岗位的薪资水平高低情况为:‎ 数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析.‎ 故选:B.‎ ‎5.双曲线的右焦点为,点为的一条渐近线上的点,为坐标原点.若,则 ( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为双曲线方程为,‎ 所以其渐近线方程为,右焦点为,‎ 因为点为的一条渐近线上的点,不妨设点在上,且点在第一象限;‎ 又,所以为等腰三角形,‎ 所以点横坐标为,因此,‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎6.已知是等腰直角三角形,为斜边的中点,且,以为折痕,将折成直二面角,则过,,,四点的球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为折痕,将折成直二面角,得到如图所示的三棱锥,‎ 在三棱锥中,,‎ 因为,,‎ 所以为正方体相邻的三条棱,‎ 所以过,,,四点的球即为正方体的外接球,‎ 其直径为正方体的体对角线,即,‎ 所以,‎ 由球的表面积公式可得,.‎ 故选:B.‎ ‎7.下列函数是偶函数,且在上是增函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A:因为,所以其定义域为,不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,故选项A排除;‎ 对于选项B:因为,所以其定义域为,不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,故选项B排除;‎ 对于选项C:因为,所以其定义域为关于原点对称,‎ 因为,所以函数为奇函数,‎ 故选项C排除;‎ 对于选项D:因为,所以其定义域为关于原点对称,‎ 因为,所以函数为上的偶函数,‎ 又当时,,又因为指数函数为上的增函数,‎ 所以函数为上的增函数,故选项D符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. 2‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是四棱锥,高为,底面为边长和的矩形,如图所示:‎ 由四棱锥的体积公式可得,.‎ 故选:B.‎ ‎9.惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合,但如两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合),从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子,它们的原子核固定,原子核正电荷的电荷量为,这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能,其中为静电常量,,分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移,且和都远小于,当远小于1时,,则的近似值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,‎ ‎,‎ 因为和都远小于,当远小于1时,,‎ 所以 ‎,‎ 故选:B.‎ ‎10.设,,,则下列正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知,,因为幂函数在上单调递增,‎ 所以,即;令,‎ 则,所以时,,‎ 当时,,当时,,‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减,‎ 因为,所以,,‎ 所以,即,所以,‎ 综上可知,.‎ 故选:C ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若对于满足的,,有,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,函数,‎ 所以,‎ 因为,,‎ 所以或,‎ 所以或,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,‎ 可得,所以.‎ 故选:B.‎ ‎12.已知函数,若恰好有2个零点,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,因为方程的两根为,‎ 所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示:‎ 由图可知,当时,函数恰有两个零点,图象如图所示:‎ 当时,函数恰 有两个零点,图象如图所示:‎ 综上可知,所求实数的取值范围为.‎ 故选:C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.从3个不同奇数,2个不同偶数中随机抽取两个数,这两个数之和是偶数的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】】记事件“从五个不同的数中随机抽取两个数,这两个数之和是偶数”,‎ 由题意知,从五个不同的数中随机抽取两个数包含总的基本事件数为,‎ 若抽取的两个数为偶数,则这两个数都为奇数或者都为偶数,‎ 若这两个数都为奇数,则有种选择;若这两个数都为偶数,则有种选择,‎ 由分类加法计数原理可得,事件A包含的基本事件数为,‎ 由古典概型概率计算公式可得,.‎ 故答案为:‎ ‎14.在中,,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,在中,,‎ 由平面向量加法的三角形法则知,,‎ 即,所以,‎ 又,,所以,‎ 由平面向量的数量积的坐标表示知,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎15.设的角,,的对边分别为,,,已知的面积为,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,又,‎ 所以,即,‎ 由正弦定理可得,,,‎ 所以,‎ 即,因为,‎ 所以,‎ 又,所以.‎ 故答案:‎ ‎16.已知椭圆的焦点为,,过点的直线与椭圆交于,两点.若,,则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,作图如下:‎ 设,则,由椭圆的定义知,‎ ‎,,‎ 因为,所以,在中,由余弦定理可得,‎ ‎,‎ 在中,由余弦定理可得,,‎ 即,解得,‎ 所以,所以椭圆离心率.‎ 故答案为:.‎ 三、解答题:第17~21题每题12分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列前项和为,且满足.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ 解:(Ⅰ),令,解得,‎ ‎,,两式相减,得,‎ 所以数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ 所以数列的通项公式为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,‎ 所以,即,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.如图,在直三棱柱中,,,,分别是和上动点,且.‎ ‎(Ⅰ)若与重合,求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,求点到平面的距离.‎ ‎(Ⅰ)证明:当与重合时,∵,‎ ‎∴与重合,要证,即要证.‎ ‎∵,∴,即,又,,∴平面,∴,‎ 又正方形中,,,‎ ‎∴平面,∴,即;‎ ‎(Ⅱ)解:∵平面,∴,∵,∴,‎ ‎∴,在中,,∴,,设点到平面的距离为,‎ 由,得,,‎ ‎∴,即点到平面的距离为.‎ ‎19.某流行病爆发期间,某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物,,(,,的使用是互斥且完备的),并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示:(表中的数据都以一个疗程计)‎ 药物 单价(单位:元)‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎800‎ 治愈率 市场使用量(单位:人)‎ ‎305‎ ‎122‎ ‎183‎ ‎(Ⅰ)从感染患者中任取一人,试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少?‎ ‎(Ⅱ)试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.‎ 解:(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ)感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为,‎ 治疗费是1000元的概率为;‎ 治疗费是800元的概率为;‎ 药物治疗费用平均为:元.‎ ‎20.已知抛物线:上一点到其焦点的距离为2.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设抛物线的准线与轴交于点,直线过点且与抛物线交于,两点(点在点,之间),点满足,求与的面积之和取得最小值时直线的方程.‎ 解:(Ⅰ)的焦点为,依题意有,解得,‎ 所以,抛物线的标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线的标准方程为,其准线方程为:,‎ 所以点易知直线的斜率存在,且不为零,其方程为,‎ 设,,因为,即,‎ ‎∴,联立方程,消去,得,,‎ 根据题意,作图如下:‎ ‎.‎ 当且仅当,即或时,‎ 与的面积之和最小,最小值为.‎ 时,,,直线的方程为;‎ 时,,,直线的方程为,‎ ‎∴与的面积之和最小值时直线的方程为或.‎ ‎21.已知.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为4,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求证.‎ 解:(Ⅰ)由,∴,又,‎ ‎∴切线方程为,令 由题意知, ,‎ 则,解得或;‎ ‎(Ⅱ)令,‎ 则,设的零点为,‎ 则,即且,‎ 因为函数为上的增函数,‎ 所以当时,;当时,,‎ 所以函数在上递减,上递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴时,恒成立,从而恒成立,‎ ‎∴总成立.‎ 选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,将曲线:上的点按坐标变换,得到曲线,为与轴负半轴的交点,经过点且倾斜角为的直线与曲线的另一个交点为,与曲线的交点分别为,(点在第二象限).‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的普通方程及直线的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ 解:(Ⅰ)由题得代入的方程得 ‎:,即的方程为,‎ 因为曲线:,令,则,‎ 因为为与轴负半轴的交点,所以点,‎ 因为直线的倾斜角为,所以,‎ 所以的参数方程为(为参数);‎ ‎(Ⅱ)因为,所以直线的方程为,‎ 因为圆的圆心为,半径为,所以圆心到直线的距离为 ‎,‎ 由弦长公式可得,,‎ 将(为参数)代入,整理得,‎ 设,为方程的两个根,则,,‎ ‎∴.‎ ‎23.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设函数,若函数的图象与函数的图象只有一个公共点,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)因为,∴不等式即为,两边平方得,‎ 解得,即时,的解集为;‎ ‎(Ⅱ)由题意知,方程只有一个实根,‎ 即与的图象只有一个交点,‎ 因为,‎ 又的图象由向左或向右平移了个单位,‎ 作图如下:‎ 由图象可知,它们只有一个公共点,则或.‎

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